Непрерывность функций в точке
Обоснование непрерывность элементарных функций для точки, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям математического значения. Анализ формулы гиперболических значений. Обзор сложной и обратной функций, а так же точек их разрыва.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 178,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Непрерывность функций в точке
1. Основные понятия
Определение 1.
Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку , называется непрерывной в этой точке, если:
(1)
Замечание 1. Таким образом, согласно определению (1) предел функции и ее значение в точке равны.
Определение 2.
Функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность сходится к .
Определение 3.
непрерывна в точке тогда и только тогда, когда:
Пусть .
Тогда величина называется приращением аргумента.
- называется приращением функции.
Преобразуем формулу (1):
Определение 4.
Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при
Замечание 2. Определения 1 - 4 эквивалентны.
Теорема 1.
Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда:
- также непрерывны в этой точке.
2. Непрерывность элементарных функций
Простейшие элементарные функции:
Замечание 3. Арифметические действия от этих функций назовем элементарными функциями.
Пример 1. Показать, что , , , - непрерывные функции.
1). Докажем для :
2). В силу теоремы 1:
Замечание 4.
3. Гиперболические функции
Гиперболическими называются следующие функции:
- гиперболический синус.
- гиперболический косинус;
- гиперболический тангенс;
- гиперболический котангенс.
Гиперболические функции являются непрерывными функциями.
Имеют место следующие формулы:
4. Сложная функция
Определение 5.
Пусть заданы функции:
- область определения функции f(x) содержит область значений функции (x).
Тогда определена функция:
- называемая сложной функцией.
Теорема 1.
Если:
- непрерывна в точке , а:
- непрерывна в точке:
Тогда:
- непрерывна в точке .
Доказательство:
- в силу непрерывности функции.
Также в силу непрерывности функции имеем:
Теорема 2. Об ограниченности непрерывных функций.
Если функция f(x) непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой f(x) ограничена.
Доказательство:
5. Обратная функция
Определение 6.
Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x).
Если в каждой паре множества числа х и у поменять местами, то получим (у; х):
Данное множество называется обратной функцией к функции .
Определение 7.
Пусть функция f(x) определена на множестве и пусть:
Тогда говорят, что :
Замечание 5. Такие функции называются монотонными.
В случаях в) и г) говорят, что f(x) - строго монотонная функция.
Теорема 2. О непрерывности обратной функции.
Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке и пусть - множество ее значений. Тогда на множестве обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.
6. Точки разрыва функции
Определение 8.
Пусть функция f(x) определена на интервале (а;b).
Точка называется точкой разрыва функции , если функция не определена в точке , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Определение 9.
Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке х = хо справа (слева), если:
Теорема 3.
Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и в самой точке и существуют пределы:
Определение 10.
Если - точка разрыва функции и существуют конечные пределы:
Тогда точка называется точкой разрыва первого рода. Величина:
- называется скачком функции в точке .
Если:
Тогда точку х = хо называют точкой устранимого разрыва (т. е., ее можно доопределить до непрерывной функции).
Определение 11.
Точка разрыва функции , не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода (к примеру, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности).
Пример 2.
7. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 12.
Функция, определенная на отрезке и непрерывная в любой точке этого отрезка, называется непрерывной на этом отрезке (причем должна быть непрерывность на границах: слева справа соответственно).
Теорема 4. Вейерштрасса.
Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней грани.
Определение 13.
Функция определена на множестве E, достигает на нем своей верхней (нижней) грани:
формула математический гиперболический
Теорема 5. Больцано-Коши.
Пусть непрерывна на отрезке и на концах отрезков принимает разные значения, тогда:
Следствие:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Исследование методами математического анализа поведения функций при заданных значениях аргумента. Этапы решения уравнения функции и определения значения аргумента и параметра. Построение графиков. Сочетание тригонометрических, гиперболических функций.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 20.08.2010Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Бесселевы функции с любым индексом. Формулы приведения для бесселевых функций. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.
курсовая работа [617,8 K], добавлен 22.09.2008Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.
контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Нахождение области определения, области значений функции, построение ее графиков с помощью преобразований кривых. График линейной функции с областью значений - все положительные действительные числа. Исследование функции на непрерывность. Расчет предела.
контрольная работа [922,4 K], добавлен 13.12.2012Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций: преобразование симметрии, параллельный перенос, сжатие и растяжение. Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций.
презентация [2,4 M], добавлен 16.11.2010Определение коэффициентов элементарных функций: линейной, показательной, степенной, гиперболической, дробно-линейной, дробно-рациональной. Использование метода наименьших квадратов. Приближённые математические модели в виде приближённых функций.
лабораторная работа [253,6 K], добавлен 05.01.2015Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010
