Неявные функции
Понятие неявных функций, условие их существования и основные разновидности: одного и двух переменных. Сущность дифференцируемости, ее способы определения. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению и описание градиента.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 50,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций
неявный переменный дифференцируемость градиент
Неявная функция одного переменного: (*)
Уравнение не всегда является функцией.
Определим условия, когда уравнение (*) определяет переменную как функцию другой переменной.
Теорема 1 (о существовании неявной функции).
Пусть функция непрерывна вместе с частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (*) в окрестности точки имеет единственное непрерывное решение , где непрерывно дифференцируема.
Пример 1.
.
т.е. существует функция
Неявная функция двух переменных: (**)
Теорема 2.
Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки .
Если , , то уравнение (**) в окрестности точки имеет единственное решение , где имеет непрерывные частные производные.
Дифференцируемость неявных функций
Если выполнены условия существования неявной функции, т.е. существует функция , то (*) имеет вид: .
Тогда, дифференцируя как сложную функцию, имеем:
.
Пример 2.
1)
2)
.
2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрический смысл производных и дифференциала.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определение 1.
Плоскость, проходящая через точку поверхности, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол между секущей, проходящей через точку и любой точкой этой плоскости стремится к нулю, когда .
Если дифференцируема в точке , то
(27.1)
- уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .
В этом случае - нормальный вектор касательной плоскости называют нормалью к поверхности и точке , где .
Геометрический смысл.
- угловой коэффициент касательной в точке к сечению поверхности плоскостью .
Частный дифференциал - приращение аппликаты касательной плоскости.
3. Производная по направлению. Градиент
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пусть функция определена в окрестности точки . Из точки построим - произвольный единичный вектор (орт). Для характеристики скорости изменения функции в точке в направлении введем понятие производной по направлению.
Через вектор проведем прямую .
Выберем точку в направлении вектора . Тогда
.
В этом случае:
.
Определение 2.
Если существует предел , то он называется производной по направлению функции в точке по направлению и обозначается :
(27.2)
Пусть функция дифференцируема, тогда
.
Здесь
,
Разделив обе части равенства на , и учитывая, что
,
перейдем к пределу при :
(27.3)
Пример 3.
Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .
,
т.е. .
.
Определение 3.
Градиентом функции в точке называется вектор, компоненты которого равны и , взятые в точке .
Обозначение:
(27.4)
Т.к. , то
(27.5)
С другой стороны:
Т.е. (27.6)
Следовательно, максимально при (), т.е.
.
Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость, кривизна и кручение, первая и вторая квадратичная форма, касательная плоскость и нормаль в выбранной и произвольной точке. Нахождение полной и средней кривизны поверхности.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2013Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
методичка [693,0 K], добавлен 21.12.2011Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
контрольная работа [186,9 K], добавлен 11.06.2003Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 18.05.2013Экстремум функции: максимум и минимум. Необходимое условие экстремума. Точки, в которых выполняется необходимое условие. Схема исследования функции. Поиск критических точек функции, в которых первая и вторая производная равна нулю или не существует.
презентация [170,6 K], добавлен 21.09.2013Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 29.11.2010Направление, задаваемое единичным вектором. Предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения. Скалярное произведение в координатах. Градиент функции в точке. Направление максимальной скорости изменения функции в данной точке.
презентация [91,0 K], добавлен 17.09.2013
