Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков
Характеристика признаков монотонности функций. Правила отыскания локального экстремума, определение точки максимума и минимума. Сущность теоремы Ферма. Отыскание значений непрерывной на отрезке функции. Направление выпуклости графика и точки перегиба.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 38,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1. Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков
1. Признак монотонности функций
Теорема 1
Если функция дифференцируема на интервале и на то функция не убывает (не возрастает) на.
Доказательство.
Пусть и , причем .
Тогда на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа:
.
Замечание 1. Теорема верна и для строго монотонных функций .
2. Отыскание локального экстремума
Определение 1.
Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если:
, ().
Замечание 2. Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума).
Если функция дифференцируема в точке , и в ней имеет локальный экстремум, то .
Доказательство.
Так как функция в точке имеет локальный экстремум, то существует , в которой функция является наибольшим или наименьшим значением среди всех других значений этой функции.
Тогда по теореме Ферма .
(Обратное утверждение в общем случае не верно!)
Геометрический смысл.
В точках локального экстремума касательная параллельна оси OX .
Замечание 3. Точки, где называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.
Пример 1.
Пусть задана функция .
Пусть ,.
Следовательно, - стационарная точка, не является точкой локального экстремума.
Теорема 3 (I достаточное условие локального экстремума).
Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки . Тогда, если , при , а при , то в точке функция имеет локальный максимум (локальный минимум).
Если же во всей -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
Доказательство.
Пусть , причем для и для .
Тогда по теореме 24.1 функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке , то есть . Это означает, что - точка максимума.
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.
Пример 2.
,
.
- стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума.
Замечание 4.
В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет в ней знак. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной).
Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума).
Пусть функция имеет в точке (точке возможного экстремума) конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке максимум, если и минимум, если .
Пример 24.3.
.
,
.
- точка максимума, - точка минимума.
- стационарные точки.
3. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции
Определение 24.2.
Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке в точке .
Теорема 5.
Непрерывная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение либо на концах интервала, либо в стационарных точках, либо в точках, где производная не существует.
Пример 4.
Найти наименьшую длину забора , с помощью которого можно огородить участок в форме прямоугольника площадью , примыкающий к стене.
монотонность экстремум график
4. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда существует касательная в любой точке этого интервала.
Определение 3.
Будем говорить, что функция f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если график функции расположен не выше (не ниже) касательной к нему на (a, b).
Теорема 6.
Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).
Пример 5. (см. пример 24.3.).
,
.
Определение 4.
Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке M график имеет касательную и существует окрестность точки, в пределах которой график y=f(x) слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.
Теорема 7. (необходимое условие точки перегиба).
Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и пусть функция y=f(x) имеет в точке непрерывную производную.
Тогда .
Теорема 8 (достаточное условие точки перегиба).
Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности имеет разные знаки, то - точка перегиба.
Пример 6.
а) Для функции из примера 24.3.:
.
б)
не является точкой перегиба
5. Асимптоты графика функции
Определение 5.
Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки, принадлежащей графику до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику функции от начала координат.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Существуют три типа асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение 6.
Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений
или равно .
Пример 7.
- вертикальная асимптота.
Определение 12
Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представима в виде:
где .
Теорема 5
Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения:
, . (24.1)
Замечание 5. Аналогично определяется наклонная асимптота для случая .
Пример 8.
График функции имеет наклонную асимптоту при и вертикальную асимптоту
Схема исследования графика функции
1. Найти область определения функции, ее точки разрыва.
2. Найти асимптоты графика функции.
3. Найти точки пересечения с осями.
4. Найти стационарные точки.
5. Найти точки подозрительные на перегиб.
6. Исследовать на существование точек, в которых первая или вторая производная не существует, то есть критических точек.
7. Исследовать знак первой и второй производной. Определить участки возрастания и убывания функции, направления выпуклости, точки экстремума и перегиба.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.
контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Исследование функции на четность-нечетность, экстремумы и интервалы монотонности, наличие асимптот и построение ее графика. Точки пересечения с осями координат. Расчет площади, ограниченной графиками функций. Поиск длины дуги кривой, заданной уравнением.
контрольная работа [95,2 K], добавлен 28.03.2014Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.
методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013
