Основные понятия в математической логике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные понятия в математической логике

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики. Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления.

Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеств.

Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B.

Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B.

Операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел, например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. Quotient частное).

Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократим ых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать.

Множеством всех действительных чисел называется множество элементов обладающих следующими свойствами:

1) Для всякой упорядоченной пары действительных чисел a и b определено единственное действительное число - сумма a+b.

2) Для упорядоченной пары a, b действительных чисел a и b существует действительное число, называемое произведением и обозначаемое a·b.

3) Связь между операциями сложения и умножения: для любых 3-х действительных чисел справедливо a (b+c)=ab+bc (дистрибутивность сложения относительно умножения).

4) Множество R упорядочено, т.е. для любых 2-х чисел a и b выполняется одно из соотношений: a=b; a>b; a<b.

5) Аксиома Дедекинда. Для любого сечения (X, X?) множества R существует действительное число, производящее это сечение. Оно будет либо наибольшим в нижнем классе X, либо наименьшем в высшем классе X?. Свойство 5, выражаемое аксиомой Дедекинда называют полнотой, непрерывностью множества R.

4. Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят .

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше .

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

Примером ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного - множество всех целых чисел.

ограниченного сверху, но неограниченного снизу - луч ,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху - луч .

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супреммумом, супремум - это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или имнфимумом (лат. infimum - самый низкий), инфимум - это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .

Обратная функция - функция, определенная на множестве значений заданной функции и ставящая в соответствие каждому его элементу множество всех тех элементов из области определения рассматриваемой его полный прообраз.

Функция (отображение, оператор, преобразование) - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция - каждому элементу одного множества которой (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений)

Понятие отображения является одним из основополагающих понятий математики. С его использованием можно дать иное определение функции: функцией с областью определения D и областью значений E называется отображение множества D на множество E, при котором каждому элементу множества D соответствует один вполне определенный элемент множества E, и каждый элемент множества E поставлен в соответствие некоторому (хотя бы одному) элементу множества D.

Счётное мномжество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Другими словами, счётное множество - это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Свойства

1. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.

2. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.

3. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

4. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Несчётное множество - такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Числовая последовательность - это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Геометрическая интерпритация. Начиная с некоторого члена все последующие члены последовательности попадают в окрестности точки a с радиусом Эпсилон.

Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

3. Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

4. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Монотонная последовательность - это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

e - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Нижний предел последовательности - это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности - это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел.

У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел).

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определение предела функции по Коши: пусть f(x) определена на множестве X, и a - предельная точка X. Число b называется пределом f(x) при x > a, если ? е > 0 ? д > 0 такое, что ? x ? {0 < x - a< д}: f(x) - b < е.

Определение предела функции в точке a по Гейне:

b называется пределом f(x) при x > a, если ? {x_n} > a (x_n ? a): {f(x_n)} > b.

Односторомнний предемл в математическом анализе - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны.

Если функция имеет предел при х, то только один.

Если функция имеет предел при x, то она ограничена на некотором открытом луче.

Если функция имеет предел при ха, то только один.

Если функция имеет предел при ха, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Условие Коши. Если существует предел последовательности , то эта последовательность является фундаментальной.

математика множество дедекинд функция

Размещено на Allbest.ru