Основные теоремы дифференциального исчисления
Сущность и основные теоремы дифференциального исчисления, их главные отличия. Процесс построения графика. Описание теоремы Вейерштрасса и Лагранжа, их использование. Обобщенная формула конечных приращений. Раскрытие неопределенностей и правила Лопиталя.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 41,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 1 (Ферма)
Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, то есть .
Доказательство.
Пусть для определенности функция принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .
Тогда .
Так как производная в точке существует, то
.
Геометрический смысл.
Касательная к графику параллельна оси .
Замечание 1.
Если функцию рассматривать на отрезке , то теорема не верна.
Пример 1.
Пусть задана функция.
В точке функция принимает наименьшее значение,
в точке - наибольшее значение.
.
Теорема 2 (Ролля).
Пусть функция определена на отрезке и
1) функция непрерывна на отрезке ;
2) функция дифференцируема на интервале ;
3) функция .
Тогда .
Доказательство.
Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда
и
(по теореме Вейерштрасса).
Таким образом:
.
1) Если , то .
2) .
Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.
Т.к. функция дифференцируема, то
(т. Ферма).
Геометрический смысл.
Касательная параллельна оси внутри интервала .
Теорема 3 (Лагранжа).
Пусть функция определена на отрезке и
1) функция непрерывна на отрезке ;
2) функция дифференцируема на интервале .
Тогда
. (23.1)
Замечание 2.
Формула (23.1) - формула Лагранжа или формула конечных приращений.
- угловой коэффициент секущей .
(касательная параллельна секущей).
Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание 3.
Т.к. , то , то есть
(23.)
дифференциальный вейерштрасс лопиталь
Замечание 4.
Если , то
, (23.)
где
Формула (23.) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента.
Теорема 4 (Коши).
Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале . Тогда
. (23.2)
(23.2) - формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.
Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .
Замечание 6.Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).
2. Раскрытие неопределенностей
а) Раскрытие неопределенностей вида
Теорема 5 (первое правило Лопиталя).
Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть в окрестности точки .
Тогда, если существует (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:
. (23.3)
Доказательство.
Пусть - произвольная последовательность и . Доопределим функции и в точке , . Тогда и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и по условию .
По теореме Коши на интервале
,
то есть:
.
Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:
.
Т.к. - произвольная последовательность, то
.
Замечание 7. Правило Лопиталя - это правило сравнения скоростей.
Замечание 8.
При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.
Замечание 9. Теорема остается верной при .
Доказательство.
.
Пример 2.
Найти предел .
.
б) Раскрытие неопределенностей вида
Теорема 6 (второе правило Лопиталя).
Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .
Пусть в окрестности точки и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел
. (23.3')
Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).
Пример 3.
Найти предел .
.
Пример 4.
При вычислении предела правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.
в) Раскрытие неопределенностей других видов
Часто встречаются неопределенности следующих видов:
.
Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.
Рассмотрим некоторые из них.
Пример 5.
1) , где т.е. имеем .
Можно записать: т.е. рассматривать предел:
.
2) , то есть имеем .
3) , где , то есть имеем .
Пример 6.
Найти предел .
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.
реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.
презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Содержание теоремы Ферма о ненулевых решениях уравнения вида xn+yn=zn в натуральных числах при значениях n>2. Доказательство теоремы Декартом, Эйлером, Уайлсом. Разработка основ дифференциального исчисления и теории вероятности - научные достижения Ферма.
реферат [13,2 K], добавлен 01.12.2010Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления, связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов); применение математических методов в естествознании и технике. Решение уравнений и неравенств с помощью теорем Ролля и Лагранжа.
курсовая работа [609,9 K], добавлен 09.12.2011Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.
курсовая работа [161,3 K], добавлен 31.03.2011Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009Доказательство первой, второй и третей теоремы Силова. Описание групп порядка pq. Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа. Классы сопряженных элементов. Нормализатор множества в группе. Теоремы о гомоморфизмах. Примеры силовских подгрупп.
курсовая работа [246,9 K], добавлен 21.04.2011Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009История создания теоремы. Краткая биографическая справка из жизни Пифагора Самосского. Основные формулировки теоремы. Доказательство Евклида, Хоукинса. Доказательство через: подобные треугольники, равнодополняемость. Практическое применение теоремы.
презентация [3,6 M], добавлен 21.10.2011Теоретические аспекты применения правил Лопиталя. Определение предела функции в точке. Понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций. Рассмотрение содержания теорем о дифференцируемых функциях. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 30.12.2021Популярность и биография великого математика, тайны теоремы Пифагора "О равенстве квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника сумме квадратов катетов", история теоремы. Различные способы доказательств теоремы Пифагора, области ее применения.
презентация [376,2 K], добавлен 28.02.2012Краткий биографический очерк жизненного пути Пифагора. История появления теоремы Пифагора, ее дальнейшее распространение в мире. Формулировка и доказательство теоремы с помощью различных методов. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям.
презентация [309,4 K], добавлен 17.11.2011
