Производная сложной функции
Порядок определения производной сложной функции. Сущность и процесс расчета инвариантности формы первого дифференциала. Характеристика производной обратной функции. Особенности логарифмической производной, алгоритм вычисления. Дифференцирование функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 82,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Производная сложной функции
Теорема 1
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке и имеет место формула:
или или (22.1)
Замечание 1. Если , то , где , , - дифференцируемые функции своих аргументов.
Пример 1.
Вычислить производную сложной функции .
,
, , тогда .
2. Дифференциал сложной функции
По определению, (*). Если , , т.е., то
инвариантность дифференциал производная
.
Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.
Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
3. Производная обратной функции
Теорема 2.
Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем:
. (22.2)
Доказательство.
Из существования и непрерывности функции следует, что обратная функция существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно
.
Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).
Рассмотрим в окрестности точки график функции . Известно, .
Тогда если , или , то - угол наклона касательной к оси .
Поскольку , то
.
Пример 2.
Вычислить производную функции .
.
В формуле
взят знак «+»
т.к. при .
Пример 3.
Вычислить производную функции .
.
.
В частности, при имеем .
4. Производная функции, заданной неявно
Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения
,
где рассматривается как сложная функция от переменной x.
Пример 4.
Вычислить производную функции в точке .
,
.
5. Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)
Алгоритм вычисления производной
Пусть задана функция .
1) прологарифмируем функцию:
2) продифференцируем функцию:
3) выразим из полученного уравнения :
(22.3)
Пример 5.
С помощью логарифмического дифференцирования найти производную функции: .
(Ответ: ).
Замечание 2.
С помощью логарифмической производной можно находить производную сложной функции, которую можно дифференцировать.
Пример 6.
Вычислить производную функции .
.
6. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Пусть .
Если функция монотонна и непрерывна, то
(22.4)
Пусть функции дифференцируемы и .
(22.5)
Пример 7.
Вычислить производную функции, заданной параметрически:
(уравнение эллипса).
.
7. Производные и дифференциалы высших порядков
Определение.
Второй производной (или производной второго порядка) функции называется производная от ее первой производной.
Обозначение:
(22.6)
Механический смысл.
Функция равна ускорению движущейся точки в момент времени .
Аналогично определяются 3-я, 4-я и т.д. производные:
(22.7)
а). Если - независимая переменная, то , т.к. не зависит от.
Определение.
Вторым дифференциалом от функции называется дифференциал от первого дифференциала:
(22.8)
Тогда
(22.9)
- формула n-го дифференциала функции .
б). Если , то есть , тогда, поскольку , то
Замечание 2. если .
Таким образом, свойство инвариантности не выполняется.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
лекция [191,4 K], добавлен 05.03.2009Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Задачи, приводящие к понятию производной. Особенности определения с помощью этого основного понятия дифференциального исчисления уравнения касательной к непрерывной кривой в заданной точке, скорости, производительности труда в определенный момент времени.
презентация [263,8 K], добавлен 21.09.2013Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Исследование правил дифференцирования, которые используют при нахождении производных. Определение производной алгебраической суммы конечного числа.
презентация [175,0 K], добавлен 21.09.2013
