Функция бесконечности
Определение понятия предела функции для любой бесконечно большой последовательности. Характеристика ограниченности функций и арифметических операций, при условии наличия пределов. Изучение свойств бесконечно малых и больших математических функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 176,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Функция бесконечности
1. Предел функции на бесконечности
Определение 1.
Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.
Определение 2.
Число А называется пределом функции f(x) при:
- если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.
2. Некоторые свойства функций, имеющих предел
Теорема 1. - об ограниченности функций, имеющих предел.
Если:
- то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.
Доказательство:
Пусть:
Теорема 2.
Если:
Тогда:
Теорема 3.
Если :
- в некоторой окрестности точки , тогда:
Теорема 4. - арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Если существуют:
Тогда существуют конечные пределы:
(1)
Доказательство:
Для любой последовательности формулы (1) справедливо:
По определению (1):
Остальные формулы доказываются аналогично.
Следствие.
Возьмем за основу теорему.
Если существует:
Тогда существует:
Где:
.
Теорема 5.
Пусть:
- определены в некотором множестве X.
Пусть для любого , содержащего точку выполняются неравенства:
- имеют одинаковые пределы.
3. Два замечательных предела
Докажем, что:
- первый замечательный предел:
Рассмотрим дугу окружности с центральным углом:
Тогда:
Так как наши функции имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 5:
Т. е.: 1 - правый предел.
Пример 1.
Вычислить формулу:
Заметим:
- второй замечательный предел
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 3.
- бесконечно малая функция, если:
Свойства бесконечно малых функций:
Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при . Произведение бесконечно на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.
Определение 4.
Бесконечно большая функция при , будет если:
Замечание 1. Бесконечно большая функция не имеет предела при , но условно говорят:
Пример 2.
Доказать, что:
- является бесконечно большая функция.
Замечание 2. Выражения вида:
- называются неопределенностью.
5. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Рассмотрим функции и , заданные в проколотой окрестности точки ().
Определение 5.
Если:
Тогда говорят, что эквивалентна при
Определение 6.
Если и - бесконечно малые (бесконечно большие) функции при и:
Тогда говорят, что они бесконечно малые (бесконечно большие) функции одного порядка.
Определение 7.
Если f(x) и g(x) - бесконечно малые (бесконечно большие) функции при и:
Тогда говорят, что - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем .
( бесконечно большая функция менее высокого порядка, чем ).
Замечание 3. В случае бесконечно малых функций часто используют символ «о»:
В примере 1:
Теорема 6. - замена функций эквивалентными при вычислении пределов.
Если существует:
И существует:
Тогда существуют:
функция арифметический математический
И они равны предыдущим.
Доказательство
Пусть существует:
Тогда:
Пример 3.
Вычислить:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Теоретические аспекты применения правил Лопиталя. Определение предела функции в точке. Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций. Рассмотрение содержания теорем о дифференцируемых функциях. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 30.12.2021Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.
презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.
презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
курс лекций [1,3 M], добавлен 14.12.2012Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.
методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
курсовая работа [86,9 K], добавлен 28.05.2007Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010
