Математическое моделирование квантово-механических процессов в вычислительных экспериментах

Вычислительный эксперимент в отличие от натурных экспериментальных установок позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого-либо круга задач, а затем быстро и гибко применять их к решению задач в совершенно других областях. Этим свойством обладают используемые универсальные математические модели. Например, уравнение нелинейной теплопроводности пригодно для описания не только тепловых процессов, но и диффузии вещества, движения грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах. Изменяется только физический смысл величин, входящих в это уравнение.

Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Необходимо отметить, что нынешнее состояние вычислительной техники, современных численных методов позволяют осуществлять моделирование объектов, поведение которых описывается весьма сложными математическими зависимостями, например, нелинейными системами дифференциальных или интегральных уравнений. Но сложные вычислительные алгоритмы обладают своими внутренними свойствами, которые далеко не всегда аналогичны, даже с точностью до ошибок аппроксимации, свойствам исходной математической модели. Это может приводить к появлению эффектов, имеющих чисто вычислительную природу. Поэтому важной задачей теории численных методов является разработка вычислительных алгоритмов, исключающих или сводящих к минимуму появление подобных ситуаций. Но пока такая теория отсутствует, большое значение имеет качественное исследование модели и ее возможного поведения, возможность найти ответы на три вопроса: что в данной модели может быть, что будет обязательно и чего не будет никогда. Таким образом, проблема разработки адекватных моделей для описания различных процессов и явлений окружающей действительности, и методов, их реализующих, остается весьма актуальной.

На практике результаты первых расчетов, как правило, весьма далеки от реальных. Поэтому происходит постоянное усовершенствование алгоритма, уточнение математической модели до совпадения с какими-то тестовыми или контрольными данными. Этот этап, называемый идентификацией математической модели, всегда присутствует в вычислительном эксперименте. Поэтому нельзя говорить об одной модели любого явления. Всегда существует иерархия математических моделей, начиная от простых и кончая более сложными. Следует выбирать некоторый уровень сложности модели, соответствующей данной конкретной задаче.

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Впервые вычислительный эксперимент начал использоваться для изучения таких процессов, экспериментальное исследование которых невозможно или затруднено. Например, в 40-50 годы XX столетия академик М.В. Келдыш разрабатывает математическое описание космических полетов.

Информационные технологии, поддерживающие вычислительный эксперимент, включают в себя методы построения математических моделей силами конечных пользователей информационных систем (специалистов в своей предметной области, а не профессиональных математиков и программистов), информационную поддержку их деятельности для поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ.

2.3 Возможности современного квантово-механического ПО

Развитие промышленных нанотехнологий и переход к созданию новых материалов на основе наноразмерных структур вызывает необходимость также совершенствования методов компьютерного моделирования процессов зарождения и роста наночастиц и наноразмерных пленок из различных керамик и интерметаллидов. Моделируя процессы зарождения и динамику роста наночастиц на подложке, а также проводя квантово-механические расчеты, можно предсказать структуру наноразмерной пленки и подобрать такие параметры системы, при которых будут получены нужные функциональные свойства, например нанопокрытий.

Дело в том, что в начальной стадии химической реакции при образовании самых первых частиц нового соединения при напылении, проходят процессы агрегации (процесс накопления нового вещества). Исходной позицией агрегации является образование некоторых устойчивых сочетаний атомов или молекул, которые и являются ассоциатами или кластерами. Процесс агрегации трактуется как процесс сочетания различных химических реакций на их первых стадиях. Поэтому при компьютерном моделировании должен изучаться процесс агрегации путем флуктуации (блуждания) частиц с учетом химической природы. Агрегация наночастиц показана на рисунке 2.

Рисунок 2. - STM-изображение поверхности нанопокрытия, полученного в процессе осаждения, является агрегацией наночастиц

Наряду с совершенствованием технологии осаждения наноструктурных покрытий, в настоящей работе исследована зависимость стойкости режущего инструмента от механических свойств частиц покрытий. Как отмечалось выше, важными параметрами прочностных свойств как наночастиц, так и массивного тугоплавкого материала, является набор упругих постоянных (elastic constants) рисунок 3.

Рисунок 3. - Сферические и кубические наночастицы нитридов

Модули упругости наночастиц нитридов и карбидов отличаются от массивного материала. Наночастицы имеют существенно более высокие прочностные характеристики. Они более химически активны и обладают, в этой связи, высокой способностью объединяться в кластеры, образуя тем самым покрытие в массиве рисунок 4.



Рисунок 4. - распределение электронной плотности для объемного нитрида титана (вверху) и кубических наночастиц

Так же проведены расчеты констант упругости.

Константы упругости характеризуют способность материала деформироваться при малом внешнем механическом воздействии (напряжении). Напряжение, как и результирующая деформация тела, являются тензорной величиной. По определению, константы упругости - это коэффициенты пропорциональности между тензором напряжений и деформаций, которые образуют в свою очередь тензор четвертого ранга Сijkl, записываемые как Cij (где i и j принимают значение от 1 до 6). Число независимых констант упругости зависит от симметрии кристалла и изменяется от 3 для кубической сингонии до 21 для триклинной. Для изотропных тел (стекол, аморфных веществ и поликристаллических агрегатов) существуют только две независимые константы упругости.

Количественно упругость характеризуется этими константами, свойственными любому материалу. Большинство свойств, кроме плотности и теплоемкости, связано с анизотропией структуры. Упругость является ярко выраженным анизотропным свойством, константы упругости количественно характеризуют эти свойства. Это коэффициенты пропорциональности, которые связывают упругое смещение материала в данном направлении с приложенным усилием.

Константы упругости характеризуют межатомные взаимодействия, анизотропию кристаллов. Изучение констант упругости позволяет выявить многие фундаментальные особенности взаимодействия частиц в веществе, определять области фононной нестабильности кристаллической решетки и многое другое. С точки зрения термодинамики константы упругости имеют физический смысл вторых производных внутренней энергии по соответствующему вектору смещения, и являются, таким образом, важным критерием для проверки любой теоретической модели кристалла в отношении глубины и кривизны межатомных потенциалов.

Эмпирически расчет констант упругости основан на теории упругости и применении метода конечных деформаций при расчете тензора упругих констант кристалла. Метод конечных деформаций разработан на основе отношений между напряжением и деформацией твердого кристаллического тела определенной симметрией.

Константы упругости имеют различные величины в зависимости от того, протекает деформация в изотермических или адиабатических условиях, что связано с термоупругими эффектами, присущими всем материалам. В общем случае деформация с изменением объема приводит к изменению температуры тела. Из-за теплового расширения модули упругости, измеренные в адиабатических условиях (в отсутствие теплообмена между различными участками деформированного тела, а также со средой) будут отличаться от измеренных в изотермических условиях.

Расчет тензора констант упругости производится на основе теории упругости и закона Гука. Закон Гука справедлив для любого элементарного объема однородного твердого тела, т.е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. Согласно закону Гука, каждая компонента напряжений линейно связана с каждой компонентой деформации. Эти соотношения в явном виде образуют систему линейных уравнений с коэффициентами, которые называются постоянными упругости:

В данном разделе в первую очередь ставится задача рассчитать набор констант упругости для кристаллов с пространственной структурой типа «NaCl», которой соответствуют материалы покрытий из карбида и нитрида титана.

Для кубических кристаллов типа «NaCl» (она же «RockSalt»), как самых высокосимметричных, число констант упругости зависит от точечной симметрии и минимально равно трем: С11, С12, С44. Доказательство здесь не приводится.

В итоге, закон Гука для кубических кристаллов принимает следующий вид в матричной форме записи (5):

(5)

В текущей постановке рассчитаны константы упругости C11, C12 и С44 для материалов TiN, TiC, AlN.

Расчеты приведены в таблице.

Расчет констант упругости для покрытий со структурой типа «NaCl» (RockSalt)

3. Класс задач решаемых в программной среде QUANT

Программа Квант предназначена для численного решения уравнения Шредингера в одномерном кусочно-постоянном потенциале и представления результатов и некоторых известных функций в удобной графической форме.

В программе используется хорошо известный метод «сшивки» точных решений на соседних отрезках. Постановка и способы решения задач описаны в соответствующих теоретических разделах.

Безусловно, необходимо предварительное знакомство с изучаемыми вопросами квантовой механики и умение решать аналитически простейшие задачи. Для качественного понимания численных результатов оказываются полезными физические аналогии из аналитической механики, радиофизики, оптики, акустики, электродинамики.

Для численных расчетов используется система атомных единиц Хартри =me=e. Тем не менее в теоретических разделах сохранены множители и m, чтобы не нарушать привычный вид формул.

3.1 Команды приложения Квант

Все команды обучающей системы разбиты на несколько групп, представленных в виде всплывающих меню, каждое из которых имеет свое название, а все они объединены в линейке главного меню системы, расположенной под заголовком основного окна.

1. Команды Системного меню

Практически любое приложение Windows и любое окно содержат системное меню, в котором перечислены команды управления положением, размером и состоянием окна. О наличии у окна системного меню говорит небольшой квадрат с горизонтальной чертой слева в строке заголовка. Существует два вида системных меню: системное меню приложения или окна диалога и системное меню окна документа, открываемого внутри приложения. Набор команд в этих меню несколько различается, различается и способ активизации.

Активизировать системное меню приложения или окна диалога можно нажав комбинацию клавиш Alt+Пробел либо щелкнув кнопкой мыши на квадрате с горизонтальной чертой слева в окне заголовка.

Активизировать системное меню окна документа можно нажав комбинацию клавиш Alt+Минус либо щелкнув кнопкой мыши на квадрате с горизонтальной чертой слева в окне заголовка.

Закрыть меню без выполнения какой-либо команды можно, нажав клавишу Esc, либо щелкнув кнопкой мыши где-либо вне меню.

Системное меню содержит следующие команды:

1) Восстановить. Команда «Системное меню|Восстановить» восстанавливает размеры того окна, в котором находится системное меню, до его предыдущих значений. При этом если окно было свернуто, оно разворачивается.

2) Переместить. Команда «Системное меню|Переместить» активизирует процесс перемещения того окна, в котором находится системное меню. При этом курсор принимает вид: Пользуясь клавишами управления курсором Вы можете перемещать окно по экрану. Как только оно займет приемлемое для Вас положение, нажмите клавишу Ввод (Enter) для завершения перемещения окна.

Для отмены операции нажмите клавишу Esc. При этом окно займет положение, которое оно имело до начала операции перемещения окна.

Если у Вас установлена мышь (это условие обязательно для приложения Квант) Вы можете переместить окно, ухватив его за строку заголовка.

3) Размер. Команда «Системное меню|Размер» активизирует процесс изменения размера того окна, в котором находится системное меню. При этом курсор принимает вид: Пользуясь клавишами управления курсором Вы можете изменять размер окна. Первое нажатие какой-либо клавиши управления курсором определяет границу окна, которая будет изменена. Далее пользуясь теми же клавишами измените размер окна и нажмите клавишу Ввод (Enter) для принятия нового размера и завершения процесса изменения размера окна.

Для отмены операции нажмите клавишу Esc. При этом окно займет положение, которое оно имело до начала операции.

Если у Вас установлена мышь (это условие обязательно для приложения Квант) Вы можете изменить размер окна, ухватив и переместив одну из его границ.

4) Свернуть. Команда «Системное меню|Свернуть» сворачивает то окно, в котором находится системное меню. При этом окно превращается в икону.

Если у Вас установлена мышь (это условие обязательно для приложения Квант) Вы так же можете свернуть окно, нажав кнопку минимизации: находящуюся справа в строке заголовка окна.

5) Развернуть. Команда «Системное меню|Развернуть» разворачивает то окно, в котором находится системное меню. При этом окно принимает максимальные размеры, допустимые для него.

Если у Вас установлена мышь (это условие обязательно для приложения Квант) Вы так же можете развернуть окно, нажав кнопку максимизации:, находящуюся справа в строке заголовка окна.

6) Закрыть. Команда «Системное меню|Закрыть» закрывает то окно, в котором находится системное меню.

Если у Вас установлена мышь (это условие обязательно для приложения Квант) Вы так же можете закрыть окно, дважды щелкнув левой кнопкой мыши на системном меню того окна, которое необходимо закрыть.

7) Переключиться в… Команда «Системное меню|Переключиться в…» активизирует диалоговое окно «Список задач», в котором Вы можете переключиться в другую запущенную ранее задачу (приложение).

8) Следующее окно. Команда «Системное меню|Следующее окно» активизирует следующее окно из списка окон многодокументного приложения.

9) Предыдущее меню. Команда «Системное меню|Предыдущее окно» активизирует предыдущее окно из списка окон многодокументного приложения.

2. Команды меню Файл

В меню файл объединены команды работы приложения с файлами

1) Файл. Команда «Файл|Новый» создает новый потенциал для обработки приложением Квант. Вид созданного потенциала следующий: U = 0 при любом x. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов.

2) Открыть. Команда «Файл|Открыть…» активизирует диалоговое окно Открыть для открытия и загрузки потенциала для обработки приложением Квант. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов.

3) Сохранить. Команда «Файл|Сохранить» сохраняет потенциал, обрабатываемый приложением Квант в настоящий момент, в файле под тем же именем, которое находится в строке заголовка главного окна приложения Квант. Если файл не имеет имени строка заголовка главного окна приложения Квант имеет вид: «Квант - [Без имени]». В этом случае будет активизировано диалоговое окно Сохранить как, в котором Вы можете задать имя файла, в котором будет сохранен текущий потенциал. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов.

4) Сохранить как… Команда «Файл|Сохранить как…» активизирует диалоговое окно Сохранить как, в котором Вы можете задать имя файла, в котором будет сохранен текущий потенциал.

5) Выход. Команда «Файл|Выход» завершает работу приложения Квант. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов.

6) Имя файла. Команда «Файл|<Имя файла>» предназначена для открытия файла, имя которого указано в названии команды. Как правило это файлы, которые уже использовались приложением.

Активизировать меню файл можно одним из следующих способов:

1) после нажатия клавиши Alt строка в линейке меню с надписью Файл станет выделенной. Нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Файл в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+Ф (Буква Ф подчеркнута в слове Файл).

3. Команды меню Редактирование

В меню редактирование объединены команды редактирования вида потенциала:

1) Отменить. Команда «Редактирование|Отменить» отменяет последнее действие редактирования потенциала. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов. Если указанная команда невозможна (отменяемых операций нет) кнопка блокирована.

2) Потенциальная стенка. Команда «Редактирование|Потенциальная стенка» устанавливает потенциальную стенку в точке с координатой x = 0, или убирает ее если она установлена. Если потенциальная стенка установлена, то команда отмечена слева галочкой. Эта команда дублируется кнопкой в линейке инструментов.

3) Вырезать. Команда предназначена для перемещения выделенного текста в Буфер Обмена.

4) Копировать. Команда предназначена для копирования выделенного текста в Буфер Обмена.

5) Вставить. Команда предназначена для вставки содержимого Буфера Обмена в текущую позицию карета.

6) Удалить. Команда «Редактирование|Удалить». Команда предназначена для удаления выделенного текста.

7) Редактировать как текст. Команда «Редактирование|Редактировать как текст.» создает окно редактирования потенциала в виде текста, представляющего собой числовые значения координат и потенциальных энергий постоянных участков потенциала.

Активизировать меню редактирование можно одним из следующим способов:

1) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Редактирование. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Редактирование в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+Р (Буква Р подчеркнута в слове Редактирование).

4. Команды меню Установки.

В меню установки объединены команды изменения параметров вывода функций и графиков в окнах приложения:

1) Пределы. Команда «Установки|Пределы…» активизирует в зависимости от того, какое окно активно в настоящий момент, диалоговое окно Масштаб вывода потенциала и волновой функции, Масштаб вывода функции поиска связанных состояний или Масштаб вывода коэффициента прохождения для установки масштабов вывода соответствующих функций и графиков в активном окне приложения Квант. Таким образом в зависимости от того, какое окно является активным и какая функция в нем отображается, происходит вызов соответствующего диалогового окна для установки масштаба.

2) Приблизить. Команда «Установки|Приблизить» активизирует процесс уменьшения масштаба при выводе функции поиска связанных состояний в окне демонстрации этой функции.

О том, что процесс начался Вам укажет курсор мыши, который имеет вид двух параллельных линий, перемещающихся вдоль прямой, на которой функция поиска связанных состояний имеет нулевое значение. Переместите мышь так, чтобы отрезок, который Вы хотите просмотреть подробнее, оказался между линиями курсора, и щелкните левой кнопкой мыши. При этом отмеченный отрезок энергии будет «растянут» на всю ширину окна демонстрации функции поиска связанных состояний.

3) Отодвинуть. Команда «Установки|Отодвинуть» активизирует процесс увеличения масштаба при выводе функции поиска связанных состояний в окне демонстрации этой функции. При этом в окне будет показана вся область значений энергии (от нуля до минимального значения потенциальной энергии в виде потенциала), на которой могут находиться значения энергий связанных состояний.

4) Новая волновая функция… Команда «Установки|Новая волновая функция…» активизирует диалоговое окно Установки окна ручного поиска, в котором производятся операции включения и исключения волновых функций в окно ручного поиска связанных состояний, а также другие операции для окна.

Активизировать меню установки можно одним из следующим способов:

1) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Установки. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Установки в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+У (Буква У подчеркнута в слове Установки).

5. Команды меню Расчеты

В меню расчеты объединены команды проведения расчетов и создания окон демонстрации результатов:

1) Связанные состояния. Команда Расчеты|Связанные состояния предназначена для открытия окна демонстрации связанных состояний. Если связанные состояния не были рассчитаны ранее, то перед открытием окна демонстрации связанных состояний для проведения расчетов будет активизирован диалог Поиск связанных состояний, в котором Вы можете отказаться от автоматического поиска состояний. В приложении Квант можно открыть только одно окно демонстрации связанных состояний, поэтому повторное выполнение этой команды приведет к активизации уже открытого окна, а не к созданию нового.

При первом вызове команды, а также при любом изменении вида потенциала, если установлена опция автокоррекции, в разделе связанные состояния диалогового окна установки параметров приложения, происходит автоматический пересчет связанных состояний.

Параметры автоматического поиска связанных состояний устанавливаются в диалоговом окне установки параметров расчета.

2) Функция поиска. Команда Расчеты|Функция поиска предназначена для открытия окна демонстрации функции поиска связанных состояний. В приложении Квант можно открыть только одно окно демонстрации функции поиска связанных состояний, поэтому повторное выполнение этой команды приведет к активизации уже открытого окна, а не к созданию нового.

В случае, когда для потенциала, находящегося в окне графического редактора связанных состояний нет, выдается сообщение об этом и окно демонстрации функции поиска связанных состояний не создается.

Функция, отображаемая в окне автоматически корректируется при изменении потенциала.

3) Ручной поиск. Команда Расчеты|Ручной поиск открывает новое окно ручного поиска связанных состояний для определения связанных состояний по условию сходимости решения уравнения Шредингера на бесконечности.

4) Коэффициент прохождения. Команда Расчеты|Коэффициент прохождения открывает окно демонстрации зависимости коэффициента прохождения через область, занятую потенциалом, от энергии налетающей частицы.

В приложении Квант можно открыть только одно окно демонстрации коэффициента прохождения, поэтому повторное выполнение этой команды приведет к активизации уже открытого окна, а не к созданию нового.

Активизировать меню расчеты можно одним из следующим способов:

а) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Расчеты. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

б) щелкните левой кнопкой мыши на слове Расчеты в линейке меню;

в) нажмите комбинацию клавиш Alt+А (Буква А подчеркнута в слове Расчеты).

6. Команды меню Опции

В меню опции объединены команды установки параметров проведения расчетов и параметров демонстрации результатов:

1) Расчеты…Команда «Опции|Расчеты…» вызывает диалог установки параметров расчета для корректировки параметров, используемых при проведении расчетов приложением Квант.

2) Окружение…Команда «Опции|Окружение…» вызывает диалог установки параметров приложения для настройки параметров приложения Квант.

Активизировать меню опции можно одним из следующим способов:

1) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Опции. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Опции в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+П (Буква П подчеркнута в слове Опции).

7. Команды меню Окно

В меню окно объединены команды управления дочерними окнами приложения Квант:

1) Мозаика. Команда «Окно|Мозаика» предназначена для установки всех открытых окон в приложении мозаикой. При таком положении окна не перекрываются.

2) Каскад. Команда «Окно|Каскад» предназначена для установки всех открытых окон в приложении каскадом. При таком положении окна приложения перекрываются таким образом, что видны только заголовки открытых окон.

3) Упорядочить значки Команда «Окно|Упорядочить значки» предназначена для упорядочивания пиктограмм свернутых окон приложения.

4) Закрыть все. Команда «Окно|Закрыть все» закрывает все открытые окна документов в приложении.

5) <Заголовок окна>. Команда «Окно|<Заголовок окна>» делает активным то окно, заголовок которого составляет команду.

Активизировать меню окно можно одним из следующим способов:

1) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Окно. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Окно в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+О (Буква О подчеркнута в слове Окно).

8. Команды меню Справка

В меню справка объединены команды активизации справочной подсистемы приложения Квант:

1) Содержание. Команда «Справка|Содержание» вызывает содержание справочной системы для приложения Квант.

2) Команды. Все команды обучающей системы разбиты на несколько групп, представленных в виде всплывающих меню, каждое из которых имеет свое название, а все они объединены в линейке главного меню системы, расположенной под заголовком основного окна.

Команды Системного меню

Команды меню Файл

Команды меню Редактирование

Команды меню Установки

Команды меню Расчёты

Команды меню Опции

Команды меню Окно

Команды меню Справка

3) Использование справки. В приложении Квант справка может быть получена в следующих случаях:

Контекстно-зависимая справка - это справка о том элементе диалога или окне, который имеет фокус ввода (является активным). Она активизируется при нажатии клавиши F1.

Содержание справки вызывается командой Содержание в меню Справка

Справка о командах меню вызывается командой Команды в меню Справка

Справка о диалоговых окнах активизируется при нажатии на кнопку Справка в диалоговом окне

Случаи получения справки вызывается командой Использование справки в меню Справка

Для того, чтобы научиться пользоваться справкой, нажмите клавишу F1 сейчас.

4) О программе… Команда «Справка|О программе…» вызывает диалоговое окно, содержащее сведения о разработчиках приложения Квант.

Активизировать меню справка можно одним из следующим способов:

1) после нажатия клавиши Alt переместите выделение одной из строк с названием меню на позицию с надписью Справка. Затем нажмите Ввод (Enter) для открытия всплывающего меню;

2) щелкните левой кнопкой мыши на слове Справка в линейке меню;

3) нажмите комбинацию клавиш Alt+С (Буква С подчеркнута в слове Справка).

3.2 Лабораторные работы, представленные в приложении Квант

Лабораторная работа №1.

Уровни энергии и волновые функции прямоугольной потенциальной ямы.

А. Автоматический расчет уровней энергии для прямоугольной потенциальной ямы. Волновые функции, описывающие стационарные связанные состояния. Главное квантовое число.

Для выполнения работы запустите приложение Квант и задайте в нем прямоугольную потенциальную яму для исследования. Это можно сделать двумя способами: создав новый вид потенциала или открыв файл lr1_1.pit. Вид потенциальной энергии при этом должен содержать одну ступень. (Например с параметрами 3, -3). В приложении используется система атомных единиц Хартри.

Для создания потенциальной ямы после запуска приложения Квант откройте окно графического редактора командой Файл|Новый. После этого создайте потенциальную ступень с параметрами 3, -3 как описано в справке по окну графического редактора.

После того, как задан потенциал, выполните автоматический поиск связанных состояний, задаваемый по команде Расчеты|Связанные состояния. После выполнения поиска открывается окно демонстрации связанных состояний. О приемах работы в этом окне можно ознакомиться в справке по нему. По-умолчанию для выбранного состояния в окне отображается квадрат волновой функции. Просмотрите графики квадрата волновой функции для основного и возбужденных состояний. Для просмотра волновой функции отметьте радиокнопку Волновую функцию диалогового окна Настройка параметров приложения, вызываемого по команде Опции|Окружение.

Проанализируйте графики волновых функций для различных состояний. Определите главные квантовые числа связанных состояний. Главное квантовое число равно числу точек пересечения волновой функции с осью нуля.

Б. Изменение уровней энергии при деформации потенциала.

Для выполнения задания необходимо отметить флаг Автокоррекции в диалоговом окне Настройка параметров приложения, вызываемом по команде Опции|Окружение. Если этот флаг установлен, приложение будет автоматически пересчитывать связанные состояния при изменении вида потенциальной энергии.

Для удобства просмотра распахните окно приложения Квант на весь экран и установите мозаикой окна демонстрации связанных состояний и графического редактора. Если первое окно не открыто, выполните автоматический поиск связанных состояний как описано в части А лабораторной работы.

Изменяя глубину или ширину потенциальной ямы, проследите изменение картины связанных состояний. На основе проведенных компьютерных экспериментов ответьте на вопросы:

- как изменяется число связанных состояний при увеличении глубины ямы?

- уменьшении ее ширины?

- увеличении глубины?

- одновременном увеличении глубины и уменьшении ширины?

Сопоставьте ответы с теоретическими знаниями.

Что произойдет, если потенциальную яму преобразовать в потенциальный барьер? Почему?

Примечание. Представленная реализация практикума не производит оценку числа допустимых связанных состояний перед их поиском. Поэтому, возможно, некоторые из них будут пропущены. В этом случае необходимо выполнить дополнительную настройку параметров поиска (увеличить число отрезков разбиения области поиска в диалоговом окне Установки параметров расчета, вызываемом по команде Опции|Расчеты). О пропуске уровня энергии можно судить либо по виду волновых функций (при пропуске состояния с очередным значением главного квантового числа), либо по функции поиска, отображаемой в одноименном окне приложения Квант.

Окно Функция поиска появляется по команде Расчеты|Функция поиска. О приемах работы с окном можно ознакомиться в справке по этому окну. Значения допустимых уровней энергии являются точками пересечения функции поиска с осью нуля. Если значение абсциссы (указываемое в строке состояния) какой-либо точки пересечения функции поиска с осью нуля в окне функции поиска не присутствует как значение энергии связанного состояния в списке окна демонстрации связанных состояний, то обсуждаемое значение было пропущено при автоматическом поиске связанных состояний. Для исправления этой ситуации необходимо вычислить число отрезков разбиения области поиска по следующей схеме:

Для вычисления числа отрезков разбиения области поиска

Число отрезков = X / dx.

В. Изучение распределения вероятностей различных значений импульса для допустимых уровней энергии.

Для просмотра распределения вероятностей различных значений импульса для связанных состояний необходимо включить радиокнопку Распределение вероятностей импульсов в диалоговом окне Настройка параметров приложения, вызываемом по команде Опции|Окруженеие.

Рекомендации к выполнению лабораторной работы. При выявлении особенности распределения для состояния, близкого к нулю, удобно рассматривать потенциалы, имеющие большое количество допустимых уровней энергии. При этом можно воспользоваться файлом lr1_2.pit.

Помимо описанной выше лабораторной работы приложение квант позволяет реализацию следующих лабораторных работ:

- Лабораторная работа №2. Ручной поиск связанных состояний для прямоугольной потенциальной ямы.

- Лабораторная работа №3. Коэффициент прохождения в поле прямоугольной потенциальной ямы.

- Лабораторная работа №4. Двух- и трехатомные молекулы.

- Лабораторная работа №5. Резонатор.

- Лабораторная работа №7. Примесь в кристалле.

Перечисленные лабораторные работы, реализованные в практикуме, позволяют качественно рассмотреть практически весь спектр задач, связанных с одномерным потенциалом.

Заключение

Математическое моделирование является универсальным методом познания, позволяющим изучать явления, процессы и объекты, не доступные рассмотрению в ходе натурного эксперимента.

Вычислительный эксперимент фактически является экспериментом над математической моделью исследуемого объекта, проводимого с помощью ЭВМ. Часто он значительно дешевле и доступнее натурного эксперимента, его выполнение требует меньшего времени, он дает более подробную информацию.

В дипломной работе рассмотрены наиболее важным направлениям вычислительного эксперимента относятся:

1) расчет ядерных реакций;

2) решение задач небесной механики, астрономии и космонавтики;

3) изучение глобальных явлений на Земле, моделирование климата, исследование экологических проблем, глобального потепления, последствий ядерного конфликта и т.д.;

4) решение задач механики сплошных сред, в частности, гидродинамики;

5) компьютерное моделирование различных технологических процессов;

6) расчет химических реакций и биологических процессов, развитие химической и биологической технологии.

Целесообразность широкого применения Mathcadа для реализации математических моделей, в том числе и явлений микромира, обосновывается в дипломной работе путем рассмотрения различных физических примеров.

Mathcad делает изучение физических процессов и явлений более доступным, избавляет от массы рутинной вычислительной работы.

Mathcad делает изучение физических процессов и явлений более интересным, поскольку позволяет рассмотреть множество интересных и ранее недоступных вопросов на очень высоком и часто профессиональном уровне.

Mathcad интуитивно понятен, легко осваивается на практике и не требует для изучения и применения чтения толстых книг, ведения конспектов и заучивания сложных правил.

Mathcad соответствует психологии студента в том смысле, что решение интересующей проблемы можно получить в течение короткого периода времени, а не тренировать у компьютера усидчивость.

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники позволяет существенным образом изменить методику изучения некоторых вопросов курса физики, связанных с осуществлением громоздких, многократно повторяющихся вычислительных процедур, решением систем дифференциальных уравнений, построением графиков и поверхностей, наглядным представлением результатов решения задачи. Если раньше поведение физической системы анализировалось исключительно аналитически, то теперь появилась возможность применения численных методов компьютерного моделирования, что имеет определенные преимущества.

Рассмотренные в дипломной работе модели физических задач дают общее представление о возможностях пакета MathCAD, позволяют сформировать подходы к изучению различных явлений с привлечения специальных руководств и пособий, литературы, источников в сети. Материал дипломной работы может быть использован студентами и преподавателями при изучении основ компьютерного моделирования, методов математической физики, квантовой механики, а также при решении задач курсов общей физики, электротехники и т.д.

Список использованных источников

1. В.Ф. Худяков, В.А. Хабузов. Моделирование источников вторичного электропитания в среде MATLAB 7.x: учебное пособие. СПб.: ГУАП, 2008, 332 с. Аннотация.

2. И.Ф. Цисарь, В.Г. Нейман. Компьютерное моделирование экономики. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2008. - 384 с. Аннотация.

3. И.Ф. Цисарь. MATLAB Simulink. Компьютерное моделирование экономики. М.: Солон-Пресс, 2008. - 256 с. Аннотация.

4. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. 1-е издание, 2007 год, 288 стр., формат 17x24 см, мягкая обложка, ISBN 978-5-388-00020-0.

5. Иглин С.П. Теория вероятностей и математическая статистика на базе MATLAB. Издательство НТУ «ХПИ», 2006, Харьков, Украина, 612 с.

6. С.Д. Штовба Проектирование нечетких систем средствами MATLAB. Издательство: Горячая Линия - Телеком, 2007 г. Мягкая обложка, 288 стр. ISBN 5-93517-359-X. Тираж: 2000 экз. Формат: 70х100/16.

7. Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. Москва: Техносфера, 2006. - 616 с., цв. илл., ISBN 5-94836-092-Х, формат 70х100/16, переплет. Серия «Мир цифровой обработки».

8. Дж. Дэбни, Т. Харман Simulink 4. Секреты мастерства. Издательство: Бином. Лаборатория знаний, 2003 г. Твердый переплет, 404 стр. ISBN 5-94774-048-6, 0-13-1-017085-2. Тираж: 3000 экз. Формат: 70x100/16.

9. Курбатова Е.А. MATLAB 7. Самоучитель. Издательство: Вильямс. Год издания: 2005 г. 256 стр. ISBN: 5-8459-0904-X. Формат: 70х100/16. Вид Обложки: Обл. Тираж: 3000 экз. Серия: Самоучитель. Вес: 230 гр.

10. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. MATLAB 7. Самоучитель. ISBN: 5-477-00283-2. Издательство «НТ Пресс» 2006 г. 464 стр.

11. Поршнев С.В. MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник. ISBN: 5-9518-0137-0. Издательство «Бином. Лаборатория знаний» 2006 г. 320 стр.

12. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985-6642-06-X. Издательство «Вассамедина» 2005 г. 520 стр.

13. Демидова Л.А., Кираковский В.В., Пылькин А.Н. Алгоритмы и системы нечеткого вывода при решении задач диагностики городских инженерных коммуникаций в среде MATLAB. ISBN: 5-256-01762-4. Издательство «Горяч. Линия-Телеком» 2005 г. 365 стр.

14. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - Издание 6-е, исправленное. - М.: Физматлит, 2004. - 800 с. - («Теоретическая физика», том III).

15. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. 2002. Твердый переплет. 784 с.

Размещено на Allbest.ru

...