Решение алгебраических уравнений 4-ой степени
Понятие алгебраического уравнения четвертой степени, история его решения. Пример решения биквадратного и возвратного уравнений четвертой степени. Решение Декарта—Эйлера. Анализ схемы метода Феррари, разложения на множители и кубическая резольвента.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.10.2013 |
| Размер файла | 227,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский национальный технический университет
Факультет транспортных коммуникаций
Кафедра “Высшая математика №3”
Доклад на СНТК
Решение алгебраических уравнений 4-ой степени
Выполнили: студенты группы 11403512
Микулёнок В.А., Ковенко В.Н.
Руководитель: Неверович Т.С.
Минск 2013
Решение алгебраических уравнений 4 степени
Уравнение четвёртой степени -- в математике алгебраическое уравнение вида:
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e=0, a<>0
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).
Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.
График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.
Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.
Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари -- Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».
То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля -- Руффини в 1824.
Решения:
1.Биквадратное уравнение
Биквадратное уравнение -- уравнение четвёртой степени вида
Где -- заданные комплексные числа и . Подстановкой
сводится к квадратному уравнению относительно y.
Четыре его корня: .
2. Возвратное уравнение четвёртой степени
Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду: и после замены ищется решение квадратного уравнения
3.Решение Декарта -- Эйлера
В уравнение четвёртой степени:
алгебраический уравнение биквадратный множитель
Сделаем подстановку и получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):
где
Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:
в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
Причём z1, z2, z3 -- это корни кубического уравнения
4. Решение Феррари
Схема метода Феррари
Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0, (1)
где a0, a1, a2, a3, a4 - произвольные вещественные числа, причем
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени.
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
X4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, (2)
где a, b, c, d - произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
(3)
где y - новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
(4)
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y4 + py2 + qy + r = 0, (5)
где p, q, r - вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение 2sy2 + s2,
где s - некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
(6)
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
(7)
то уравнение (6) примет вид
(8)
или, раскрыв скобки, - в виде
(9)
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
(10)
а также квадратное уравнение
(11)
Вывод метода Феррари завершен.
Пример. Решить уравнение
X4 + 4x3 - 4x2 - 20x - 5 = 0. (12)
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
x=y - 1. (13)
Поскольку
X4 + 4x3 - 4x2 - 20x - 5 = (y - 1)4 + 4(y - 1)3 - 4(y - 1)2 - 20(y - 1) - 5 =
= y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 + 4y3 - 12y2 + 12y - 4 - 4y2 + 8y - 4 - 20y + 20 - 5 = y4 - 10y2 - 4y + 8,
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
y4 - 10y2 - 4y + 8 = 0. (14)
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
p = - 10, q = - 4, r = 8. (15)
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 - 16s - 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
s 3+ 5s2 - 8s - 42 = 0. (16)
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
s = - 3. (17)
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 - 2y - 4 = 0,
корни которого имеют вид:
(18)
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y - 2 = 0,
корни которого имеют вид:
(19)
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение биквадратных, симметричных и кубических уравнений, содержащих радикалы. Решение уравнений четвертой степени методом понижения степени и разложения на множители. Применение бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений повышенной степени.
презентация [754,7 K], добавлен 29.05.2010Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Системы уравнений. Запись в виде системы. Линейное уравнение с двумя переменными. Квадратные уравнения второй степени. Упрощенное уравнение третей степени. Переменная в четвертой степени. Множество корней (решений). Способ подстановки. Способ сложения.
реферат [96,3 K], добавлен 02.06.2008Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.
научная работа [44,3 K], добавлен 25.02.2009Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Описание жизни Италии и мира того времени, когда жил и творил Джироламо Кардано. Научная деятельность математика, обзор его математических трудов и поиск решения кубических уравнений в радикалах. Способы решений уравнений третьей и четвертой степеней.
курсовая работа [419,7 K], добавлен 26.08.2011Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Историческая справка об иррациональных уравнениях. Решение иррациональных уравнений. Преобразование иррациональных выражений. Уравнения с радикалом третьей степени. Введение нового неизвестного.
реферат [81,3 K], добавлен 09.04.2005Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.
реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.
учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010
