Матричный анализ
Вычисление элементов матрицы суммы. Определитель третьего порядка и правило треугольников. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Косинус угла между векторами. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Объем тетраэдра с заданными вершинами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.09.2013 |
| Размер файла | 47,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
10
Содержание
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
Задание № 4
Задание № 5
Задание № 6
Задание № 7
Литература
Задание 1
Вычислить сумму матриц kA+mB,если
, k=6, m=-1
Решение:
Элементы матрицы суммы определяются по формуле:
cij=kaij+mbij.
Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:
с11=6?2+(-1) ?3=9; с12=6?3+(-1)• 7=-11; с13=6?4+(-1) ?(-2)=26.
Аналогично вычисляем остальные элементы:
С21=6?6+(-1) ?9=27; с22=6?3+(-1) ?1=17; с23=6?0+(-1) ?6=-6.
С31=6?(-7)+(-1) ?(-4)=-38; с32=6?5+(-1) ?8=22; с33=6?9+(-1) ?5=49.
Таким образом, матрица суммы примет вид:
Задание 2
Вычислить определитель третьего порядка
Решение:
Определителем третьего порядка матрицы
называется число, которое определяется следующим образом:
Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:
Размещено на http://www.allbest.ru/
10
Используя правило треугольников, вычислим определитель:
Задание 3
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
-3Х1 + 5Х2 + 9х3 = 5
6Х1 + 3Х2 + 0Х3= -4
3Х1 + -3Х2 + 4Х3 = 3
Решение
Сформируем расширенную матрицу
Согласно решения задания 2 определитель данной (подобной)матрицы равен:
Определитель не равен нулю.
Преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 3 -ю строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением нашей системы уравнений.
Х1 = -0.42;
Х2 = -0,5;
Х3 = 0,69
Задание 4
Найти косинус угла между векторами и , если А (9; 6; 4), если В(-3; 6; 0) и С(-5;-10; 1).
Решение:
По координатам концов найдем эти векторы
АВ = ((-3) - 9)i + (6-6)j + (0 - 4)k = -12i + 0j - 4k
AC = ((-5) - 9)i + (10-6)j + (1-4)k = -14i + 4j - 3k
Отсюда
AB = v144 + 16 = v160
AC = v 196 + 16 + 9 = v221
Найдем скалярное произведение
(AB; AC) = (-12)•(-14) + 0•4 - 4•(-3) = 168 + 0 +12 = 180
Применяя теперь формулу, получим
cos ц = (AB; АС) /(¦АВ¦АС¦) = v180/(v160•v221) ? 0,5
Задание 5
Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(1;5;2);
В(-3;5;9); С(5;-3;4) и D(7;2;1)
Размещено на http://www.allbest.ru/
10
Решение:
Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках А, В, С и D равен:
матрица тетраэдр уравнение
.
Вычислим объем тетраэдра АВСD:
С другой, стороны объем тетраэдра равен
.
Откуда высота равна:
.
В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется по формуле:
SABC = 1/2 [ (х1 - х3)(у2 - у3) - (х2 - х3)(у1 - у3)] = Ѕ[(-4 • 8) - (-8 • 8)] = Ѕ (-32 +64) = 16 кв.единиц.
Отсюда: Н= 3V / SABC = 58/16
Задание 6
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярно вектору , если М1 (9;6;10), М2 (-3;4;0), М3 (-5;1;1).
Решение:
А = М1; ВС = М2 М3;
Найдем координаты вектора нормали к плоскости
n=M1 M2 = (x3 - x2; у3-у2; z3 - z2) BC = (-5 + 3; 1-4; 1-0)= (-2; -3; 1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где А, В, С - координаты вектора нормали: . В нашем случае А=-2;
В=-3; С=-1, тогда уравнение плоскости примет вид:
-2 (х-9)-3(у-6)+1(z-10)=0
-2х + 18 -3у +18 +z -10 =0
-2х-3у+z+26 = 0
Задание 7
Вычислить угол между плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, если А1=9; В1=6; С1=10; D1=-3; А2=4; В2=0; С2=-5; D2=1.
Решение:
Угол между двумя плоскостями определяется по формуле:
Таким образом, получаем
Тогда угол между плоскостями равен ц=
Литература
1. Справочник по высшей математике М.Я.Выгодский Издательство «Наука» гл.редакция физико-математической литературы. Москва 1972 г.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Решение системы линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса. Расчет длин и скалярного произведения векторов. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору. Расчет производных функций одной и двух переменных.
контрольная работа [984,9 K], добавлен 19.04.2013Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.
контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012Линейные операции над векторами. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Варианты решений систем линейных уравнений. Действия с матрицами. Модель транспортной задачи, ее решение распределительным методом. Исследование функций с помощью производных.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 09.10.2011Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Определение, свойства, виды и историческое происхождение матриц. Расчет определителя третьего порядка. Правило Саррюса для треугольников. Алгоритм построения и единственность обратной матрицы. Исследование линейных отображений векторных пространств.
контрольная работа [308,2 K], добавлен 12.12.2013Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Составление уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку. Нахождение размерности и базиса пространства.
контрольная работа [665,5 K], добавлен 28.03.2012Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014
