Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема реферата

Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач

Выполнил:

Димитров Денис Валерьевич,

ученик 11"А" класса.

Научный руководитель:

Шабунина Е.И.,

г. Саров, 2011 год.



Оглавление

• Введение
• 1. Теоремы Чевы и Менелая
• 2. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач
• Заключение
• Список используемой литературы


Введение

В курсе геометрии седьмых, восьмых и девятых классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике, о том, что биссектрисы (медианы, высоты) треугольника пересекаются в одной точке. А ведь эти свойства являются следствиями из теорем Чевы и Менелая.

Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Эта теорема дошла до нас в арабском переводе книги "Сферика" Менелая Александрийского.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.

Цель работы - изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.

Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.



1. Теоремы Чевы и Менелая

Теорема Чевы. Если через вершины проведены прямые , , , пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках , , , то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. рис.1):

Теорема Менелая. Если на сторонах или на их продолжениях отмечены точки , , так, что лежит на , - на и - на , то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие (см.рис.2):



Доказательства соотношений (*) и (**), а также исторические справки о Джованни Чева и Менелае Александрийском содержатся в Приложении1

теорема чева менелай планиметрический

2. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.

На примере следующих задач (задач на замечательные точки треугольника, на пропорциональные отрезки и на отношение площадей) покажем эффективность применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

I блок задач (замечательные точки треугольника).

Задача 1.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: , - биссектрисы .

Доказать, что биссектрисы и пересекаются в одной точке - точке .

Решение.

I способ (без использования теоремы Чевы)

1) Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

ТЕОРЕМА.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

I. Дано: , - биссектриса , - произвольная точка на биссектрисе , .

Доказать, что .

Доказательство.

1) Сделаем дополнительное построение: проведём перпендикуляры и к лучам и соответственно (рис. 13).

2) Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).

- общая гипотенуза;

, так как по условию - биссектриса .

Следовательно, прямоугольные по гипотенузе и острому углу.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, то есть .

Доказано.

II. Дано: , т. лежит во внутренней области , , , , , .

Доказать, что - биссектриса .

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).

- общая гипотенуза;

, так как по условию .

Следовательно, прямоугольные по гипотенузе и катету.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, и - биссектриса по определению биссектрисы угла.

Доказано.

2) Итак, теперь докажем следствие из этой теоремы, то есть то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1) Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его биссектрис и . Биссектрисы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительные построения: проведём , , (рис. 14).

2) По доказанной теореме и ( и - биссектрисы ). Поэтому , то есть точка равноудалена от сторон и, значит, лежит на биссектрисе этого угла.

Следовательно, все три биссектрисы - - пересекаются в точке .



Доказано.

II способ (с использованием теоремы Чевы).

1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Так как по условию - биссектриса , то:

Так как по условию - биссектриса , то:

Так как по условию - биссектриса , то:

2) Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:



Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке - точке .

Доказано.

Задача 2.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: , - медианы .

Доказать, что:

1) медианы и пересекаются в одной точке - точке ;

2) .

Решение.

I способ (без использования теорем Чевы и Менелая).

1) Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его медиан и . Медианы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 16).

Так как и - медианы , то точки и являются серединами сторон и соответственно, то есть , .

Отсюда, по определению средней линии треугольника (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон) отрезок является средней линией .

Так как средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, то отрезок и .

2) Рассмотрим и .

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей ;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей .

Следовательно, по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны.

Итак, - коэффициент подобия:

Но по доказанному ; , поэтому и , . Таким образом, точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины.

3) Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой .

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано

II способ (с использованием теорем Чевы и Менелая).



1) Так как по условию - медианы , то , , , поэтому:

Итак,

Отсюда по теореме Чевы, медианы пересекаются в одной точке - точке .

2) Рассмотрим .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,



3) Рассматривая теорему Менелая для и секущей , а также для и секущей , мы получим, что:

4)

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано.

II блок задач (пропорциональные отрезки).

Задача 3.

В на стороне взята точка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найти отношение .

Дано: , , , - луч, , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).



Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 18).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

1) Рассмотрим и .

- общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:



Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (c использованием теоремы Менелая).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,



Ответ: .

Задача 4.

На стороне взята точка , а на стороне взята точка , причём . Точка пересечения отрезков и делит в отношении , считая от точки . Найти отношение .

Дано: , , , , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 20).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1) Рассмотрим и .

- общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:



Ответ: .

II способ (c использованием теоремы Менелая).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Ответ: .

III блок задач (отношение площадей).

Задача 5.

Пусть медиана . На медиане взята точка так, что . Прямая разбивает на два треугольника: и , причём . Найти отношение .

Дано: , - медиана , , , - прямая, .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.22).

Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1) Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

2) Рассмотрим и .

- общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

И, значит,

3) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:



4) Итак,

Ответ: .

II способ (c использованием теоремы Менелая).

Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1) Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

2) Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:



И, значит,

3) Итак,

Ответ: .

Задача 6.

Биссектрисы и пересекаются в точке . Найти , если , , .

Дано: ; , - биссектрисы , , , , .

Найти .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

1) Пусть , тогда по условию (, ):



2) Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

3) Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

4) Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.24).

5) Рассмотрим и .

- общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:



И, значит,

6) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, - коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному:

то мы получаем, что:

То есть, если , то .

7) Рассмотрим и .

и имеют общий угол - , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .

Итак,



Следовательно,

По условию задачи , поэтому,

8) Рассмотрим и .

Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

Ответ: .

II способ (c использованием теоремы Менелая).



1) Пусть , тогда по условию (, ):

2) Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

3) Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

4) Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,



То есть, если , то .

5) Рассмотрим и .

и имеют общий угол - , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .

Итак,

Следовательно,

По условию задачи , поэтому,

6) Рассмотрим и .

Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

Ответ: .



Заключение

Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7-9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Я считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7-9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Теоремы Чевы и Менелая также помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.



Список используемой литературы

1) Аксёнова М. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ В. Володин. - М.: Аванта+, 2004.

2) Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. - М.: Просвещение, 1996.

3) Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. -12-е издание.- М.: Просвещение, 2002.

4) Мадер В.В. Полифония доказательств. - М.: Мнемозина, 2009.

5) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. - M.: МЦНМО, 2001.

Размещено на Allbest.ru

...