Об истории Тригонометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ СРЕДНЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

на тему: Об истории Тригонометрии

2011 год

Прочитав литературу, я узнал что тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография, а также я узнал много нового, неизвестного мне ранее.

Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т. е., определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10' с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

Рис. 1:

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха - половина, джива - тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е., “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы, благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) - творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е., факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе - наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew - измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

2. Тригонометрические функции

Элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

Во-первых, прямые тригонометрические функции:

- синус (sin x);

- косинус (cos x).

Во-вторых, противоположные им тригонометрические функции:

- секанс (sec x);

В-третьих, производные тригонометрические функции:

- тангенс (tg x);

- котангенс (ctg x).

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественно значимыми функциями.

Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественно значимые, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные.

Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±рn, а котангенс и косеканс - в точках ±рn.

Рис. 2. - Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса:

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB.

Синусом называется отношение:

Косинусом называется отношение:

Тангенс определяется как:

Котангенс определяется как:

Секанс определяется как:

Косеканс определяется как:

Также, следует отметить, что часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка.

Исходя из чего, синус оказывается равен просто ординате yB, а косинус - абсциссе xB.

Если б - вещественное число, то синусом б в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна б, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Рассмотрим графическое представления данного явления на рисунке 3.

4. Определение тригонометрических функций для острых углов

5. Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений, функциональных уравнений, и через ряды

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB - треугольник с углом б.

- Синусом угла б называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе);

- Косинусом угла б называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе);

- Тангенсом угла б называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему);

- Котангенсом угла б называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему);

- Секансом угла б называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету);

- Косекансом угла б называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

6. Определение тригонометрических функций для острых углов

Функции косинус и синус можно определить как четное (косинус) и нечетное (синус) решение дифференциального уравнения:

С начальными условиями, что функции одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями:

7. Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Таблица 1:

Рис. 6. - Значения косинуса и синуса на окружности:

8. Простейшие тождества

Тригонометрические тождества - математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углуб, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность.

Синус и косинус - непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва:

- котангенс и косеканс.

Четность.

Косинус и секанс - чётные. Остальные четыре функции - нечётные, то есть:

Периодичность:

Функции:

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь f - любая тригонометрическая функция, g - соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций), n - целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол б острый, например:

Таблица 3. - Некоторые формулы приведения:

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

- следует дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции:

Произведения функций двух углов:

Аналогичные формулы для синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени:

Суммы:

Для функций от аргумента x существует представление:

Где угол ? находится из соотношений:

Однопараметрическое представление.

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

10. Тригонометрические функции комплексного аргумент

Формула Эйлера:

Позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства: тригонометрический тождество уравнение

- комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;

- все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Размещено на Allbest.ru