Уравнения математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения математической физики

Основные уравнения матфизики.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x₁,…, x_n) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x₁,…, x_n, u, u/x_1,…, u/x_n,…, u/x₁^k,…, u/x_n^k,…) = 0

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными.

При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее существенными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ). Это базовые уравнения теории электричества, квантовой механики и других разделов науки. Самый распространенный в природе процесс - колебательный и его описывает волновое уравнение u - = 0, где= - оператор Лапласа для u = u (x, y, z, t).

Пр. Простейшее уравнение . Его решение включает произвольную функцию и поэтому наз. общим решением. Общее решение ОДУ включает только произвольные константы С. Уравнение интегрируем дважды: - произвольная функция, и - общее решение с 2 произвольными функциями. Для отыскания частных решений вводят дополнительные условия.

Большинство УМФ это линейные ДУЧП 2 порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим случая двух независимых переменных.

a₁₁ + 2a₁₂ + a₂₂ + b₁ + b₂ + cu = F (x, y) (1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₂, b₁, b_2, c - константы, F (x, y) - задана, u (x, y) - искомая функция. Пусть однородное уравнение (1) (F (x, y) = 0) имеет два линейно независимых решения u₁(x, y), u₂(x, y) [u₁(x, y)/u₂(x, y)const], тогда их линейная комбинация С₁ u₁(x, y) +С₂ u₂(x, y) также является решением. Если однородное линейное ОДУ n - ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП (1) имеет бесконечное множество линейно независимых решений и любое из них нельзя представить как линейную комбинацию остальных. В решения может входить переменный параметр : u (x, y, ) или (x, y). Если только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где С_n константы. Их можно дважды почленно дифференцировать и интегрировать.

Рассмотрим главные методы решения трех основных уравнений математической физики.

№	Название	Уравнение	Начальные условия	Граничные условия
а	Волновое уравнение для u (x, t)	= a2 a - const	u (x, t) - амплитуда колебаний струны 0 x l, t > 0 lim u (x, t) = g(x) lim = h(x) при t	lim u (x, t) = m1(t) lim u (x, t) = m2(t) при xи x l - 0 - закон движения концов струны
б	Уравнение теплопроводности уравнение Фурье	= a2 a - const	lim u (x, t) = u0(x) при t 0	lim u (x, t) = T1(t) lim u (x, t) = T2(t) при xи x
в	Уравнение Лапласа для u (x, t) в области D c границей L	+= 0	Нет	Краевая задача: в каждой точке М границы L задано значение функции u(M)|L =

Уравнение (а) описывает колебания струны, стержня, газа, электрические колебания и т.д. Уравнение (б) описывает процесс теплопроводности, фильтрации газа и т.д. (процессы распространения возмущений). Уравнение (в) описывает электромагнитные поля, процессы фильтрации, задачи гидромеханики. (стационарные процессы)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. При конкретных расчетах уравнения получают в самом общем виде (1) и поэтому важно сразу определить тип уравнения и правильно поставить граничные и начальные условия.

Классификация линейных ДУЧП 2 порядка.

Путем перехода к новым переменным в уравнении (1) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами а₁₁, а₁₂, а₂₂.

Пусть даны две взаимнооднозначные системы координат xOy и pOq, связанные соотношениями x = x (p, q), y = y (p, q) и p = p (x, y), q = q (x, y).

Уравнение координатной линии p = const в системе координат хОу имеет вид p (x, y) = const. Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю

dp = dx + dy = 0 = - dy/dx (2)

т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности - dy/dx = (x, y) (3)

равен скорости изменения переменной у вдоль линии p = const, проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат pOq имеет свою характеристику (x, y) и по ней легко определить само уравнение координатной линии

dy = -(x, y) dx y + (x, y) dx = C (p (x, y) = const). (4)

Перейдем к новым переменным в (1) u (x, y) = u (x(p, q), y (p, q)) = u (p, q). Вычислим первые производные и во вторых производных выделим члены, содержащие и

=+; = + ; =()² + ()² +. = ()² + ()² +…; = + +…,

В результате, в уравнении (1) перед производными и появится множители A₁₁ = a₁₁()² + 2a₁₂ + a₂₂()² и A₂₂ = a₁₁()² + 2a₁₂ + a₂₂()² с учетом пропорциональности производных (2) они примут вид

А₁₁ = ()² (a₁₁² + 2a₁₂ + a₂₂) = a₁₁()²(-₁)( - ₂),

А₂₂ = ()² (a₁₁² + 2a₁₂ + a₂₂) = a₁₁()²(-₁)( - ₂), (5)

где _1,2 = (-a₁₂ )/ a_{11 -} корни характеристического уравнения

a₁₁² + 2a₁₂ + a₂₂ = 0, (6)

а =(x, y) - характеристика выбранной системы координат. Если наложить условие (x, y) =-const во всех точках плоскости и выбрать =₁ или =₂, то А₁₁ = А₂₂ = 0 и , из уравнения выпадают. Переход от характеристики к уравнению координатной линии (4) в этом случае дает общий интеграл y + x = C. Это решение определяет зависимость между х и y при движении вдоль координатной линии p (x, y) = С или q (x, y) = С, т.е. определяет явный вид новых координат.

Если D = a₁₂² - a₁₁ a₂₂ > 0, то _{1 2} и новые координаты p = y +₁x, q = y +₂x это прямые, пересекающиеся по углом , где tg = (₁ - ₂) / (1 - ₁₂).

Если D = 0, то ₁ = ₂ = . Это дает только одну координату p = y +x, а выбор второй достаточно произволен.

Если D < 0, то общий интеграл уравнения (2) имеет вид функции комплексной переменной (x, y) i (x, y) = C_1,2 и p = (x, y), q = (x, y)

Таким образом, в зависимости от знака D возникают три варианта исключения производных второго порядка из (1) и, соответственно, 3 типа канонических уравнений

1) D > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

 + b₁^* + b₂^*+ c*u = F (p, q) или - + b₁^* + b₂^*+ c*u = F (p, q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b₁^* + b₂^* = F (p, q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b₁^* + b₂^*+ c*u = F (p, q)

Различают три вида задач для этих уравнений:

задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость;

краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные и граничные условия.

Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

= a², t > 0, xR, u (x, t)|_t=+0 = (x), |_t=+0 = (x) (7)

Здесь даны начальные, но нет граничных условий. Задано значение функции и её производной в каждой точке оси Ох в начальный момент. Коэффициенты а₁₁ = 1, а₁₂ = 0, а₂₂ = - а² приводят к характеристическому уравнению ² = a² и новым переменным

p = x - at, q = x + at (8)

В этом случае = ; (9)

= ; (10)

Подставим (9), (10) в уравнение (7) и получим

(11)

Уравнение (11) запишем в виде или , т.е. не зависит от q, а не зависит от p. Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения в свободном пространстве имеет вид

u (p, q) = F₁(p) + F₂(q) = F₁(x - at) + F₂(x + at) (12)

где F₁(p) и F₂(q) - произвольные функции. Это общее решение Д'Аламбера описывает две встречные плоские волны. Действительно, значение F₁(p) сохраняется при x - at = const, но время t меняется непрерывно и, следовательно, должна также непрерывно меняться координата х со скоростью а. Происходит движение фронта плоской волны. В F₂(q) скорость - а.

Конкретный вид функций F₁(p), F₂(q) в каждом частном решении определяется начальными условиями

|_t=0 = =

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х и выпишем второе условие (7)

F₁(x) - F₂(x) = - + 2C; F₁(x) + F₂(x) = (x)

Решение этой системы

F₁(x) = Ѕ (x) - + 2C, F₂(x) = Ѕ (x) + - C

Для перехода от u (x, 0) к u (x, t) заменим х на x - at в F₁(x) и х на x + at в F₂(x), т.е. сформированные вдоль оси Ох в начальный момент распределения F₁(x), F₂(x) начнут перемещаться в пространстве со скоростью а и - а. Решение Д'Аламбера задачи Коши в общем случае

u (x, t) = Ѕ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a [ + ] =

= Ѕ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a (13)

Пр. Найти форму струны, определяемой уравнением = a² в момент t = /2a, если u_{t = 0} = sin x, _{t = 0} = 1.

Решение. Имеем u (x, t) = Ѕ [sin (x + at) + sin (x - at)] + 1/2a = sin x cos at + t

Если t = /2a, то u(x) = / 2a, т.е. струна параллельна оси абсцисс.

Вывод уравнения колебаний струны.

Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T₀, - линейная плотность струны [г/см], u (x, t) - амплитуда отклонения от оси Ох, F (x, t) - линейная плотность силы, действующая на струну Ох [н/см].

Выделим малый элемент струны ММ`. На его концы действует сила натяжения T<sub>0</sub> в направлении касательных. Составляющие этих сил, оси Ох, равны T<sub>0</sub> sin и - T<sub>0</sub> sin`. При их сумма есть сила, вызывающая смещение элемента

T₀ sin - T₀ sin` = F dx (14)

Под её воздействием изменение амплитуды отклонения во времени происходит по закону Ньютона

dx = F dx (15)

здесь dx - масса элемента. При малых , `имеем sin tg = . Это скорость изменения амплитуды при перемещении вдоль струны, а сила отклонения равна приращению этой скорости

F dx = T₀(sin - sin`) = T<sub>0</sub>[()<sub>M`</sub> - ()_M]

Заменим приращение скорости на дифференциал и получим

F dx T₀ d() = T₀dx.

Кроме силы инерции F на струну может действовать внешняя сила f_В, тогда из (18) имеем

= T₀ + f_В или = a² + f (16)

где a² = T₀/ , f = f_В/. Это уравнение вынужденных поперечных колебаний струны.

При f = 0 получаем уравнение свободных колебаний струны

= a² (17)

Метод Фурье.

Суть метода - разделение переменных u (x, y) = X(x) Y(y) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение (20), где а - const, 0 , t > 0, при следующих граничных и начальных условиях

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0 (18)

u (x, 0) = f(x), (19)

Пусть амплитуда смещения точек струны u (x, t) = X(x) T(t), тогда из (20) имеем

X(x) T``(t) = a<sup>2</sup>X``(x) T(t) или T``(t) / a<sup>2</sup>T(t) = X``(x) / X(x) (20)

Из равенства разнотипных функций следует, что каждая из них равна некоторой константе (- h). Пусть h > 0, тогда из (20) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

X``(x) + hX(x) = 0 (21)

T``(t) + ha²T(t) = 0 (22)

Их характеристические уравнения k² + h = 0 и r² + ha² = 0 имеют мнимые корни

k_1,2 = i, r_1,2 = i a и приводят к общим решениям

X(x) = A cosx + B sinx, T(t) = C cos at + D sin at (23)

Определим константы А, В из условия жесткого закрепления концов струны (18)

X(0) = A cos 0 + B sin 0 = 0 A = 0

X(l) = A cos l + B sin l = 0 т.к. B 0, то sin l = 0 (24)

Отсюда следует, что произвольный параметр h может принимать только строго определенные значения = n / l, где n = 0, 1, 2, 3,… и существует бесконечная последовательность частных решений

u_n(x, t) = sin ( n / l) x [C_n cos (a n / l) t + D_n sin (a n / l) t] (25)

которые определяют синусоидальные стоячие волны. В каждой точке х амплитуда постоянна и n точек имеют нулевую амплитуду.

Любая сумма частных решений (25) также является решением уравнения (17) в силу его линейности и однородности. Просуммируем бесконечную последовательность решений (25)

u (x, t) = sin ( n / l) x [C_n cos (a n / l) t + D_n sin (a n / l) t] (26)

Тригонометрический ряд (26) определяет реальную физическую величину и поэтому наложим на него условие сходимости. Тогда начальные условия (19) на u (x, t) принимают вид рядов Фурье

u (x, 0) = C_n sin ( n / l) x = f(x);

D_n (a n / l) sin ( n / l) x = g(x) (27)

Если для функций f(x) и g(x) выполняются условия разложения в ряд Фурье, то коэффициенты разложения определяются формулой

C_n = ; D_n = (28)

Отметим, что выбор h < 0 в уравнении (21) приводит к решению X(x) = =A+B, которое не может удовлетворить условию (18).

Решение (29), (31) представляет сумму гармонических стоячих волн, возбужденных заданными начальными условиями. Число n в решении определяет число узлов колеблющейся струны, в которых она остается неподвижной. Допустимы только такие колебания, когда на струне укладывается целое число полуволн. Это есть правило квантования из которого выросла атомная физика. Движение электрона вокруг ядра по орбите длины l есть волновой процесс и допустимы только волны с длиной = l/n.

Пр. Струне, закрепленной на концах x = 0, x = l, в начальный момент придали форму параболы u (x, 0) = (4h/l²) x (l - x), где h - смещение в центре, и отпустили. Определить закон смещения точек струны во времени, если не было начальных скоростей.

Решение. Здесь граничные условия (18) и начальные условия

u (x, 0) = (4h/l²) x (l - x) = f(x); 0 (19`)

Коэффициенты

D_n = 0, C_n = =

и решение (26) принимает вид

u (x, t) = .

дифференциальный уравнение фурье теплопроводность

Вывод уравнения теплопроводности.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле T(M). Точки тела с одинаковой температурой образуют изотермические поверхности T (x, y, z) = C. Передача тепла идет от одной поверхности к соседней и направление движения тепла в каждой точке М задает нормаль к её изотермической поверхности T (x, y, z) = C, т.е. grad T. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad T|. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле (M) = - k gradT(M), где k - коэффициент теплопроводности. (M) показывает и направление изменения температуры в каждой точке тела и скорость этого изменения. Выделим в теле некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью G. Общее количество тепла, прошедшее за единицу времени через G, равно поверхностному интегралу от скалярного произведения поля (M) и нормального вектора поверхности

Q (29)

Входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Пусть тепло выходит из объема V. Тогда каждый элемент объема dV при потере dQ теплоты снизит температуру на dT и dQ = - c_pdV dT, где c_p - удельная теплоемкость, - удельная плотность. Но уменьшение температуры происходит во времени dT = T (t + dt) - T(t) dt при малых dt. В результате dQ = - c_pdt dV и общее количество теплоты, выделяющееся из объема V за dt равно

Q' = - c_pdt (30)

За малое время dt векторное поле (M) не изменится и количество теплоты вышедшей из V согласно (29) равно Q = - dt. По теореме Остроградского - Гаусса = перейдем к интегралу по объему. Т.к.

div (grad T) = div (i + j + k) = = T

и оба способа вычисления теплоты должны дать одинаковый результат, то Q = Q' и

= 0

Поскольку V произвольно в т.ч.V0, то подынтегральная функция должна быть нулевой. В результате получим общее уравнение теплопроводности

c_p = k T или T - = 0 (31)

где а² = k/(c_p). Это уравнение описывает процесс теплопередачи в ближайшей окрестности любой точки тела M (x, y, z). Если каждая точка тела имеет дополнительно источник тепла мощностью q, то приходим к неоднородному уравнению теплопроводности

T - = - q k^-1 (32)

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть u (x, t) - функция распределения температуры вдоль стержня длины l в момент времени t. Процесс передачи тепла вдоль стержня описывает уравнение

= a² (33)

где а - const, 0 , t > 0. Пусть на концах стержня температура всегда 0

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0 (34)

и в начальный момент имеем распределение температуры

u (x, 0) = f(x), f(0) = f(l) = 0 (35)

Пусть u (x, t) = X(x) T(t), тогда из (36) имеем

X(x) T``(t) = a<sup>2</sup>X``(x) T(t) или T`(t) / a²T(t) = X``(x) / X(x) = - h

и получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

X``(x) + hX(x) = 0, h > 0 (36)

T`(t) + ha²T(t) = 0 (37)

Частные решения уравнения (36) при граничных условиях (19) получены в предыдущей задаче

X_n(x) = B_n sin ( n / l) x, где = n / l, n = 0, 1, 2, 3,… (38)

Общее решение уравнения (37) имеет вид

dT / T = - a²h dt ln T = - a²h t + ln C T(t) = C

Заменим h на разрешенные значения и просуммируем все u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)

u (x, t) = B_n sin ( n / l) x (39)

Для определения B_n используем начальные условия (35)

u (x, 0) = B_n sin ( n / l) x = f(x)

Если выполняются условия разложения f(x) в ряд Фурье, то

B_n = (40)

Таким образом, решение задачи имеет вид (39), где коэффициенты определяет (40). Из решения следует, что амплитуды пространственных гармоник распределения температуры экспоненциально затухают во времени и температура всего стержня стремительно обнуляется.

Размещено на Allbest.ru

...