Численное решение нелинейных уравнений
Определение корней квадратного уравнения аналитическим способом. Построение графика разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней, а также численное определение наибольшего корня с использованием простейшей итерационной формулы первого вида.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.10.2013 |
| Размер файла | 202,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Численное решение нелинейных уравнений
1. Решение квадратного уравнения
1.1 Определение корней квадратного уравнения аналитическим способом
Используя формулу аналитического решения
получим следующие значения корней уравнения
Размещено на http://www.allbest.ru/
1.2 Построение графика разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней
Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней
Таблица 1 - Расчёт значений разрешающей функции
Размещено на http://www.allbest.ru/
При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы
График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 1 - Разрешающая функция квадратного уравнения
1.3 Численное определение наибольшего корня с использованием простейшей итерационной формулы первого вида
Воспользовавшись итерационной формулой первого вида
выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 2.
Таблица 2 - Итерация первого вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
Расчёт ограничим четвёртой итерацией, так как очевидно, что процесс расходящийся.
1.4 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса первого вида
Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 2, они определяются по формулам
1.5 Графическое представление итерационного процесса первого вида
Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рисунке 2.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 2 - Итерационный процесс первого вида
1.6 Численное определение корня с использованием простейшей итерационной формулы второго вида
Воспользовавшись итерационной формулой второго вида
Выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 3.
Таблица 3 - Итерация второго вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
Из приведенной таблицы 3 видно, что более восьми итераций здесь делать не требуется.
1.7 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса второго вида
Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 3, анализируя их значения можно сделать вывод о достаточно быстрой сходимости используемого итерационного процесса.
1.8 Графическое представление итерационного процесса второго вида
Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рисунке 3.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 3 - Итерационный процесс второго вида
1.9 Численное решение по методу Ньютона-Рафсона
Итерационная формула метода Ньютона-Рафсона имеет следующий вид
Результаты расчёта итерационного процесса приведены в таблице 4.
Таблица 4 - Метод Ньютона-Рафсона
Размещено на http://www.allbest.ru/
1.10 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса
Вычисленные погрешности итераций приведены в таблице 4, откуда видно, что процесс сходится на третьей итерации.
1.11 Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 4 - Метод Ньютона-Рафсона
1.12 Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения квадратного уравнения
Первый из рассмотренных итерационных процессов решения заданного квадратного уравнения оказался расходящимся. Метод Ньютона-Рафсона сходится быстрее, чем рассмотренный второй итерационный процесс.
2. Решение кубического уравнения вида
2.1 Определение корня уравнения аналитическим способом
2.2 Построение графика разрешающей функции в окрестности найденного корня
Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности найденного корня
Таблица 5 - Расчёт значений разрешающей функции
Размещено на http://www.allbest.ru/
При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы
График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 5.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 5 - Разрешающая функция кубического уравнения
2.3 Численное определение корня уравнения с использованием итерационной формулы первого вида
Результаты расчёта сведены в таблицу 6.
Таблица 6 - Итерация первого вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
2.4 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса первого вида
Расчёт текущих погрешностей, результаты которого приведены в таблице 6, показывает, что используется расходящийся процесс.
2.5 Графическое представление реализованного итерационного процесса первого вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 6 - Итерационный процесс первого вида
2.6. Численное определение корня с использованием итерационной формулы второго вида
Расчёт итерационного процесса сведен в таблицу 7.
Таблица 7 - Итерация второго вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
2.7 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса второго вида
Расчёт погрешностей итерационного процесса второго вида сведен в таблицу 7, из которой видно, что этот процесс имеет колебательный характер и сходится довольно медленно.
2.8 Графическое представление итерационного процесса второго вида
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 7 - Итерационный процесс второго вида
2.9 Численное решение по методу Ньютона-Рафсона
Результаты решения по методу Ньютона-Рафсона приведены ниже в таблице.
Таблица 8 - Метод Ньютона-Рафсона
Размещено на http://www.allbest.ru/
2.10 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона
корень уравнение итерационный график
Расчёт погрешностей итерационного процесса, приведенный в таблице 8, показывает быструю сходимость метода Ньютона-Рафсона.
2.11 Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 8 - Метод Ньютона-Рафсона
2.12 Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения кубического уравнения
Очевидно, что метод Ньютона-Рафсона при решении данного кубического уравнения сходится быстрее, чем второй из рассмотренных методов, а первый метод оказался расходящимся.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.
реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010Извлечение квадратного корня - операция нахождения квадратного корня из неотрицательного числа. Сравнительный анализ способов приближенного извлечения квадратных корней. Характеристика арифметического способа. Вавилонский способ (первый метод Герона).
реферат [48,7 K], добавлен 15.05.2012Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Нахождение корней уравнений (Equation Section 1) методом: Ньютона, Риддера, Брента, Лобачевского и Лагерра. Вычисление корней многочленов по схеме Горнера. Функции произвольного вида (при использовании пакета Mathcad). Нахождение корней полиномов.
контрольная работа [62,7 K], добавлен 14.08.2010Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.
реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Расчет площади треугольника АВС, при условии, что размер каждой клетки равняется 1*1 см. Определение корня уравнения (4x+5)=5. Поиск значения выражения 7*5log52. Определение наибольшего значения заданной функции y=4x-4tgx+п-9 на отрезке [-п/4;п/4].
контрольная работа [13,5 K], добавлен 27.12.2013Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.
курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012Понятие и математическая сущность квадратного корня, его назначение и методика вычисления. Теоремы, отображающие свойства квадратного коря, их обоснование и доказательство. Применение характеристик квадратных корней в решении геометрических задач.
реферат [132,1 K], добавлен 05.01.2010Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010
