Интегралы, зависящие от параметра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Интегралы зависящие от параметра

1.1 Постановка задачи

1.2 Равномерное стремление к предельной функции

1.3 Предельный переход под знаком интеграла

1.4 Дифференцирование под знаком интеграла

1.5 Интегрирование под знаком интеграла

1.6 Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра

2. Практическая часть

Заключение

Список литературы

функция дифференцирование интеграл производная



Введение

Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла.

Интеграл функции -- аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Изучения свойств функции, выраженной интегралом, зависящим от параметра, может представлять самостоятельный интерес. Но помимо того эти свойства имеют и многообразные применения, в особенности к вопросу о вычислении несобственных интегралов.

Цель данной курсовой работы - изучить интегралы, зависящие от параметра и разобрать примеры.

Задачи:

- сформулировать основную теорию;

- рассмотреть решения некоторых примеров.



1. Интегралы зависящие от параметра

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим функцию f(x,y) двух переменных, определенную для всех значений х в некотором промежутке [a,b] и всех значений у в множестве Х={у}. Пусть при каждом постоянном значении у из Х функция f(x,y) будет интегрируема в промежутке [a,b] в собственном или не собственном смысле. Тогда интеграл

I(y)= (1)

будет функцией от вспомогательной переменной или параметра у.

По отношению к функции I(y) возникает ряд вопросов - о существовании и выражении ее предела при определенном предельном переходе, в частности, об ее непрерывности по у, об ее дифференцируемости и выражении для нее производной, наконец об ее интеграле.

1.2 Равномерное стремление к предельной функции

Пусть функция f(x,y) определена, в общем случае, в двумерном множестве М=Х? Х, где Х и Х означают множества значений, принимаемых порознь х и у, причем Х имеет своей точкой сгущения конечное число .

Если 1) для функции f(x,y) при у> существует конечная предельная функция

(х) (2)



и 2) для любого числа е > 0 найдется такое не зависящее от х число д > 0, что при |у - | < д будет | f(x,y) -ц(х)| < е (3) сразу для всех х из Х, то говорят, что функция f(x,y) стремится к предельной функции ц(х) равномерно относительно х в области Х.

Нетрудно перефразировать это определение и на тот случай, когда есть несобственное число, например +?: при этом лишь неравенство вида |у - | < д меняется на у>?.

1? Для того чтобы функция f(x,y) при у> имела предельную функцию и стремилась к ней равномерно относительно х в области Х, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа е > 0 существовало такое не зависящее от х д > 0, что неравенство

| f(x,y?) - f(x,y)| < е (4)

выполняется для всех х из Х сразу, лишь только

|у - | < д, |у? - | < д (у, у? из Х). (5)

( в случае =+? взамен последних неравенств появляются неравенства у>?, у?>?.)

Доказательство:

Необходимость. Пусть имеет место равномерная сходимость. Заменив в определении е на и соответственно выбрав д, возьмем теперь два значения у и у? из Х так, чтобы выполнялись условия (5). Тогда будем иметь, каково бы ни было х,

| f(x,y?) -ц(х)| < и | ц(х) -f(x,y) | < ,



Откуда и следует (4).

Достаточность. Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции (2). Переходя затем к пределу в неравенстве (4) при у?> (причем у фиксировано так, что |у - | < д), получим:

| ц(х) -f(x,y) | ? е.

Этим установлено равномерное стремление функции f(x,y) к предельной функции ц(х).

2? Для того чтобы функция f(x,y) при у> стремилась к функции ц(х) равномерно (относительно х в области Х), необходимо и достаточно, чтобы к ц(х) равномерно сходилась каждая последовательность {f(x,)}, по какому бы закону варианта (со значением из Х) ни стремилась к .

3? Если функция f(x,y) при любом у из Х непрерывна (интегрируема) по х в промежутке Х=[a,b] и при у> равномерно стремится к предельной функции ц(х), то и эта функция также будет непрерывна (интегрируема).

4? Пусть функция f(x,y) при любом у из Х будет непрерывна по х в промежутке Х=[a,b] и при возрастании у, монотонно возрастая, стремится к непрерывной же предельной функции ц(х). Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х.

1.3 Предельный переход под знаком интеграла

Обратимся к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, ограничиваясь в начале случаем конечного промежутка [a,b] и функции, интегрируемой в собственном смысле.

Предполагая, что область Х изменения параметра имеет точку сгущения , поставим вопрос пределе функции (1) при у>.

Теорема 1. Если функция f(x,y) при постоянном у интегрируема по х в [a,b) и при у> стремится к предельной функции (2) равномерно относительно х, то имеет место равенство

= = . (9)

Доказательство

Пусть конечно. Интегрируемость предельной функции уже известна. Задавшись произвольным числом е > 0, найдем такое д>0, чтобы имело место (3). Тогда при |у - | < д будем иметь

| | =| | ? ? < е(b - a),

что и доказывает формулу (9).

Формула (9) может быть записана в виде:

= .

При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.

Предполагая, что все у< , имеем: Следствие. Если функция при постоянном у непрерывна по х в [a,b] и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула (9) .

Теорема 2. Если функция определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a,b;c,d], то интеграл (1) будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке [c,d].



1.4 Дифференцирование под знаком интеграла

При изучении свойств функции (1), которая задана интегралом, содержащим параметр у, важное значение имеет вопрос с производной этой функции по параметру.

В предложении существования частной производной Лейбниц дал для вычисления производной I?(y) правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается так:

I?(y)=, (10)

или - если воспользоваться более выразительными обозначениями Коши -

= .

Если такая перестановка знаков производной (по у) и интеграла (по х) допустима, то говорят, что функция (1) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла.

Теорема 3. Пусть функция , определенная в прямоугольнике [a,b;c,d], будет непрерывна по х в [a,b] при любом постоянном у в [c,d]. Предположим далее, что во всей области существует частная производная , непрерывная как функция двух переменных. Тогда при любом у из [c,d] имеет место формула (10).

Доказательство

Непрерывность функции по х обеспечивает существование интеграла (1). Фиксируя любое значение у= , придадим ему приращение ?у=k. Тогда



I() = , I() = ,

так что

= . (11)

Интеграл справа зависит от параметра k. Нам предстоит доказать, что при k>0 здесь допустим предельный переход под знаком интеграла. Этим будет установлено и существование производной

I?() = ,

и наличие требуемого равенства

I?() = = = =.

С этой целью сначала по формуле Лагранжа напишем

= (0<??<1). (12)

Пользуясь равномерной непрерывностью функции , по произвольному е > 0 найдем такое д>0, что при

|x?? - x?|<д и |у?? - у?|<д

будет выполняться неравенство



| - | < е.

Полагая здесь х?=х??=х, у?=, у??=+??k и считая |k|<д, получим, с учетом (12), что сразу для всех х будет

| -|<е.

Отсюда ясно, что подынтегральная функция (12) при k>0 равномерно (относительно х) стремится к предельной функции . Этим, по теореме 1, и оправдывается предельный переход под знаком интеграла (11).

1.5 Интегрирование под знаком интеграла

Поставим вопрос об интеграле по у от функции (1) в промежутке [c,d].

Рассмотрим случай, когда интеграл выразится формулой

= ,

которую пишут обычно так:

= . (13)

При наличии ее говорят, что функцию (1) можно интегрировать по параметру у под знаком интеграла (взятого по переменной х).

Простейшие условия, достаточные для равенства двух повторных интегралов (13) , дает теорема 4.

Теорема 4. Если функция непрерывна (по обоим переменным) в прямоугольнике [a,b;c,d], то имеет место формула (13).



Доказательство

Докажем более общее равенство

= , (13*)

где с????d.

В левой и в правой его частях мы имеем две функции от параметра ??; вычислим их производные по ??.

Внешний интеграл в левой части имеет подынтегральную функцию (1), непрерывную по у в силу теоремы 2. Поэтому его производная по переменному верхнему пределу будет равна подынтегральной функции, вычисленной при у=??, то есть интегралу

I(??) = .

В правой части (13*) стоит интеграл

, где = .

Функция удовлетворяет условиям теоремы 3. Действительно, непрерывна по х, в силу теоремы 2. Затем производная

=

непрерывна как функция двух переменных. Поэтому к упомянутому интегралу применимо правило Лейбница:

= = = I(??).



Таким образом, левая и правая части равенства (13*) как функция от ?? имеют равные производные, следовательно, могут отличаться лишь на постоянную. Но при ??=с оба упомянутых выражения обращаются в нуль; следовательно, они тождественны, при всех значениях ??, и равенство (13*) доказано.

При ??=d из него, в частности, и получается равенство (13).

1.6 Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра

Интеграл имеет вид

I(y) = . (14)

Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и дифференцируемости по параметру подобного интеграла.

Теорема 5. Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике [a,b;c,d], а кривые

х=), х=) (c?у?d)

непрерывны и не выходят за его пределы. Тогда интеграл (14) представляет собой непрерывную функцию от у в [c,d].

Доказательство

Если есть любое частное значение у, то интеграл (14) можно написать в виде

I(y) = + - . (15)



Первый интеграл, в котором пределы уже постоянны, при у> стремится к

I() = ,

по теореме 2. Остальные же два интеграла допускают оценку

| | ? M*|??(y)-??()|, || ? M*|??(y)-??()|,

где М=max||, и - в силу непрерывности функций ??(y) - при у> стремятся к 0.

Таким образом, окончательно

= I(),

что и доказывает теорему.

Теорема 6. Если сверх сказанного функция допускает в прямоугольнике [a,b;c,d] непрерывную производную , а так же существуют и производные ???(y), то интеграл (14) имеет производную по параметру, которая выражается формулой

I?(y) = + ???(y)*f(??(y),y) - *f(). (16)

Замечание. Заключения обеих теорем сохраняют свою силу и в предположении, что функция задана ( и обладает указанными свойствами) лишь в области, содержащейся между кривыми



х=), х=).

Поучительно взглянуть на установленные результаты и с такой точки зрения. Интеграл I(y) получается из интеграла

I(y,u,v) = ,

зависящего от трех параметров y,u,v, подстановкой u=), v=). Вопрос исчерпывается применением общих теорем о непрерывности и о дифференцировании сложной функции. В частности, формула (16) написана по классической схеме:

* + * ???(y).



2. Практическая часть

№1. Применить правило Лейбница к вычислению производной по параметру от

I(a) = (a>1).

Легко проверить, что условия теоремы 3 здесь соблюдены. Имеем

I?(a) = = .

Отсюда, интегрируя по а, восстанавливаем значение I(a):

I(a) = ?? + C.

Для того чтобы определить постоянную С, представим интеграл I(a) в виде

I(a) = ??+,

так что, если использовать найденное для I(a) выражение,

С = - ??.

Перейдем здесь к пределу при а>+?; так как



||?||,

то интеграл стремится к нулю, и находим : С= -??. Окончательно, для а>0

I(a) = ??.

№ 2 Найти производную по параметру ?? интеграла

I(??) = ,

где непрерывна вместе со своей производной в промежутке [0,a] и 0<??? a.

Применить формулу (16) непосредственно мы можем, ибо подынтегральное при х=а, вообще говоря, обращается в бесконечность. Мы прибегнем к обходному пути, подстановкой х=??t преобразуем интеграл к виду:

I(??) = ;

здесь применима уже теорема 3. Найдем, дифференцируя интеграл по правилу Лейбница:

I?(??) = + ,

или, если вернуться к прежней переменной,



I?(??) = + .

Преобразовав первый из этих интегралов путем интегрирования по частям, можно придать формуле более простой вид:

I?(??) = + .

№ 3 Исследовать на непрерывность функцию

F(y)=

где функция f(x) непрерывна и положительна на сегменте [0,1].

Решение:

Функции ц(х)= и f интегрируемы по х на [0,1] и знакопостоянны при 0<x<1. Так же f непрерывна, следовательно:

F(y)=f(c(y))arctg, 0?c(y)?1.

Пусть е>0. Тогда

|F(е)-F(-е)|=|(f(c(е))+f(c(-е)))arctg|?2> >??>0, е>0.

Таким образом, функция F разрывна в нуле.

Далее, поскольку функция ш(х,y)= непрерывна в каждом из прямоугольников [0?x?1;д?y?A], [0?x?1;-A ?y? -д], где д>0, A >0, то, согласно теореме 2, функция F непрерывна на каждом из отрезков [д,A] и [-A,-д]. Поскольку д и А произвольны, то отсюда следует, что функция F непрерывна ?у?0.

№ 4 Найти

Так как функция непрерывна, то согласно теореме 1, возможен предельный переход по ?? под знаком интеграла, когда ??> и - конечное.

=

№ 5 Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл

I(a) =

Решение

Пусть a?е>0. Тогда функции

f(x,a)=

непрерывны в прямоугольнике П={(x,е)|}. Поэтому, согласно теореме 3, при а ? е ? 0 справедливо равенство

= = ;



из которого интегрированием находим

I(a)= (1)

где С - произвольная постоянная.

Так как е>0 может быть произвольно мало, то полученный результат справедлив при всяком a>0. Тогда из (1) следует, что

C=. (2)

Таким образом, если исходный интеграл представляет собой непрерывную функцию параметра а, то, с учетом (2), имеем С=I(0). Но интеграл действительно непрерывен по а. Следовательно, С=0 и I(a)= при а?0.

Учитывая ещё очевидное равенство I(a)=I(|a|)sgn(a), окончательно находим I(a)= ?a.

№ 6 Пользуясь формулой

, x?0, (1)

вычислить интеграл

. (2)

Решение

Интеграл (2) является несобственным, поэтому его следует понимать как предел



.

Подставляя сюда интеграл (1), получим

I = . (3)

Так как функция f(x,y)= является непрерывной на прямоугольнике П={(x,y)| 0?x?1-е, 0?y?1}, то из (3), используя теорему 4 находим

I= .

Сделав в интеграле А=, |х|<0, подстановку t=arcsin(x), получаем

A=arctg(z), z=tg(arcsin(x)).

Следовательно,

В(е,y)=A= arctg( tg(arcsin(1-е))).

Поскольку функция В про 0?е?1, 0?у?1 является непрерывной (при е=0 полагаем В(0)=, то имеем

I=.



Заключение

Цель данной курсовой работы была - изучить интегралы, зависящие от параметра и разобрать примеры на данную тему.

В соответствии с поставленной целью в ходе работы были выполнены следующие задачи:

- сформулирована основная теория, связанная с интегралами, зависящими от параметра;

- рассмотрены решения некоторых примеров.



Список литературы

1. Фихтенгольц Г.М., "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 2, 2006.

2. Б.П. Демидович, "Сборник задач и упражнений по математическому анализу", 1977.

Размещено на Allbest.ru

...