Двойной интеграл
Сущность и геометрический смысл двойного интеграла. Понятие и принципы построения цилиндрического бруса, порядок и этапы вычисления его фактического объема. Методика и основные этапы определения внутреннего интеграла и анализ полученных результатов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.10.2013 |
| Размер файла | 33,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Двойной интеграл
Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f (x, y)0, которая определяет некоторую поверхность над D. Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f (x, y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры, восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.
V = lim f()si = f (x, y) dx dy при n (1)
Опр. Двойным интегралом от функции f (x, y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi, а f() - высоту каждого элемента бруса.
Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
1. D - прямоугольник (a x b, c y d), тогда
f (x, y) dx dy = dxf (x, y) dy
цилиндрический интеграл брус
При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у.
2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a x b, y1(x) yy2(x))
Это область правильная в направлении Оу. (Коридор вдоль Оу.)
f (x, y) dx dy = {f (x, y) dy} dx
3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c y d, x1(y)xx2(y))
Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)
f (x, y) dx dy = {f (x, y) dx} dy
4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.
Пример 1. Изменить порядок интегрирования J = .
Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.
Решение.
1. D: 0 x 4, x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.
2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.
Они определяют линии, ограничивающие область D.
3. Находим их точки пересечения из решения систем уравнений
(4; 8),(4; 8), (0; 0)
Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые
y = x2/2, y = 2x, пересекающие коридор. Это перегородки.
4. Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y 8. В уравнениях перегородок
перейдем к обратным функциям: y = 2x x = y/2, y = x2/2 x =
5. D: 0 y 8, y/2 x
Ответ. J =
Пример 2. Изменить порядок интегрирования J =
Решение.
1. D: 1 x 2, x y 2x
2. D: x = 1, x = 2, y = x, y = 2x
3. Точки пересечения: (1; 1), (1; 2), (2; 2), (2; 4)
Движение вдоль коридора || Oy (1x 2) идет от прямой
y = x до прямой у = 2х. Движение вдоль коридора || Ox
начинается либо на прямой х = 1, либо на прямой y = 2x
и завершается соответственно на прямых y = x, x = 2.
Поэтому D приходится разделять на два коридора || Oх:
D = D1 + D2
4. D1: 1 y 2, 1 x y
5. D2: 2 y 4, y/2 x 2
Ответ. J = +
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
контрольная работа [321,9 K], добавлен 21.07.2013История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.
контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.
презентация [67,9 K], добавлен 17.09.2013Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014Связь с помощью формулы Грина криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченного этим контуром. Преобразование двойного интеграла по контуру, обходимого в положительном направлении. Доказательство теоремы.
презентация [44,7 K], добавлен 17.09.2013Формула замены переменной в двойном интеграле. Понятие якобиана перехода и особенности его расчета. Анализ примеров вычисления двойного интеграла с ограниченной линиями (осью и верхней полуокружностью) интегральной областью. Введение новых переменных.
презентация [107,2 K], добавлен 17.09.2013Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011
