Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка



Здесь мы обсудим некоторые возможности сведения дифференциального уравнения второго порядка к двум последовательно решающимся уравнениям первого порядка. Конечно, порядок исходного уравнения может быть и выше, и там, где это возможно, мы сделаем соответствующее обобщение.

1. Уравнения, не содержащие явно неизвестной функции

Это уравнения вида

или, разрешая относительно второй производной,

Если на первом этапе считать неизвестной функцией первую производную, то вторая выражается как и, тем самым, получается уравнение первого порядка:

Предположим, что мы нашли его общее решение , тогда на втором этапе остается решить уравнение т.е. просто взять неопределенный интеграл:



Пример. Найти

а) общее решение, б) частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

.

Как и предписывалось выше, сначала мы решим уравнение

.

Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными:

Возвращаясь к исходной функции,

.

Любопытно, что теперь первообразная существенно зависит от того, какое значение принимает постоянная С:

1) при С > 0 положим , и тогда



2) при

3) при

.

Если же решать задачу Коши, то второе начальное условие будет означать, что z(1) = 1 и, тем самым, С = 0 и , откуда из условия y(1) = 1 получаем и С₁ = 0.

Все изложенное в п. 3.1. допускает естественное обобщение на случай уравнения n-го порядка, не содержащего неизвестной функции y и ее младших производных :

Введя новую переменную z = y^(k) и подставив z^(m) = y^(k+m), получим уравнение порядка

Если найдено его общее решение



то остается k раз взять неопределенный интеграл а насколько каверзна эта задача, можно представить из примера 3.1.

2. Уравнения, не содержащие явно аргумента

Это уравнения вида

.

Мы можем здесь взять первую производную за новую неизвестную функцию аргументу:

Как в этом случае преобразовать вторую производную? По правилу дифференцирования сложной функции:

Теперь данное уравнение становится дифференциальным уравнением первого порядка:

Если найдено его общее решение то общее решение исходного уравнения может быть получено из дифференциального уравнения , относящегося к типу 2.1.

Пример. Найти общее решение уравнения Сначала решим его методом 3.2.: взяв получим уравнение

Это решение, зависящее от трех произвольных постоянных, не является общим: когда мы делили обе части уравнения на z², мы должны были отдельно рассмотреть возможность

Если же считать это уравнение не содержащим явно аргумента x, то возникает вопрос, как преобразовать третью производную? Так же , как и вторую: с помощью операторного равенства

Итак: Если если же нет, сократим на p²:

Это уравнение не содержит аргумента y, так что можно взять



Прежде чем сократить на q, рассмотрим случай

Если Это уравнение 2.2 с разделяющимися переменными:

Но это далее приведет к трансцендентному уравнению, связывающему переменные p и y: и, вернувшись к переменной мы не обнаружим эффективных способов решения такого уравнения первого порядка. Это следует иметь в виду: при наличии нескольких формальных путей решения дифференциального уравнения некоторые могут оказаться тупиковыми.

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Как и в параграфе 3, наше рассмотрение может быть обобщено на дифференциальные уравнения произвольного порядка; однако, случай второго порядка не только самый простой, но и самый важный просто потому, что такое линейное уравнение с постоянными коэффициентами описывает колебательные системы с медленно меняющимися (стареющими) параметрами. Теория, охватывающая линейные уравнения произвольного порядка с переменными коэффициентами, может быть найдена в подробных курсах и справочниках.



4. Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Это уравнение действительные числа.

Для этого уравнения справедлива общая закономерность: множество его решений образует линейное пространство. В самом деле, если функции являются решениями уравнения, то и любая их линейная комбинация также будет удовлетворять ему:

Это вносит ясность в структуру общего решения уравнения, которое, в соответствии с теоремой 1.4. должно включать две неопределенные постоянные:

(подпись о.о. указывает на то, что это общее решение однородного уравнения).

А всякий элемент линейного пространства должен записываться через базисные:

Сопоставляя эти факты, мы видим, что всё линейное пространство должно быть множеством линейных комбинаций (т.е. линейной оболочкой) двух базисных функций:

произвольные постоянные.

А этими базисными функциями может быть любая линейно независимая пара решений.

5. Характеристическое уравнение и его корни

По аналогии с подобными уравнениями первого порядка, рассмотренными нами в общей ситуации в п.2.4., мы можем предполагать, что если уравнение имеет общим решением функцию то и уравнение второго порядка может иметь своими решениями экспоненты. Попробуем подставить в дифференциальное уравнение функцию

Не забывая о ненулевом множителе мы поделим на него и получим алгебраическое уравнение

Оно называется характеристическим уравнением для данного дифференциального.

Из школьной алгебры известно, что его корни указываются формулой

и в случае, когда дискриминант положителен, это позволяет нам назвать две искомых базисных функции: , и с их помощью записать общее решение дифференциального уравнения:



Чуть сложнее случай комплексных корней, возникающий при отрицательном дискриминанте характеристического уравнения:

.

«Ограничиться» комплексной формой решения , значило бы выйти за рамки нашего рассмотрения. Зато можно воспользоваться знаменитой формулой Эйлера

и получить из комплексной пары z₁ и z₂ две линейно независимые действительные функции:

А общее решение таково:

Для случая, когда у характеристического уравнения нулевой дискриминант, мы получаем только одно действительное решение:



.

Получить второе решение позволяет следующее «физическое» рассуждение. Предположим, что параметры процесса, описываемого уравнением 4.1. при нулевом дискриминанте чуть изменились, и теперь выполняется неравенство позволяющее указать два решения 4.2.; решением будет и их линейная комбинация

Пусть теперь восстановятся исходные значения параметров. Что станет с только что выписанным решением в пределе при ? Очевидно, А вот второй множитель в пределе дает следующее:

Так и возникает второе решение которое независимо с первым.

Итак, .

Сведем воедино полученные результаты:



Таблица 1.

Характеристическое уравнение	Дифференциальное уравнение
Дискриминант	Корни	Общее решение

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение

,

в правой части которого стоит непрерывная функция . И здесь, как в п. 4.1., проявляется общая закономерность: любое решение такого неоднородного уравнения может быть записана как сумма фиксированного решения этого уравнения и некоторого решения однородного уравнения с той же левой частью. Символически

y_о.н.=y_ч.н. + y_о.о.,

где y_о.н. общее решение неоднородного уравнения, а y_ч.н. его частное решение.



7. Нахождение решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных

Здесь мы предложим прием, схожий с тем, который применялся при решении линейных уравнений первого порядка (2.5.).

Итак, пусть дано неоднородное уравнение

.

Пусть базисные функции пространства y_о.о решений однородного уравнения с той же левой частью. Тогда y_о.о неопределенные постоянные. Будем искать множество y_о.н. в виде

Тогда мы опять получим две неизвестные функции вместо одной, зато при этом появится возможность составить для них более простые уравнения.

Сначала же попробуем подставить такую сумму в исходное уравнение. Найдем первую производную:

,

и потребуем, чтобы подсумма, содержащая производные обращалась в ноль:

Это так называемое уравнение связи, и оно убивает двух зайцев: в силу линейной независимости функций производная всегда может быть выражена через или наоборот; кроме того, при нахождении второй производной неизвестной функции вторых производных уже не возникнет:

Теперь подставим в данное уравнение:

Но сумма в скобках, стоящих при множителях обращаются в ноль: ведь решения однородного уравнения. Вместе с уравнением связи мы получили систему из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными :

Подробные курсы дифференциальных уравнений содержат доказательство того, что определитель такой системы всегда отличен от нуля. Следовательно, мы можем найти неизвестные функции



и восстановить их с помощью неопределенного интеграла с точностью до неопределенных же постоянных

Если же собрать вместе всё решение

y_о.н.=

то в нем легко просматриваются слагаемые y_ч.н.= и y_о.о= в полном соответствии с п.4.6.

8. Правая часть специального вида

Подынтегральные функции предыдущего пункта в общем виде выглядят несколько устрашающе; поэтому нелишне было бы освоить и какие-то резервные возможности.

В первую очередь, зададим себе вопрос: какой может быть функция в правой части? Естественно предусмотреть в ней колебательные составляющие Весьма важны и широко распространены в технике и экспоненты выражающие при лавинообразные нарастания в системах с положительной обратной связью и затухание при Остальные же функции, правда, с условием существования производных высоких порядков, мы можем весьма точно приближать многочленами с помощью формулы Тэйлора.

Таким образом, мы получаем всевозможные произведения вида Назовем их показательно-тригонометрическими одночленами. А их произвольную линейную комбинацию показательно-тригонометрическим многочленом.

Для нашей ситуации неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в линейной левой части такие многочлены обладают одной очень важной особенностью: поскольку, например, для одночлена производная оказывается линейной комбинацией одночленов с теми же параметрами причем производная любого порядка! А тогда при подстановке показательно-степенного многочлена в левую часть линейного дифференциального уравнения она обратится в такой многочлен именно тот, что должен стоять с правой части, чтобы уравнение удовлетворялось. Но верно и обратное: если в правой части уравнения стоит показательно-степенной многочлен, то и частное решение следует искать в том же виде.

9. Подбор частного решения неоднородного линейного уравнения при специальной правой части

Прежде всего, определим действительное или комплексное число, называющееся параметром правой части: для показательно-степенного одночлена вида это будет соответственно, для одночленов вида одночлена Поскольку в правую часть данного уравнения могут входить одночлены с разными параметрами, мы образуем в ней несколько показательно-тригонометрических многочленов с единым параметром каждый:



уравнение функция дифференциальный линейный

(при отсутствии тригонометрических функций мы считаем .

И частное решение ищется для каждого многочлена с параметром отдельно, а тогда сумма будет удовлетворять уравнению с суммарной правой частью .

Но тогда и частное решение должно иметь тот же параметр !

Точные инструкции таковы: для правой части будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

многочлены с неопределенными коэффициентами степени m, равной максимуму степеней многочленов стоящих в правой части.

Но обращает на себя внимание и множитель x^r; показатель степени r определяется по следующим правилам в связи с корнями и характеристического уравнения 4.2:

если

если

если

если

Иначе говоря,

если параметр правой части не совпадает с характеристическими корнями, то домножать решение на x не нужно;

если параметр совпадает с одним из корней будь то различные действительные корни или комплексно-сопряженная пара, то решение надо домножить на x;

если же параметр совпадает с кратным корнем характеристического уравнения, то решение домножается на x².

После того, как вид решения определен с точностью до неизвестных коэффициентов, остается найти первую и вторую производные показательно-тригонометрического многочлена и подставить их вместе с самим многочленом в левую часть уравнения. После этого из приравнивания коэффициентов при одинаковых одночленах в левой и правой частях уравнения получается система линейных алгебраических уравнений, которая допускает единственное решение (методом Гаусса или другим, неважно).

Обратим внимание на то, что здесь частное решение определяется чисто алгебраическими средствами (исключая нахождение производных от показательно-степенных одночленов), и в сумме с так же алгебраически описываемым множеством y_о.о. Это дает все множество решений y_о.н.

10. Примеры решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Найти общее решение уравнения

.

Прежде всего, нужно найти базис решений однородного уравнения.

Характеристическое уравнение здесь таково: . Его корни

y_о.о.=,

y_ч.н.=.

Функции , как указано в п.4.7, можно найти из системы:

Домножив оба уравнения на прибавим к нижнему верхнее; тогда получится:

Определители этой системы таковы:



Остается подставить это в общее решение:

y_о.н.=

Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение здесь такое: . Его корни совпадают: , следовательно,

y_о.о.=.

Правая часть имеет специальный вид; ее слагаемые

Найдем соответствующие слагаемые частного решения.

Вид первого из них определяется наличием в правой части квадратного двучлена и совпадением параметра с кратным характеристическим корнем:

. Теперь

Подставляя в левую часть уравнения, получаем



откуда

Для функции правой части вид решения определяется тем, что в нее входит множитель - многочлен первой степени; а параметр правой части p₂ не совпадает с характеристическими корнями:

Левая часть уравнения равна

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показательно-тригонометрических одночленах, получим:

Суммируя полученные результаты, имеем

y_ч.н.=



Для получения общего решения неоднородного уравнения нужно прибавить еще и y_о.о.

11. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Мы ограничимся лишь самым кратким экскурсом в теорию систем дифференциальных уравнений. Подробных разбор этой темы может быть найден в курсах [4, 5], а справочники [6, 7] дают достаточно полных перечень сведений. Необходимо иметь в виду, что в большинстве практически важных случаев система двух и более уравнений любого порядка сводится к системе первого порядка - а она, в свою очередь, к единственному уравнению высокого порядка. Разумеется, верно и обратное. Здесь мы наметим некоторые специфические подходы к решению систем дифференциальных уравнений.

Канонической системой k дифференциальных уравнений относительно k неизвестных функций называется совокупность уравнений, разрешенных относительно старших производных

Если вид системы сильно упрощается и она называется нормальной



Решением системы называется набор функций , подстановка которых в уравнения системы обращает их в верные тождества на некотором интервале По аналогии с дифференциальными уравнениями определяются общее и частное решения системы (см. п.4.1). Если вместе с нормальной системой рассматривать начальные условия то получается задача Коши для систем уравнений. В этом случае справедлива теорема существования и единственности решения, аналогичная теореме для уравнения n-го порядка (см.п.1.5).

Сведение нормальной системы к единственному уравнению проиллюстрируем примером. Пусть дана система

Из первого уравнения получаем

и, таким образом из второго уравнения системы мы получаем уравнение второго порядка относительно функции y:



Когда функции y и будут найдены, останется только подставить их в имеющееся выражение для z.

Системы линейных однородных уравнений можно представить и как единственное уравнение первого порядка с неизвестной вектор-функцией

так что нормальная система

может быть переписана в матричной форме где - матрица коэффициентов правых частей.

Попытаемся решать это векторное дифференциальное уравнение, комбинируя константный вектор и переменный скаляр:



Тогда производная в левой части уравнения действует только на экспоненту, позволяя выносить постоянный вектор Y

А матричное умножение в правой части позволяет вынести скалярный множитель и действовать только на Y:

Чтобы удовлетворить векторному дифференциальному уравнению, вектор Y должен быть собственным вектором собственного числа матрицы А:

Как известно из курса линейной алгебры, это означает, что число является корнем характеристического уравнения матрицы А:

Раскрытие определителя приводит к алгебраическому уравнению степени k относительно неизвестной , а при найденных из него значениях (некоторые из них могут быть комплексными, некоторые могут совпадать - во всех этих случаях предусмотрены специальные дополнения, вносимые в метод решения, см.[47]) остается получить координаты собственных векторов из однородных систем линейных алгебраических уравнений:



что осуществляется в общем случае методом Гаусса.

Очевидно, векторное решение таких алгебраических систем определяется с точностью до скаляра С_i, так что и общее решение системы будет включать необходимый набор неопределенных постоянных:

Задача Коши в этом случае позволит найти конкретные числовые значения постоянных C₁,...,C_k из алгебраической системы уравнений, получающейся отсюда при x=x₀.

Решить задачу Коши для системы

с начальными условиями

Матричная форма системы такова:

Составим характеристическое уравнение:



его корни будут собственными числами матрицы системы.

Для каждого из собственных векторов получается пара пропорциональных (и даже одинаковых!) уравнений:

(1) откуда

переобозначив множитель за С₁;

(2) откуда

Общее решение получается в виде вектора:

или в обычной форме:



При t = 0 получим:

Складывая уравнения, получаем

Следовательно, решение задачи Коши

Программные вопросы для подготовки к экзамену по теме «Дифференциальные уравнения»

Дифференциальное уравнение 1-го и n-го порядка, уравнение, разрешенное относительно производной. Частное, общее и особое решения.

Начальные условия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности для уравнений 1-го и n-го порядков.

Некоторые классы дифференциальных уравнений 1-го порядка, стандартные методы их решения: уравнения с разделяющимися переменными; однородные и линейные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка: не содержащие явно неизвестной функции или аргумента; стандартные способы такого понижения.

Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; структура их общего решения.

Линейное однородное уравнение: характеристическое уравнение и запись базисных функций решения по его корням.

Решение неоднородного линейного уравнения вариацией произвольных постоянных.

Правая часть специального вида; подбор частного решения неоднородного уравнения по виду правой части.

Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Список литературы

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т.2, любое издание.

Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. - Т.2, любое издание.

Сб. задач по математике для ВТУЗов. Ч.2: Специальные разделы математического анализа. Под. Ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича, - любое издание.

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, - любое издание.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М., 1961.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике, - любое издание.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, - любое издание.

Размещено на Allbest.ru

...