Предел функции нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Предел функции, непрерывность

Теорию пределов часто называют введением в математический анализ. Действительно, понятие предела лежит в основе всего дифференциального и интегрального исчисления.

Впервые строгое определение предела на "языке окрестностей" ввел французский математик О. Коши. Другое определение предела на "языке последовательностей" дано Г. Гейне.

Доказана равносильность этих определений и в процессе проведения математических заключений применяют любое из этих определений.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, -- такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки -- частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел функции -- одно из основных понятий математического анализа.Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных - величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают

z = f (x, y).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.

Так, для функции z = x2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y и z вычислить соответствующее значение u:

u = F (x, y, z).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y и z.

Так, для функции u = xy + 2xz - 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается

u = f (x, y, z, …,t).

Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е - областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М0 (x0, y0, z0, …,t0) и обозначается f (М0) = f (x0, y0, z0, …,t0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п-мерного пространства.

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х₀, у₀), равный числу А, обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x, y)>А при (x, y)> (х₀, у₀)), если она определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х₀, у₀) последовательность точек (x_k, y_k).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х₀, у₀) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого е > 0 найдется такое д > 0, что

| f (x, y) - A | < е (3)

для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам

0 < < д. (4)

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х⁰ функций f (x) и ц (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного ц (х⁰) ? 0.

Замечание. Приращение Д_h f (х⁰) называют также полным приращением функции f в точке х⁰.

В пространстве R_n точек х = (x₁, ..., х_п) зададим множество точек G.

По определению х⁰ = (х⁰₁, ..., х⁰_п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х₁ = ц₁ (t), ..., х_п = ц_п (t) (a ? t ? b)

непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в R_n, соединяющую точки х¹ = (х¹₁, ..., х¹_п) и х² = (х²₁, ..., х²_п), где х¹₁ = ц₁ (а), ..., х¹_п = ц_п (а), х²₁ = ц₁ (b), ..., х²_п = ц_п (b). Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х¹, х² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на R_n (во всех точках R_n). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству

f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

В самом деле, функция F(x) = f(x) - с непрерывна на R_n, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х⁰ G, тогда существует шар

| х - х⁰ | < д,

предел функция переменная непрерывность

на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х⁰ G - внутренняя для G.

Случай с f (x) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М₀ и вблизи этой точки;

б) существует предел ;

в)

Если в точке М₀ нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.

Размещено на Allbest.ru