Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

К=0

1. Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратиться с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна (15+к)/100.

Для второго клинета вероятность такого обращения равна (20+ к)/100. Для третьего клиента - (10+к)/100. Найдите вероятность того, что в течение года в СК обратиться хотябы один клиент, если обращения клиентов - события независемые.

2. В магазин поступают телевизоры с трех заводов: (30+к)% с первого завода, (25+к)% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпескает (20+ к)% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, (10+ к)%, а третий - (15+ к)%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

3. При данном технологическом процессе (75+k)% всей продукции - 1-го сорта. Найдите наивероятнейшее число первосортных изделий из (200+10k) изделий и вероятность этого события.

4. Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью (0,3+k/100). Составить закон распределения числа посещаемых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины (СВ).

5. В нормально распределенной совокупности (15+k)% значений X меньше (11+k) и (45+k)% значений X больше (17+k). Найдите параметры этой совокупности.

6. На фирме заработная плата X сотрудников (в у.е.) задана таблицей:

Xmin 300 310+10k 320+20k 330+30k 340+40k 350+50k

Xmax 310+10k 320+20k 330+30k 340+40k 350+50k 360+60k

m 10 20 30 25 10 5

Найти: (среднее арифметическое взвешенное), s(среднеквадратическое
отклонение).

7. В процессе исследования среднедушевого дохода (в усл.ден.ед.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =(2500+100k), s=(400+10k). В предположении о нормальном законе найдите долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 2200 до 2800.

8. Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил: (10+k), (15+k), (20+k), (17+k), x5. Учитывая, что =(16+k), найдите выборочную дисперсию s2.

9. По данным 17 сотрудников фирмы, где работает (200+10k) человек, среднемесячная заработная плата составила (300+10k) у.е., при s=(70+k) у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (X) и сбережениям (Y) дало результаты: =(140+k) у.е., Sx =(30+k) у.е., =(50+k) у.е., Sy=(9+k) у.е., =(7200+190*k) (у.е.)2. При =0,05 проверить наличие линейной связи между X и Y.

11. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Последовательно по одной вынимают две детали, при этом каждый раз возвращают их обратно в коробку. Вероятность того, что обе вынутые детали бракованные, равна:

а) 1/9; б) 1/15;

в) 1/3; г) 1/2.

12. Мода вариационного ряда 1,2,2,3,4,5 равна:

а) 3; б) 17;

в) 2; г) 5.

13. На основании 20 наблюдений выяснено, что парный коэффициент корреляции ryx=0,8. Доля дисперсии случайной величины y, обусловленная влиянием неучтенных факторов, равна:

а) 0,64; б) 0,36;

в) 0,8; г) 0,2.

14.К простым гипотезам следует отнести:

а) H1: a20; б) H1: a20

в) H1: a=10;

г) H1: a 20.

15. Если основная гипотеза имеет вид H0: a=20, то конкурирующей может быть гипотеза:

а) H1: a<=20;

б) H1: a>=20;

в) H1: a>=10; г) H1: a>20;

1. Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратиться с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна (15+к)/100.

Для второго клинета вероятность такого обращения равна (20+ к)/100. Для третьего клиента - (10+к)/100. Найдите вероятность того, что в течение года в СК обратиться хотябы один клиент, если обращения клиентов - события независемые.

P= 1-P1*P2*P3

P1=1-15/100=0,85;P2=1-20/100=0,80;P3=1-10/100=0,90

P=1- 0,85*0,80*0,90=0,388=38%

2. В магазин поступают телевизоры с трех заводов: (30+к)% с первого завода, (25+к)% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпескает (20+ к)% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, (10+ к)%, а третий - (15+ к)%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

(0,30*0,8)+(0,25*0,9)+(0,45*0,85)=0,07935=79,35%

Вероятность приобрести исправный товар равна 79,35%. Если в телевизоре обнаружен дефект, то он, скорее всего, изготовлен на третьем заводе (6,75%).

3. При данном технологическом процессе 75% всей продукции - 1-го сорта. Найдите наивероятнейшее число первосортных изделий из 210 изделий и вероятность этого события.

Решение.

Вероятность того, что деталь будет первосортной

Наивероятнейшее число первосортных изделий из :

Вероятность события находим по локальной приближенной формуле Лапласа:

Подставляем значения, находим

(находим в таблице)

4. Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью 0,30. Составить закон распределения числа посещаемых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины (СВ).

Решение

Закон распределения

Число посещаемых библиотек	1	2	3	4
Вероятность
	0,30
	0,30	0,21	0,147	0,4802
Сумма	1

Математическое ожидание:

Дисперсия

5. В нормально распределенной совокупности (15)% значений X меньше (11) и (45)% значений X больше (17). Найдите параметры этой совокупности.

Решение.

По таблице находим

Решаем систему двух уравнений, получаем

6. На фирме заработная плата X сотрудников (в у.е.) задана таблицей:

Xmin 300 310+10k 320+20k 330+30k 340+40k 350+50k

Xmax 310+10k 320+20k 330+30k 340+40k 350+50k 360+60k

m 10 20 30 25 10 5

Найти: (среднее арифметическое взвешенное), s(среднеквадратическое
отклонение).

Решение.

Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:

где f - количество величин с одинаковым значением X (частота).

Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала.

Xmin	300	320	340	360	380	400
Xmax	320	340	360	380	400	420
m	10	20	30	25	10	5
Средина интервала	310	330	350	370	390	410

s(среднеквадратическое отклонение):

7. В процессе исследования среднедушевого дохода (в усл.ден.ед.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: м=2600, s=410. В предположении о нормальном законе найдите долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 2200 до 2800.

Решение.

По формуле

Подставляем значения, получаем

Доля, среди обследованных 100 семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 2200 до 2800, составляет 146 семей.

8. Объем дневной выручки в пяти торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 10, 15, 20, 17, х₅. Учитывая, что = 16, найти выборочную дисперсию s².

Решение.

Из определения среднего, находим х₅:

Получаем

Выборочная дисперсия

Исправленная дисперсия

9. По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 210 человек, среднемесячная заработная плата составила 310 у.е., при s = 70 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение:

По таблице Лапласа 0,98 соответствует параметр

х=2,8 740*2,8/v17 =47,538у.е (310+47,538)*210=75082.98 у.е.

75082.98 *0,98 = 73581.32 у.е.

10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (X) и сбережениям (Y) дало результаты: =140 у.е., s_x =30 у.е., =50 у.е., s_y=9 у.е., =7390 (у.е.)². При =0,05 проверить наличие линейной связи между X и Y.

Решение:

О наличии линейной связи между переменными свидетельствует (парный) коэффициент корреляции Пирсона

R = (ХYср - Хср*Yср)/(Sx*Sy)

R = (7390-140*50)/(30*9)= 1.44

При =0,05 проверить наличие линейной связи между X и Y.

N = n-2

N = 27-2=25

По таблице rкр = 0,381

Следовательно линейная связь между Х и Y присутствует.

Текущий контроль №1

1.Если два события не могут произойти одновременно, то они называются:

Ответ: г) несовместимыми

2. Институт получает контрольные работы студентов из трёх городов: A,B,C.

Вероятность получения контрольной работы из города A равна 0,7, из города B - 0,2. Вероятность того, что очередной пакет будет получен из города C,

Равна:

Ответ: г) 0,1

3. Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Вероятность того, что эта карта- король, равна:

Ответ:в)1/13

4. Вероятносмть случайного события- это:

Ответ: а)любое число от 0 до 1;

5. Вероятность достоверного события равна:

Ответ: в) 1

Текущий контроль №2

1.На 5 карточках разрезанной азбуки написаны буквы О, П, Р, С, Т. Перемешанные карточки вынимаются по одной и располагаются в одну линию. Вероятность прочесть слово «СПОРТ» равна:

Ответ: в) 1

2. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,2. Второй клиент - 0,1. Обращения клиентов - события независемые. Вероятность того, что в течение года в страховую компанию не обратиться ни один из этих клиентов, равна:

Ответ: б) 0,72

3. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,2. Второй клиент - 0,1. Обращения клиентов - события независемые. Вероятность того, что в течение года в страховую компанию обратиться хотя бы один из этих клиентов, равна:

Ответ: а) 0,28

4.Вероятность того, что студент сдаст каждый из 3-х экзаменов сессии на отлично равна соответственно 0,4; 0,5 ; 0,1. Получение отличных оценок на этих эказаменах - события независемые. Вероятность того, что студент сдаст на отлично все 3 экзамена, равна:

Ответ: а) 0,02

5.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона своего знакомого и набрал её наугад. Вероятность того, что он набрал правильный номер, равна:

Ответ: а) 1/10

Текущий контроль №3

1. Случайная величина Y=3X+5, при этом дисперсия X равна 2.

Дисперсия случайной величины Y равна:

а) 18; б) 6;

в) 11; г) 23.

Решение:

D(Y)= D(3X+5)= D(3X)+D(5)= 3²·D(X)+ D(5) =9·2 +0=18

Ответ: а) 18

2. Случайная величина Y=4X+2, при этом математическое ожидание X равно.

3. Математическое ожидание случайной величины Y равно:

а) 14; б) 3;

в) 18;

г) 12.

Решение:

М(Y)=М(4X+2)=М(4X)+M(2)=4M(X)+2=4*3+2=14

Ответ: а) 14

3. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Последовательно по одной вынимают две детали, при этом каждый раз возвращают их обратно в коробку. Вероятность того, что обе вынутые детали бракованные, равна:

а) 1/9;

б) 1/15;

в) 1/3;

г) 1/2.

Решение:

Ответ: а)

4. Математическое ожидание постоянной велечины равно:

Ответ: в) этой величене

5. Дисперсия постоянной велечины равна:

Ответ: а) 0

Текущий контроль №4

1. Мода вариационного ряда 1,2,2,3,4,5 равна:

а) 3;

б) 17;

в) 2;

г) 5.

Ответ: в) 2

2.На основании 20 наблюдений выяснено, что парный коэффициент корреляции ryx=0,8. Доля дисперсии случайной величины y, обусловленная влиянием неучтенных факторов, равна:

а) 0,64;

б) 0,36;

в) 0,8;

г) 0,2.

Рещение:

Если случай линейный то:

RІ=0.8І=0.64

-0.64=0.36=36%

Ответ: б) 0,36

3. Оценкой математического ожидания является:

Ответ: б) 0,36

4.К простым гипотезам следует отнести:

а) H1: a20;

б) H1: a20

в) H1: a=10;

г) H1: a 20.

Ответ: в) H1:a=10

5.Если основная гипотеза имеет вид H0: a=20, то конкурирующей может быть гипотеза:

а) H1: a<=20;

б) H1: a>=20;

в) H1: a>=10;

г) H1: a>20;

Ответ: г) H1: a>20;

Форум по курсу ТВиМС:

2. Какие бывают виды случайных величин? Приведите примеры.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Пример. Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

· : монета упадет орлом;

· : монета упадет решкой;

· : монета упадет на ребро;

Таким образом, система является полной группой событий.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам .Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение:

Используя формулу (23), имеем

По формуле (22) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то

Если , то

Если x>4, то

Итак,

График функции F(x) изображен на рис. 8.

5. Что понимают под полной группой событий? Приведите примеры.

Полная группа событий в теории вероятностей - система случайных событий такая, что в рузультате пройденного экспиремента непременно произойдёт одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

Пример: Подбрасывают в воздух монету. В рузультате экспиремента обязательно произойдёт одно из следующих событий:

A:Монета упадёт орлом.

B:Монета упадёт решкой.

C:Монета упадёт ребром.

A+B+C=1.

2. Институт получает контрольные работы студентов из трёх городов: A,B,C.

Вероятность получения контрольной работы из города A равна 0,7, из города B - 0,2. Вероятность того, что очередной пакет будет получен из города C,

Равна:

A+B+C=1.

0,7+0,2+C=1

C=1-0,9=0,1.

вероятность событие дисперсия величина

Размещено на Allbest.ru

...