Элементы теории поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы теории поля

Площадь гладкой поверхности

Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f (x, y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D, а нормальный вектор касательной плоскости к любой точке поверхности имеет вид

(1)

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости, проведенные к каждому элементу поверхности

(2)

Для вычисления интеграла проекцию элемента поверхности на касательную плоскость еще раз проектируют на координатную плоскость xOy. Отношение площадей этих поверхностей равно косинусу угла между ними D_i /S_i = сos, т.е. углу между _i и Oz. Если вторая проекция - прямоугольник, то его площадь

D_i =x_iy_i. Тогда x_iy_i = сos dxdy = cosdS или dS = dxdy.

(3)

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f (x, y, z) по поверхности z =z (x, y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Такая интегральная сумма отличается от (2) дополнительным множителем f(M_i) перед каждым и

(4)

Замена переменной z на z (x, y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Пример 1. Вычислить J = , где G: x + y + z = 1, x 0, y0, z0

Решение. z = 1 - x - y, = -1, = -1,=

D: x + y = 1, x = 0, y = 0; Точки пересечения (0; 0), (1; 0), (0; 1)

Выберем коридор || Оу, его ширина 0 x 1,

а движение по коридору от y = 0 до y = 1 - x.

D: 0 x 1, 0 y 1 - x

J = xy (1 - x - y) dxdy = xy (1 - x - y) dy,

J₁ = xy (1 - x - y) dy = x (1 - x)³/6, J = /6 x (1 - x)³ dx = /120.

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего потока - острый угол и cos>0, для входящего потока - тупой угол и cos<0. Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f (x, y, z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J = = (5)

Множитель означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекции пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

= (6)

в который входит cos . Знак cos для элемента поверхности и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму (5). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 == (7)

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Для гладкой поверхности z = z (x, y) у членов интегральной суммы (5) одинаковый знак и вычисление интеграла (5) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = (8)

Замена z на z (x, y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Пример 2. Вычислить J = , где G: x² + y² + z² = R², z 0, внешняя сторона.

Решение. Внешняя сторона нижней полусферы

z = -имеет знак «-» перед J.

D: x² + y² R², J = (-1)= =

= {x = r cos, y = r sin} = = 9/420

площадь скалярный интеграл множество

Скалярное поле

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U (x, y) =C и поверхности уровня в пространстве U(M) = U (x, y, z) = C.

Опр. Производной скалярного поля U (x, y, z) в точке M (x, y, z) по направлению = {cos, cos, cos}, наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению , который приводит к формуле

U/ = (U/x) cos + (U/y) cos + (U/z) cos (9)

Пример 3. Вычислить производную с.п. U(M) = x²y - x z³ + 1 в точке М (1; - 2; 1) в направлении = 2i - 4j + k.

Решение.U/x|_M = (2xy - z³)|_M = - 5,U/y|_M = x²|_M = 1,U/z|_M = -3xz²|_M = -3,

|| = , cos = _x/|| = 2/, cos = _y/|| = -4/, cos = _z/|| = 1/,

U/ = -5 2/ + 1 (-4)/ -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Градиентом скалярного поля U (x, y, z) наз. вектор

grad U = i + j + k (10)

который определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения. Вектор grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U (x, y, z) = C, проходящей через точку М.

Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля и вектора направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление

U/ = grad U = |grad U|_l (11)

Пример 4. Дано с.п.U(M) = xy² + z². Найти наибольшее значение U/в т.M (2; 1; - 1)

Решение: grad U|_M = (y² i + 2xy j + 2z k)|_M = i + 4j - 2k,

U/|_наиб = |grad U|_M = =

Задачи для самостоятельного решения

Найти grad u и в направлении :

1) = - i + 4 j + 2 k, если u = sin²(2yz - 3x); 2) = 2i + 4 j - 5 k, если u = ctg²(2x² - 9yz)

3) = i + 3 j + 2 k, если u = ln tg (2xy - z); 4) = -2i + 4 j + k, если u = ln sin (yx + 9z²)

Векторные поля

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией = (M) = (x, y, z) = (), которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме (M) = P (x, y, z) i +Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют () - векторную функцию от векторного аргумента.

Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M). Условие коллинеарности двух векторов = (M) приводит к трем равенствам для координат и после исключения к системе двух дифференциальных уравнений

(12)

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пример 5. Найти векторные линии в.п. (M) = x i - y j - 2 k.

{; }

Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными дает:

1 уравнение: ln x = - ln y + ln C₁ ln(xy) = ln C₁ xy = C₁ - гиперболический цилиндр

2 уравнение: ln y = Ѕ lnz + ln C₂ ln y²/z = ln C₂ y² = zC₂ - параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С₁, С₂.

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. (M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором (M) = {}. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы , имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора через бесконечно малую площадку.

П = () S = || cos(^) S = ||_nS (13)

Пусть - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. ||_n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.

Сумма по малым площадкам на G приводит к интегральной сумме П(m)=П_i, предел которой при m совпадает с поверхностным интегралом 2-ого рода (7)

П_G = = (14)

Опр. Потоком векторного поля (M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл 1 рода от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

В общем случае поток векторного поля по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - П_G / V, где V - объем ограниченный G, затем перейти к пределу V 0 и определить мощность потока из отдельной точки. Это позволяет сделать формула Остроградского - Гаусса

(15)

которая заменяет интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело на интеграл по объему этого тела.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля (M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

= div (M) (16)

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле. Теорема о среднем для тройного интеграла в (15), (16) приводит к формуле

div (M) = P'_x(M) + Q'_y(M) + R'_z(M) (17)

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Теперь формулу Остроградского - Гаусса можно переписать в векторной форме

(18)

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Пример 6. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = {- yz; - xz; yz}.

Решение. Т.к. div (M) = 0 + 0 + y, то

- векторная форма,

- координатная форма

Пример 7. Найти поток векторного поля (M) = {x; y+2yz; - z²} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x²+y²+z² = 4², z = 0;

Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.

div (M) = P'_x(M) + Q'_y(M) + R'_z(M) = 1 + 1 + 2z - 2z = 2,

П_G == = {x = r sincos, y = sinsin, z = r cos} = 2 = 64 (Переход к сферической системе координат.)

Пример 8. Найти поток векторного поля (M) = {xy; -3y; 3z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = x² + y², z = 4

Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.

div (M) = P'_x(M) + Q'_y(M) + R'_z(M) = y - 3 + 3 = y,

П_G ==

z = x² + y² (степени 1,2) параболоид вращения (низ)

z = 4 (степени 1, нет x, y) плоскость || хОу (верх)

П_G = y dx dy dz = dxdyydz, J₁ = ydz = y (4 - x² - y²),

D: x² + y² = 4, П_G = {x = r cos, y = r sin} = = 0

Размещено на Allbest.ru