Математические методы в психологии

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Принято считать, что математика - это царица наук и «зрелость науки обычно определяется тем, в какой мере она использует математику» (С.С. Стивенс). На стыке математических и психологических дисциплин возникла относительно новая дисциплина «Математические методы в психологии».

Благодаря проникновению математического аппарата в психологию специалисты, работающие в данной сфере, смогли количественно описывать и сравнивать наблюдаемые явления. Современному психологу владение математической статистикой необходимо прежде всего потому, что, используя ее он сможет обосновать свои рассуждения и доказать закономерность выводов.

Владение математическими методами и правильное применение статистики позволяет психологу:

в обобщенном виде описывать закономерности психологических явлений;

доказывать правильность и обоснованность используемых методических приемов и методов;

строго обосновывать экспериментальные планы;

находить зависимости между экспериментальными данными;

выявлять наличие существенных различий между группами испытуемых (экспериментальными и контрольными);

строить статистические предсказания.

После изучения курса «Математические методы в психологии» студенты должны уметь:

выдвигать и проверять статистические гипотезы;

описывать экспериментальные результаты;

измерять степень сопряженности психологических явлений;

делать правильные психологические выводы на основе результатов статистического анализа;

понимать психологическую литературу, в которой представлена информация о статистической обработке экспериментальных данных.

Математическая статистика, как отмечает О.Ю.Ермолаев, «в руках психолога может и должна быть мощным инструментом, позволяющим не только успешно лавировать в море экспериментальных данных, но и, прежде всего, способствовать становлению его объективного мышления».

Настоящее учебно-методическое пособие призвано дать студентам представление об основных статистических процедурах и способах их применения.

Данное учебно-методическое пособие содержит четыре раздела. В первых трех разделах представлены информационно-справочные материалы по основным дидактическим единицам государственного образовательного стандарта ВПО (специальность 030301 «Психология»). В параграфах приведены примеры, которые позволят студентам научиться использовать математический инструментарий. Кроме того после первого и второго разделов имеются задания для самостоятельной работы, которые позволят студентам самостоятельно проводить первоначальную статистическую обработку данных экспериментальных исследований и формулировать статистически обоснованные выводы. В четвертом разделе учебно-методического пособие представлены материалы для самоконтроля (тестовые задания и вопросы для подготовки к зачету) по всему материалу курса.

В глоссарий включены основные понятия курса «Математические методы в психологии».

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

ТЕМА 1. ПРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЯ В ПСИХОЛОГИИ И ВИДЫ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛ

1.1 Измерение в психологии

Психологическое исследование начинается с некоторого предположения, которое требуется либо подтвердить, либо опровергнуть. Это предположение - гипотеза - формулируется в отношении связи явлений или свойств в некоторой совокупности элементов.

Например. Исследователи (Л.П. Фридман, Б.В. Кулагина, 1991г.) предположили, что школьная успеваемость - важнейший критерий для формирования самооценки у большинства детей 6-11 лет. В этом исследовании ученых интересуют такие свойства, как самооценка детей и их успеваемость. А совокупность элементов в данном случае - это дети 6-1 лет.

Для проверки такого рода предположений исследователям нужно измерить соответствующие свойства у участников психологического исследования. Измерение - это приписывание числовых форм объектам или событиям в соответствии с определенными правилами (С. Стивенс).

В нашем примере нужно измерить самооценку детей в возрасте 6-11 лет и сравнить полученные данные с результатами успеваемости. Однако невозможно измерить самооценку у всех детей 6-11 лет. Поэтому ученые проводят изучение разных свойств и явлений на относительно небольших группах людей. В связи с этим в психологических исследованиях рассматриваются понятия генеральная совокупность и выборка.

Генеральная совокупность - это все множество элементов, в отношении которого формулируется предположение (гипотеза). Теоретически считается, что объем генеральной совокупности не ограничен.

Выборка - это любая группа элементов (испытуемых, респондентов), выделенная из генеральной совокупности для проведения психологического исследования.

Объем выборки, обычно обозначается буквой n, может быть любым, но не меньшим чем два респондента. В статистике различают малую (n<30), среднюю 30< n< 100 и большую выборку (n> 100). Следует отметить, что в психологии известны исследования, в которых в качестве респондента выступал один человек (лонгитюдное наблюдение).

Основные критерии обоснованности выводов исследования - репрезентативность выборки и статистическая достоверность результатов.

Репрезентативная выборка - это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности представлены приблизительно в той же пропорции и с той же частотой, с которой данный признак встречается в генеральной совокупности. Первый и основной прием получения репрезентативной выборки - простой случайный отбор (рандомизация). Второй метод получения репрезентативной выборки - стратифицированный случайный отбор.

Статистическая достоверность результатов исследования определяется при помощи методов спастического вывода, которые предъявляют определенные требования к объему выборки.

Для разработки и адаптации диагностического инструментария требуемый объем выборки составляет от 200 до 1000-2500 человек. Если необходимо сравнить результаты, полученные в двух выборках, то их общая численность должна быть не менее 50 человек. Если изучается взаимосвязь между какими-либо свойствами, то объем выборки должен быть не менее 30-35 человек.

Различают зависимые (связные) и независимые (несвязные) выборки. Выборки называются независимыми (несвязными), если процедура психологического исследования и полученные результаты измерения некоторого свойства у испытуемых одной выборки не оказывают влияния на особенности протекания этого же исследования и результаты измерения этого же свойства у испытуемых другой выборки. Зависимые (связные) выборки - выборки, если процедура исследования и полученные результаты измерения некоторого свойства, проведенные на одной выборке, оказывают влияние на другую.

Например. При изучении самооценки детей в возрасте 6-11 лет методом срезов мы анализирует полученные данные в каждой возрастной группе 6-7-8-9-10-11 лет. В этом случае группы респондентов 6-7-8-9-10-11 лет будут несвязными. Если же мы будем изучать динамику развития самооценки у детей 6-7-8-9-10-11 лет на протяжении двух-трех лет, тогда группы респондентов будут связными.

1.2 Виды шкал

С. Стивенс предложил классификацию шкал из 4 типов шкал измерений: номинативная, или номинальная, или шкала наименований; порядковая, или ординарная шкала; интервальная шкала, или шкала интервалов; шкала равных отношений.

Номинативная шкала - это шкала, основанием для классификации в которой выступает nomen (лат.) - имя, название. Номинативная шкала не характеризуется количественными показателями элементов, процедура измерения в номинативной шкале сводится к классификации свойств, группировке объектов, к объединению их в классы, группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны.

Самая простая номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки можно кодировать двумя символами или цифрами, например 0 и 1, или А и B, и т.д.

В номинативной шкале считают частоту встречаемости признака, т.е. число испытуемых, явлений и т.п., попавших в данный класс (группу) и обладающих данным свойством.

Например. В учебном классе насчитывается 25 человек. Из них у 15 человек светлые волосы, а у 10 - темные. Это значит, всем ученикам со светлыми волосами мы припишем символ «А», а всем темноволосым - «Б». Частота встречаемости признака (оттенок волос: темный - светлый) в группе «А» равна 60% (15/25х100%), а в группе «Б» - 40% (10/25х100%).

Для проверки статистической достоверности различий результатов, полученных по номинативной шкале, можно применить следующие критерии: критерий Макнамары, критерий ч2 (хи-квадрат), угловое преобразование Фишера «ц» и коэффициент корреляции «ц».

Интервальная шкала - шкала, классифицирующая элементы по признаку «больше на несколько единиц и меньше на несколько единиц» Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии.

Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения; в психологии это стены и стенайны. Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у нее нет естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства). К экспериментальным данным, полученным в данной шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.

Шкала отношений - шкала, классифицирующая элементы пропорционально степени выраженности измеряемого свойства. В шкале отношений существует твердо зафиксированный нуль. В физике абсолютная нулевая точка отсчета встречается при измерении длин отрезков или физических объектов и при измерении температуры по шкале Кельвина с абсолютным нулем температур. В психологии примерами шкал равных отношений являются шкалы порогов абсолютной чувствительности (С.Стивенс).

Шкала отношений допускает любые математические операции и использование разнообразных статистических методов.

Порядковая шкала (ранговая, ординарная шкала) - это шкала, классифицирующая элементы по принципу «больше - меньше», «выше - ниже», «сильнее - слабее» и т.д. Использование шкалы порядка позволяет расположить по рангу все элементы множества от самого большого до самого маленького и наоборот. При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды).

Пример. По методике Тейлора «тревожность» были получены результаты пяти респондентов: 42; 30; 18; 50; 22. Указанные значения можно проранжировать двумя способами (от большего значения к меньшему и наоборот) (таблицы 1.1 -1.2.).

Таблица 1.1

значение	50	42	30	22	18
ранг	1	2	3	4	5

или

Таблица 1.2

значение	18	22	30	42	50
ранг	1	2	3	4	5

Случай одинаковых рангов. При проведении психологических исследований могут быть получены одинаковые результаты, которые в дальнейшем необходимо проранжировать. В этом случае существуют особые правила ранжирования.

Наименьшему числовому значению приписывается ранг 1.

Наибольшему числовому значению приписывается ранг равный количеству ранжируемых величин.

Элементам, которые имеют равные числовые значения, приписываются ранги равные средней величине тех рангов, которые эти величины получили бы, если бы они стояли по порядку друг за другом и не были бы равны.

Пример. Психолог получил у 15 испытуемых следующие значения показателя вербального интеллекта: 113, 107, 123, 122, 117, 117, 105, 105, 105, 108, 114, 102, 113, 113, 113. Необходимо проранжировать полученные показатели.

Расположим показатели по возрастанию.

Таблица 1.3

102	105	105	105	107	108	113	113	113	113	114	117	117	122	123

Проранжируем полученные показатели.

Таблица 1.4

102	105	105	105	107	108	113	113	113	113	114	117	117	122	123
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Рассчитаем ранги одинаковых значений показателя вербального интеллекта.

Значение 105 встречается три раза. Каждое значение в этом случае будет иметь ранг равный (2+3+4)/3=3. Значение 113 встречается четыре раза. Каждое значение в этом случае будет иметь ранг равный (7+8+9+10)/4=8,5. Значение 117 встречается два раза. Каждое значение в этом случае будет иметь ранг равный (12+13)/2=12,5.

Итоговое распределение рангов будет иметь следующий вид.

Таблица 1.5

102	105	105	105	107	108	113	113	113	113	114	117	117	122	123
1	3	3	3	5	6	8,5	8,5	8,5	8,5	11	12,5	12,5	14	15

Проверка правильности ранжирования. Если ранжируется N признаков, то проверить правильность ранжирования можно по формуле:

Сумма рангов = 1+2+3+…+ N= N(N +1)/2

Пример. Рассчитаем правильно ли мы проранжировали значения показателя вербального интеллекта в предыдущем примере. Множество показателя вербального интеллекта включает 15 значений. По формуле найдем исходную сумму рангов

Сумма рангов = 1+2+…+15=15(15+1)/2=120

Найдем сумму полученных нами рангов.

1+3+3+3+5+6+8,5+8,5+8,5+8,5+11+12,5+12,5+14+15=120

Полученные нами значения совпали (120=120). Значит ранжирование проведено верно.

1.3 Формы представления результатов психологического исследования

Для наглядного представления эмпирических данных используются различные приемы. К таким приемам относятся таблицы, графики, гистограммы, диаграммы, ряды распределений. Перечисленные приемы используют для наглядного представления полученных результатов и для того, чтобы в явной форме можно было бы увидеть характерные особенности поведения исследуемых признаков (явлений свойств).

Полученные психологом эмпирические данные нуждаются в обработке. Обработка начинается с упорядочения и систематизации результатов, т.е. объединение их в относительно однородные группы по некоторому признаку. Такая техническая процедура называется группировкой.

Наиболее распространенной формой представления эмпирических данных является статистические таблицы. Таблицы бывают простые и сложные.

Пример. Психолог проанализировал возрастной и половой состав 5-х классов в одной из школ. Получил следующие данные: мальчиков всего 26 человек, девочек - 34 человека. Из них в возрасте 10 лет - 28 человек, а в возрасте 11 лет - 32 человека.

Полученные данные можно представить в виде простой таблицы (таблица 1.6.).

Таблица 1.6

	10 лет	11 лет	сумма
Мальчики	14	12	26
Девочки	14	20	34
сумма	28	32	60

Примером сложной таблицы служит таблица, в которой представлены классические данные Ф.Гальтона, иллюстрирующие наличие положительной зависимости между ростом родителей и их детей (таблица 1.7.).

Таблица 1.7

Рост родителей	Рост детей в дюймах	всего
	60,7	62,7	64,7	66,7	68,7	70,7	72,7	74,7
74							4		4
72			1	4	11	17	20	6	62
70	1	2	21	48	83	66	22	8	251
68	1	15	56	130	148	69	11		430
66	1	15	19	56	41	11	1		144
64	2	7	10	14	4				37
всего	5	39	107	255	387	163	58	14	928

Гистограмма распределения частот - это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака. Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения.

Пример. Психолог в группе юношей и девушек (60 человек) измерил тревожность при помощи тестовой методики. Были получены следующие результаты выраженности уровня тревожности (в %).

Таблица 1.8

	Низкий	Средний	Высокий
Юноши	10	60	30
Девушки	15	45	40

Гистограмма 1

Графики позволяют наглядно представить динамику изменения исследуемого признака.

Пример. Психолог разработал программу, направленную на развитие внимания у младших школьников. Для оценки результативности программы он использует корректурную пробу. Психологом сделаны три измерения количества ошибок по методике «корректурная проба»: до начала занятий, сразу после окончания программы и спустя месяц после окончания занятий по программе. В коррекционной группе насчитывалось 2 человека. Результаты, полученные психологом, представлены на графике.



График 1

Следует уделять внимание при использовании таблиц, графиков, диаграмм и т.п. их названию. В названии должно быть очень понятно отражено какие результаты представлены в таблицах, гистограммах, графиках и т.д.

Пример. В таблице 1.6. (с.10) представлены результаты, характеризующие выборку (реальные группы учеников, обучающихся в 5-х классах) по полу и возрасту. Название таблицы: «Характеристика параллели 5-х классов (по возрасту и полу)». В таблице 1.7. (с.10) представлены данные, характеризующие взаимозависимость между ростом детей и их родителей, поэтому название таблицы звучит так: «Взаимозависимость показателей, характеризующих рост детей и их родителей (в дюймах)». В таблице 1.8. (с.11) и гистограмме 1 (с.11) представлены результаты, характеризующие выраженность тревожности юношей и девушек. Название таблицы и гистограммы: «Выраженность уровня тревожности среди юношей и девушек (в %)». График 1 может иметь следующее название: «Динамика количества ошибок, которые допустили учащиеся при выполнении задания «корректурная проба» до и после коррекционно-развивающих занятий».

ТЕМА 2. ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ

2.1 Меры центральной тенденции

Мера центральной тенденции - это число, характеризующее выборку по уровню выраженности измеренного признака.

Существуют три способа определения «центральной тенденции», каждому из которых соответствует своя мера: мода, медиана и выборочное среднее.

Мода - это такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Мода обозначается - Мо.

Пример. В ряду значений (12, 16, 16, 18, 19, 19, 19, 20) модой является 19, потому что 19 встречается чаще любого другого числа. Обратите внимание, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 19), а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).

В ряду (5, 5, 6, 6, 7, 7) моды нет.

В выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина - (2+5) = 3,5

В ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.

Медиана - это значение, которое делит упорядоченное (ранжированое) множество данных пополам. Обозначается медиана как Х с волной или Md и определяется как величина, по отношению к которой по крайней мере 50 % выборочных значений меньше неё и по крайней мере 50 % - больше.

Пример. Найдем медиану выборки 7; 14; 12; 19;. 5; 9; 11. Сначала упорядочим выборку по величине входящих в неё значений. 5; 7; 9; 11; 12; 14; 19. Поскольку в выборке 7 элементов, то четвертый будет иметь значение большее, чем первые три, и меньшее, чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертый элемент - 11

Найдем медиану выборки 3; 7; 2; 6; 9; 11. Упорядочим выборку: 2; 3; 6; 7; 9; 11. Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» 6 и 7. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений. Мd=(6+7)|2=6,5

Среднее - (Мх - выборочное среднее, среднее арифметическое) - определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений (формула 1).

(1)

Пример. Психолог измерил уровень тревожности у учащихся 5-х классов в ситуации проверки знаний по Филипсу. Получил следующие результаты: 12; 27; 38; 26; 45; 32. Для вычисления среднего результата по группе необходимо сложить все значения 12+27+38+26+45+32=180 и полученную сумму разделить на количество элементов (на 6). Мх=30.

2.2 Меры положения

В психологии используются помимо мер центральной тенденции меры положения, которые называются квантилями распределения. Квантиль распределения - это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотношением их численности.

Медиана - это значение, которое делит упорядоченное (ранжированое) множество данных на две группы с равной численностью.

Процентиль - это 99 точек - значений признака (Р1, Р2, Р3, … Р99), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 равных частей, равных по численности.

Квартили - это 3 точки - значения признака (Р25, Р50, Р75), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль соответствует 25 процентилю, второй - 50 процентилю и медиане, третий квартиль соответствует 75 процентилю.

2.3 Меры изменчивости

Меры изменчивости позволяют охарактеризовать выраженность индивидуальных различий испытуемых по измеренному признаку. Меры изменчивости применяются в психологии для численного выражения величины межиндивидуальной вариации признака.

Размах (разброс) - разность между максимальной и минимальной величинами конкретного вариационного ряда, т.е.

R=Xmax - Xmin

Пример. Для определения размаха выборку необходимо упорядочить (по возрастанию). Нам дано множество данных: 4, 5, 6, 6, 7, 13, 13, 25, 25, 27, 30. Размах равен разности между наибольшим и наименьшим значениями, т.е. 30 - 4 = 26.

Дисперсия - это мера разброса данных относительно среднего значения. Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной).

(2)

n - объем выборки

i - индекс суммирования

Mx - среднее, вычисляемое по формуле (1)

Пример. Вычислим дисперсию ряда: 4, 6, 8, 10, 12.

Найдем среднее значение: (4+6+8+10+12)/5= 8

Вычислим величины для каждого элемента: 4-8=-4; 6-8=-2;

8-8=0; 10-8=2; 12-8=4. Если сложить все полученные величины, то получиться 0, а это значит, мы вычислили все верно.

Для того, чтобы избавиться от нуля, получаемого при сложении полученных величин, каждую величину возведем в квадрат.

= 16+4+0+4+16=40

=10 - это и есть искомая дисперсия

Стандартное отклонение - (сигма, среднеквадратичное отклонение) - положительное значение квадратного корня из дисперсии.

(3)

Пример. Для того, чтобы вычислить стандартное отклонение в предыдущем примере, нам необходимо извлечь квадратный корень из величины дисперсии, а именно =3,16

ТЕМА 3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

3.1 Понятие нормального распределения

Каждому психологическому свойству соответствует свое распределение генеральной совокупности. Нормальное распределение является одним из важнейших в математической статистике, поскольку многие статистические методы предполагают, что, анализируемые с их помощью экспериментальные данные распределены нормально. Нормальное распределение (называемое также распределением Гауса) характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине, - часто.

Нормальное распределение имеет колоколообразную форму, значения моды, медианы и среднего арифметического равны (рис. 1).

Рис. 1 Кривая нормального распределения с границами стандартных отклонений

Эмпирическим путем было установлено, что многие биологические параметры распределены в соответствии с законом нормального распределения (рост, вес и т.д.). Впоследствии психологи выяснили, что большинство психологических свойств (показатели IQ, темпераментные особенности и т.д.) также распределены нормально.

Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 95,44% всех наблюдений лежат диапазоне ± 2у (два стандартных отклонения) от среднего арифметического, т.е. в этом диапазоне располагаются значения, относящиеся к статистической норме.

3.2 Разработка тестовых шкал

В ходе выполнения психологических исследований экспериментатор получает исходные тестовые оценки, т.е. количество ответов на те или иные вопросы тестовых методик, время или количество решенных задач и т.д. Они называются первичными, или «сырыми» баллами.

Для того, чтобы сравнить результаты, полученные в ходе диагностики с использованием разных методик, необходимо провести процедуру стандартизации. Стандартизация или z - преобразование данных - это перевод измерений в стандартную Z-шкалу (Мz=0, уz=1) (формула 4).

(4)

Различают множество стандартных тестовых шкал, основное назначение которых - представление индивидуальных результатов тестирования в удобном для интерпретации виде.

Для того, чтобы избавиться от неизбежных отрицательных и дробных значение мы рассмотрим некоторые шкалы: z-шкалу, шкалу стенов, шкалу стенайнов, шкалу Векслера. Общим для них является соответствие нормальному распределению (рис. 2).

IQ - шкала имеет среднее 100 и сигму 15

T-шкала имеет среднее 50 и сигму 10

Шкала стенов (стандартная 10) имеет среднее 5,5 и сигму 2

Шкала стенайнов (стандартная 9) имеет среднее 5 и сигму ?2

Перевод в новую шкалу осуществляется по формуле 5.

(5)

Рис. 2 Нормальная кривая и тестовые шкалы

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 1

Во взаимодействии детей 6-11 лет с предметами окружающего мира имеются определенные различия между мальчиками и девочками (М.В.Осорина).

Назовите характерные различия между мальчиками и девочками в возрасте 6-11 лет во взаимоотношениях с предметами окружающего мира.

Какие свойства могут интересовать исследователей?

Какую совокупность элементов в этом случае нужно изучать?

Какой объем выборки позволит сделать статистически обоснованный вывод в данном исследовании?

Какие выборки (связные или несвязные) различают в данном исследовании?

Личные характеристики детей, которые служат основанием для взаимных выборов, с возрастом меняются (А.А.Реан, Я.Л.Коломинский).

Назовите основания для взаимных выборов детей в 1-2-х классах и в более старшем возрасте.

Какие свойства могут интересовать исследователей?

Какую совокупность элементов в этом случае нужно изучать?

Какой объем выборки позволит сделать статистически обоснованный вывод в данном исследовании?

Какие выборки (связные или несвязные) различают в данном исследовании?

В подростковом и юношеском возрасте продуктивность непроизвольного запоминания замедляется и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредованного запоминания (А.Н.Леонтьев).

Какие свойства могут интересовать исследователей?

Какую совокупность элементов в этом случае нужно изучать?

Какой объем выборки позволит сделать статистически обоснованный вывод в данном исследовании?

Какие выборки (связные или несвязные) различают в данном исследовании?

Определите, в какой шкале представлено каждое из приведенных ниже измерений: наименований, порядка, интервалов, абсолютной.

Порядковый номер испытуемого в списке (для его идентификации).

Количество вопросов в анкете как мера трудоемкости опроса.

Упорядочивание испытуемых по времени решения тестовой задачи.

Академический статус (ассистент, доцент, профессор) как указание на принадлежность к соответствующей категории.

Академический статус (ассистент; доцент, профессор) как мера продвижения по службе.

Телефонные номера.

Время решения задачи.

Количество агрессивных реакций за рабочий день.

Количество агрессивных реакций за рабочий день как показатель агрессивности.

На трех разных, достаточно больших группах испытуемых изучалась диагностическая ценность методики измерения креативности. Методика представляла собой 10 заданий, которые испытуемые решали за определенный промежуток времени. Фиксировалось количество решенных заданий (минимум - 0, максимум - 1). По результатам исследования была построена таблица, позволяющая сравнить три группы по распределению относительных частот (в %) показателей креативности [Наследов, с. 37]

Решенные задания	Относительные частоты (%)
	Группа 1	Группа 2	Группа 3
0	1	10	0
1	4	20	0
2	5	30	1
3	10	30	2
4	20	5	3
5	30	3	4
6	20	1	10
7	5	0	15
8	3	0	25
9	1	0	25
10	1	0	15

Для какой из групп задания были слишком легкие, а для какой - слишком трудные?

В какой группе наблюдается наибольшая, а в какой - наименьшая индивидуальная изменчивость результатов?

В отношении какой группы, на ваш взгляд, методика может иметь наибольшую диагностическую ценность - точнее измерять индивидуальные различия?

Психолог протестировал две группы испытуемых по 5 человек в каждой по методике дифференциальной диагностики депрессивных состояний В.А. Жмурова. результаты представлены в таблице.

№ испытуемых п/п	Группа 1	Группа 2
1	15	26
2	45	67
3	44	23
4	14	78
5	21	3

Проранжируйте результаты в обеих группах как в одной. Проверьте правильность ранжирования.

Психолог провел традиционное тестирование интеллекта по тесту Ржичана у 25 школьников. Сырые баллы по тесту оказались следующими: 6 9; 5; 7; 10; 8; 9; 10; 8; 11; 9; 12; 9; 8; 10; 11; 9; 10; 8; 10; 7; 9; 10; 9; 11. Представьте данный ряд значений в более компактной форме, используя частоту встречаемости признака (fi).

Проранжируйте представленные в таблице качества в отношении образа «квалифицированный психолог» и в отношении образа «Я». Цифре 1 соответствует самое важное качество и т.д.

Образ «Я»		Образ «квалифицированного психолога»
	Самостоятельность
	Решительность
	Настойчивость
	Инициативность
	Целеустремленность
	Организованность
	Открытость
	Ответственность
	Самообладание
	Порядочность
	Любознательность
	Эмпатичность

Рассчитайте моду, медиану и среднее арифметическое множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтестам «Осведомленность» и «Скрытые фигуры» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтестам «Осведомленность», «Скрытые фигуры» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов психологического исследования «Заучивание слов» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтесту «Числовые ряды» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтесту «Аналогии» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтесту «Геометрическое сложение» (таблица 1 Приложения).

Рассчитайте размах, дисперсию и стандартное отклонение (с точностью до двух знаков после запятой) множества элементов, характеризующих значения респондентов по субтесту «Умозаключения» (таблица 1 Приложения).

Определите средний показатель роста студентов вашей группы и соответствующее стандартное отклонение. Какова должна быть высота дверного проема, чтобы быть уверенным, что сквозь него, не нагибаясь, смогут пройти 99% студентов группы?

стивенс психологический статистический

РАЗДЕЛ 2. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА

ТЕМА 4. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

4.1 Статистические гипотезы

Полученные в экспериментах выборочные данные всегда ограничены и носят случайный характер. Именно поэтому для анализа таких результатов используют математическую статистику.

В психологических исследованиях невозможно учесть все возможные влияния на элементы выборки, поэтому оценка параметров генеральной совокупности, сделанная на основании выборочных данных, как указывает О.Ю.Ермолаев, всегда будет сопровождаться погрешностью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончательные утверждения. Такие предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез.

При проверки статистических гипотез используются два понятия: нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза. Нулевая гипотеза (обозначение Ho) - это гипотеза о сходстве, альтернативная гипотеза (обозначение H1) - это гипотеза о различии.

Пример. Психолог измерил показатели IQ у детей из полных и неполных семей. Статистические гипотезы мы формулируем следующим образом: Ho - Статистически значимые различия в показателях IQ у детей из полных и неполных семей отсутствуют. H1 - Существуют статистически значимые различия в показателях IQ у детей из полных и неполных семей.

4.2 Статистическая значимость

Уровень статистической значимости результата исследования (p-уровень) - это количественно выраженная вероятность, свидельствующая о том, что результаты достоверны. Уровнем значимости называется вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы.

В психологии считается, что низшим уровнем статистической значимости является уровень p=0,05; достаточным - p=0,01; высшим - p=0,001.

Соотношение показателей p-уровня и степени значимости можно представить в виде таблицы 4.1. (по А.Д. Наследову)

Таблица 4.1 Соотношение значимости и p-уровня (по А.Д. Наследову)

Уровень значимости	Возможный статистический вывод
p > 0,1	Статистически достоверные различия не обнаружены
p ? 0,1	Различия обнаружены на уровне статистической тенденции
p ? 0,05	Обнаружены статистически достоверные (значимые) различия
p ? 0,01	Различия обнаружены на высоком уровне статистической значимости
p ? 0,001	Различия обнаружены на высшем уровне статистической значимости

Используя методы математической статистики, исследователь получает так называемую эмпирическую статистику (Кэмп. - коэффициент эмп.). Кэмп - это условное название. Полученную эмпирическую статистику необходимо сравнить с двумя критическими величинами, которые соответствуют рассмотренным выше уровням статистической значимости. Критические величины для используемых коэффициентов находятся в специальных таблицах.

Пример. Психолог рассчитал Кэмп и нашел по таблицам Ккр.



Для сравнения эмпирического и критический значений используемого критерия нужно воспользоваться «осью значимости».

«Ось значимости» представляет собой прямую, на левом конце которой располагается 0, хотя он, как правило, не отмечается на самой этой прямой, и слева направо идет увеличение числового ряда. Левая зона называется зоной незначимости, правая - зона значимости, а промежуточная зоной неопределенности. Границами всех трех зон являются для p = 0,05 и p = 0,01, как это показано ниже на рисунке 3.

Пример. Для принятия статистического решения нужно на оси значимости отметить эмпирическое значение коэффициента.

Если Кэмп. попало в зону незначимости, то принимается Н0. Если Кэмп. попало в зону неопределенности то принимается Н1 на 5% уровне статистической значимости. Если Кэмп. попало в зону значимости, то принимается Н1 на 1% уровне статистической значимости.

4.3 Этапы принятия статистического решения

О.Ю. Ермолаев предлагает для принятия статистического решения выделять следующие этапы.

Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.

Определение объема выборки N.

Выбор соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения нулевой гипотезы. Это может быть величина меньшая или равная 0,05 (5% уровень значимости). В зависимости от важности исследования можно выбрать уровень значимости в 0,1% или даже в 0,001%.

Выбор статистического метода, который зависит от типа решаемой психологической задачи.

Вычисление соответствующего эмпирического значения по экспериментальным данным, согласно выбранному статистическому методу.

Нахождение по таблице для выбранного статистического метода критических значений, соответствующих уровню значимости для Р=0,05 и для Р=0,01.

Построение оси значимости и нанесение на нее табличных критических значений и эмпирического значения. Для этого целесообразно пользоваться каждый раз приведенными выше рисунками.

Формулировка принятия решения.

4.4 Классификации психологических задач

Е.В. Сидоренко и О.Ю. Ермолаев предложили следующую классификацию задач и методов их решения (таблица 4.2.) [с.34]

Таблица 4.2

Задачи	Условия	Методы
Выявление различий в уровне исследуемого признака	Две выборки испытуемых	Критерий Макнамары Q критерий Розенбаума U критерий Манна-Уитни ц - критерий (угловое преобразование Фишера)
	Три и больше выборок испытуемых	S критерий Джонкира H критерий Крускала-Уоллиса
Задачи	Условия	Методы
Оценка сдвига значений исследуемого признака	Два замера на одной и той же выборке испытуемых	T критерий Вилкоксона G критерий знаков ц критерий (угловое преобразование Фишера) t -критерий Стьюдента
	Три и более замеров на одной и той же выборке испытуемых	критерий Фридмана L критерий тенденций Пейджа t -критерий Стьюдента
Выявление различий в распределении признака	При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим	ч2 критерий Пирсона л критерий Колмогорова - Смирнова t -критерий Стьюдента
	При сопоставлении двух эмпирических распределений	ч2 критерий Пирсона л критерий Колмогорова - Смирнова ц критерий (угловое преобразование Фишера)
Выявление степени согласованности изменений	Двух признаков	ц коэффициент корреляции Пирсона з корреляционное отношение Пирсона ф коэффициент корреляции Кендела с коэффициент ранговой корреляции Спирмена

ТЕМА 5. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ СВЯЗНЫХ ВЫБОРОК

Непараметрические критерии - это критерии, которые не базируются на предположении о типе распределения генеральной совокупности и не используют параметры этой совокупности (среднее, дисперсию и стандартное отклонение).

Связные выборки - это выборки, элементы которых находятся в какой-то зависимости.

5.1 Критерий знаков G

Критерий знаков G позволяет установить, насколько однонаправлено изменяются значения признака при повторном изменении связанной, однородной выборки.

При вычислении критерия знаков G рассчитываются «сдвиги». Сдвиг - это величина разности между показателями выраженности какого-либо признака одного и того же участника «после» и «до» какого-либо воздействия на признак. В результате получаем нулевые, положительные и отрицательные сдвиги. Отрицательные сдвиги не рассматриваются.

Для решения вопроса об изменении признака вводятся понятия типичного и нетипичного сдвига.

Типичный сдвиг - это сумма сдвигов, получившая наибольшее количество значений (отрицательных или положительных).

Нетипичный сдвиг - это сумма сдвигов, получившая наименьшее количество значений (отрицательных или положительных) и обозначается как Gэмп.

Пример. Психолог проводит коррекционно-развивающие занятия с первоклассниками, направленными на развитие произвольного внимания. Его задача - выяснить будет ли эффективным вариант коррекционно-развивающей программы для развития произвольного внимания. Для решения этой задачи психолог измерил по методике «корректурная проба» количество ошибок, которые допускали ученики до и после занятий по программе.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
До	24	12	42	30	40	55	50	52	50	22	33	78	79	25	12
После	22	12	41	31	32	44	50	32	32	21	34	56	78	23	18
СДВИГ	-2	0	-1	1	-8	-11	0	-20	-18	-1	2	-22	-1	-2	6

Общее число нулевых сдвигов -2;

Общее число положительных сдвигов - 3;

Общее число отрицательных сдвигов - 10.

Gэмп. = 3, так это наименьшее количество значений.

Оценка статистической достоверности различий по критерию знаков G производится по таблице критических значений для данного критерия.

Количество типичных сдвигов (n=10) показывает для какого n нужно искать критические значения критерия.

Отметим все полученные значения на оси значимости.

Полученное эмпирическое значение критерия знаков G попало в зону незначимости, следовательно, принимается нулевая гипотеза об отсутствии различий. А это значит, что вариант коррекционно-развивающей программы психолога не оказывает существенного влияния на развитие произвольного внимания и его необходимо доработать.

5.2 Парный критерий T-Вилкоксона

Критерий Т-Вилкоксона основан на ранжировании абсолютных величин разности между двумя рядами выборочных значений в первом и втором измерении. Для нахождения числового значения критерия Т необходимо помнить о типичных и нетипичных сдвигах.

Пример. Психолог разработал программу тренинга, направленного на снижение тревожности. Его задача - выяснить будет ли данный вариант тренинговой программы эффективен для снижения тревожности. Используя методику Тейлора, психолог измерил уровень тревожности до и после программы тренинга у 19 участников.

Общая сумма нетипичных сдвигов - 3. В таблице в последней строке они отмечены звездочкой.

Для вычисления критерия Т Вилкоксона нужно сложить ранги нетипичных сдвигов.

Tэмп. = 6,5 + 6,5 + 13,5 = 26,5

По таблице критических значений находим критические значения критерия Т.

Полученное эмпирическое значение критерия Т Вилкоксона попало в зону значимости, следовательно, принимается альтернативная гипотеза о наличии различий. А это значит, что вариант тренинговой программы психолога оказывает влияние на снижение уровня тревожности участников.

К непараметрическим критериям для связных выборок относятся еще критерий Фридмана; L критерий Пейджа и M критерий Макнамары [С.82-95]

ТЕМА 6. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСВЯЗНЫХ ВЫБОРОК

6.1 Критерий U Вилкоксона - Манна - Уитни

Примером несвязных выборок служат экспериментальная и контрольная группы в формирующем эксперименте, т.е. характерной чертой несвязных выборок является то, что в них обязательно входят разные испытуемые.

При вычислении критерия U Вилкоксона - Манна - Уитни важны не числовые значения данных, а порядок их расположения.

Если бы нам пришлось сравнивать два множества элементов, которые расположены по возрастанию числовых величин и мы получили бы такой вид: то такое расположение является идеальным, а две выборки значимо различались бы между собой.

Критерий U Вилкоксона - Манна - Уитни основан на подсчете нарушений в расположении чисел в упорядоченном экспериментальном ряду по сравнению с идеальным рядом. Любое нарушение порядка идеального ряда называется инверсией. Одним нарушением (одной инверсией) считают такое расположение чисел, когда перед некоторым числом первого ряда, стоит только одно число второго ряда. Если перед некоторым числом первого ряда стоят два числа второго ряда - то возникают две инверсии и т.д.

Пример. Психологом были получены следующие результаты времени решения тестовых заданий по методике Ржичана в двух группах. В состав первой группы входили только мальчики, а в состав второй группы - только девочки. Психолога интересует вопрос, различается ли время затраченное на решение задач мальчиками и девочками.

В исследовании принимали участие 9 мальчиков и 11 девочек.

Время, затраченное на решение задач мальчиками: 16; 9; 11; 24; 48; 62; 52; 31; 44.

Время, затраченное на решение задач девочками: 12; 15; 64; 36; 42; 33; 15; 29; 42; 15; 33.

Упорядочим полученные результаты по возрастанию в каждой группе.

(Х): 9 11 16 24 31 44 48 52 62

(У): 12 15 15 15 29 33 33 36 42 42 64

9	11	12	15	15	15	16	24	29	31	33	33	36	42	42	44	48	52	62	64
х	х	у	у	у	у	х	х	у	х	у	у	у	у	у	х	х	х	х	у

Внесем полученные результаты в таблицу.

№1	№2	№3	№4
Мальчики (Х)	Девочки (У)	Инверсии (Х/У)	Инверсии (У/Х)
9	-	0	-
11	-	0	-
-	12	-	2
-	15	-	2
-	15	-	2
-	15	-	2
16	-	4	-
24	-	4	-
-	29	-	4
31	-	5
-	33	-	5
-	33	-	5
-	36	-	5
-	42	-	5
-	42	-	5
44	-	10	-
48	-	10	-
52	-	10	-
62	-	10	-
-	64	-	9
Сумма инверсий	53	46

Uэмп. = min (U(Х/У); U(У/Х)) = 46

Находим по таблице критических значений Uкр для n1=9 и n2=11..

Значение попало в зону незначимости, значит, принимается нулевая гипотеза об отсутствии различий. А это означает, что пол не оказывает влияние на время решения тестовых заданий.

6.2 Q критерий Розенбаума

Критерий Q Розенбаума основан на сравнении двух упорядоченных, но не обязательно равных по численности рядов наблюдений.

Работа с критерием Розенбаума предполагает подсчет так называемых «хвостов». Потому этот критерий имеет также название - «критерий хвостов».

При рассмотрении критерия U - Вилкоксона - Манна - Уитни было введено понятие идеального ряда:

Так как в расположении (*) между элементами обоих рядов нет пересечений (одинаковых элементов), то между этими рядами будет статистически значимые различия.

В том случае, если в сравниваемых рядах будут равные элементы, их следует размещать точно друг под другом. В этом случае два сравниваемых ряда можно расположить друг под другом следующими двумя эквивалентными способами (**) и (***):

Q эмп. = T+S

После подсчета «хвостов» следует обратиться к таблице критических значений критерия Розенбаума для уровня статистической значимости p?0,05 и p?0,01 в соответствии с количеством испытуемых в сравниваемых выборках.

Пример. Используя тест Равена психолог измерил показатели инте...