Уравнения математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра «Высшей Математики»

Практикум

по теме «Уравнения математической физики»

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x1, . . . ,xn , u , u/x1 , . . ., u/xn , . . . , u/x1k, . . . , u/xnk, . . .) = 0

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными. При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее востребованными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ).

Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) n -ого порядка для функции одной переменной включает n констант, то ДУЧП включает n произвольных функций.

Пр. Простейшее уравнение

.

Его решение включает произвольную функцию ,т.к. х в частной производной по у есть константа.

УМФ с постоянными коэффициентами в случае двух переменных имеет общий вид

дифференциальный уравнение лаплас фурье

a11 + 2a12 + a22 + b1 + b2 + cu = F(x,y) ( 1 )

где a11, a12, a22 , b1 , b2 , c - константы, F(x,y) - задана, u(x,y) - искомая функция. При F(x,y) = 0 уравнение наз. однородным. Если однородное линейное ОДУ n - ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП ( 1 ) имеет бесконечное множество линейно независимых решений. В решения может входить переменный параметр: u(x,y,) или (x,y). Если только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где Сn константы. Их можно дважды почленно дифференцировать и интегрировать.

Три основных уравнения математической физики

Классификация УМФ.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 ( 2 )

1) D = a122- a11 a22 > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

- + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. Различают три вида задач для этих уравнений:

задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость;

краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные и граничные условия.

Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

= a2 , t > 0 , xR , u(x,t)|t=+0 = (x) , |t=+0 = (x)

Характеристическое уравнение 2 = a2 приводит к новым переменным p = x -at, q = x +at, уравнению и общему решению

u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x - at) + F2(x + at),

где F1(p) и F2(q) - произвольные функции. С учетом начальных условий имеем решение задачи Коши в общем случае (метод Даламбера):

u(x,t) = Ѕ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a [ + ] = Ѕ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a ( 3 )

Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение = a2 , где а - const , 0 , t > 0 , при следующих граничных u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 и начальных условиях

u(x,0) = f(x)

.

Задача решается методом Фурье - разделение переменных u(x,t) = X(x) T(t) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Общее решение уравнения имеет вид ряда Фурье

u(x,t) = sin ( n / l) x [ Cn cos (a n / l) t + Dn sin (a n / l) t], (4)

где коэффициенты определяются начальными условиями

Cn = ; Dn = (5)

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть u(x,t)- функция распределения температуры вдоль стержня длины l в момент времени t. Процесс передачи тепла вдоль стержня описывает уравнение

= a2 ,

где а - const, 0, t > 0. На концах стержня температура всегда 0: u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, а в начальный момент распределение температуры: u(x,0) = f(x), f(0) = f(l) = 0

Задача также решается методом Фурье u(x,t) = X(x) T(t) и общее решение имеет вид ряда Фурье

u(x,0) = Bn sin ( n / l) x = f(x) , ( 6 )

где коэффициенты определяются начальными условиями

Bn = ( 7 )

Пример решения расчетного задания

Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = -2, a22 = 1 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид ( - 1)2 = 0 , т.е. D = 0 параболический тип уравнения, 1 = 2 = 1.

Переход к новой системе координат: p = y +x = y + x, вторую переменную выберем в виде q = ay + bx , где числа a, b произвольны. Обратное преобразование

y = (q -bp)/(a -b), x =(q -ap)/(b -a) и (b -a)0. Имеем p`x =1, p`y =1, q`x =b, q`y =a.

Вычислим производные

2u`x = 2(u`pp`x + u`qq`x) = 2(u`p + bu`q)

-2u`y = -2(u`pp`y + u`qq`y) = -2(u`p + au`q)

u``xx = u``ppp`x + bu``qqq`x + u``pq( q`x + bp`x) = u``pp + b2u``qq + 2b u``pq

-2 u``xy = -2[u``ppp`y + bu``qqq`y + u``pq( q`y + bp`y)] = -2[u``pp + abu``qq + (b+a) u``pq ]

u``yy = u``ppp`y + au``qqq`y + u``pq( q`y + ap`y) = u``pp + a2u``qq + 2a u``pq

сложим их и получим уравнение в новых координатах

(a - b)2 uqq = 2(b - a) uq .

Пусть b - a = 2. Решение уравнения с разделяющимися переменными u``pp = u`p.

, ln(up) = p + f(q) up = ep g(q) du = g(q) ep dp

u(p,q) = g(q) ep dp = g(q) ep + h(q)

Общее решение уравнения имеет вид u(x,y) = g(ay + bx) e(y + x) + h(ay + bx) и содержит две произвольные функции g(q) , h(q) .

Задание 2. Найти общее решение уравнения u``xx + 4u``xy + 3u``yy = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = 4, a22 = 3 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид 2 + 4 + 3 = 0 , где D = 4 гиперболический тип уравнения, 1 = -1 , 2 = -3 ..

Переход к новой системе координат:

p = y +1x = y - x, q = y + 2x = y - 3x .

Обратное преобразование

x = Ѕ(p -q), y = Ѕ (3p -q). Имеем p`x = -1, p`y =1, q`x =-3, q`y = 1

Вычислим производные

u`x = u`pp`x + u`qq`x = -u`p - 3u`q

u`y = u`pp`y + u`qq`y = u`p + u`q

u``xx = -u``ppp`x - 3u``qqq`x + u``pq( -q`x - 3p`x) = u``pp + 9u``qq + 6u``pq

4 u``xy = 4[-u``ppp`y - 3u``qqq`y + u``pq( -q`y - 3p`y)] = 4[ -u``pp - 3u``qq - 4u``pq ]

3 u``yy = 3[u``ppp`y + u``qqq`y + u``pq( q`y + p`y)] = 3[ u``pp + u``qq + 2u``pq ]

сложим их и получим уравнение в новых координатах 4u``pq = 0.

Общее решение уравнения хорошо известно

u(x,y) = F1(p) + F2(q) = F1(y - x) + F2(y - 3x)

и содержит две произвольные функции.

Задание 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u``tt = u``xx на отрезке 0<x<1, 0< t < при начальных условиях u(x, 0) = x(x - 1), u`t (x, 0) = 0 и граничных условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение такой задачи (колебания струны) имеет вид (Метод Фурье):

u(x,t) = sin ( n / l) x [ Cn cos (a n / l) t + Dn sin (a n / l) t ]

Cn = ; Dn =

В нашем случае l = 1, а =1 и

Cn==2[][(-1)n-1], Dn =0

u(x,t) = -4[] sin (2k-1)x cos (2k-1)t ( n = 2k - 1)

Задание 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности u`t = u``xx на отрезке 0 < x < l , t > 0 при начальных условиях u(x, 0) = и краевых условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение задачи имеет вид (Метод Фурье):

u(x,t) = Bn sin ( n / l) x

Bn =

Интеграл Bn = + вычислим по частям и получим Bn = , т.е. B2k = 0 , B2k - 1 =

u(x,t) = sin

Размещено на Allbest.ru