Математические парадоксы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Известно, что сформулировать проблему часто важнее и труднее, чем решить ее. “В науке, -- писал английский химик Ф. Содди, -- задача, надлежащим образом поставленная, более чем наполовину решена. Процесс умственной подготовки, необходимый для выяснения того, что существует определенная задача, часто отнимает больше времени, чем само решение задачи”.

Формы, в которых проявляется и осознается проблемная ситуация, очень разнообразны. Далеко не всегда она обнаруживает себя в виде прямого вопроса, вставшего в самом начале исследования. Мир проблем так же сложен, как и порождающий их процесс познания. Выявление проблем связано с самой сутью творческого, мышления. Парадоксы представляют собой наиболее интересный случай неявных, безвопросных способов постановки проблем. Парадоксы обычны на ранних стадиях развития научных теорий, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые общие принципы подхода к ней.

Слово "парадокс" (от др.-греч. рбсЬдпопт -- неожиданный, странный от др.-греч. рбсб-дпкЭщ -- кажусь) имеет много значений. Мы употребляем его здесь в широком смысле как синоним любого утверждения, которое настолько противоречит здравому смыслу и интуиции, что не может не вызывать у того, кто слышит о нем впервые, чувства удивления.

Виды парадоксов:

v Логические

v Математические

v Геометрические

v Вероятностные

В математике, как и в естественных науках, парадоксы не пустая забава. Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Этот парадокс, смущавший умы античных мыслителей, привел к расширению понятия числа и созданию теории иррациональных чисел. Математикам XIX в. казалось необычайно парадоксальным, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Этот парадокс привел к созданию современной теории множеств, в свою очередь оказавшей сильное влияние на философию науки.

Парадокс лжеца (логический)

Парадокс лжеца -- высказывание, для которого нельзя однозначно сказать, истинное оно или ложное. Является типичным случаем самореференции (аргумент функции является самой функцией). Обычно рассматривается на примере фразы «я лгу» или на приписываемом Эпимениду Критскому высказывании «все критяне -- лжецы».

Разновидности:

Простейший вариант “Лжеца”:

Человек произносит всего одну фразу: “Я лгу”. Или говорит: “Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным”. Или: “Это высказывание ложно”.

Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

Парадокс Эпименида:

«Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы». То есть, если Эпименид прав, что все критяне лжецы, то он он тоже лжец. Если же Эпименид лжет, что все критяне лжецы, тогда он прав. И цепочка рассуждений возвращается в начало.

Парадокс Платона и Сократа:

В средние века распространенной была такая формулировка:

-- Сказанное Платоном -- ложно, -- говорит Сократ.

-- То, что сказал Сократ, -- истина, -- говорит Платон.

То есть, если предположить, что Платон говорит правду, что Сократ лжет, то Сократ лжет, что Платон говорит правду, значит Платон лжет. Если же Платон лжет, что Сократ лжет, то Сократ говорит правду, что Платон прав. И цепочка рассуждений возвращается в начало.

“Старик постоянно говорил, что всё вокруг -- неправда.

Правда, потом оказалось, что он лгал.” -- Дуглас Адамс, «Автостопом по галактике»

Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание которое одновременно истинно и ложно.

Утверждение, составляющее парадокс лжеца в формальной логике не доказуемо и не опровержимо. Поэтому считается, что данное высказывания вообще не является логическим утверждением. Попытка разрешить парадокс приводит к обобщениям классической логики: например, тройственной логике, комплексной логике или паранепротиворечивой логике (англ. Paraconsistent logic).

Разрешение парадокса:

Данный парадокс разрешается в теории множеств:

Пусть имеется:

А - множество всех истинных высказываний

В - множество всех ложных высказываний

С - парадоксальное высказывание

Парадокс С сформулируем таким образом, что "данное высказывание" является пересечением множеств A и B, то есть принадлежит сразу к обоим множествам. Тогда:

С=А?В

В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.

В новое время “Лжец” долго не привлекал никакого внимания. В нем не видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся употребления языка. И только в наше, так называемое новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как представляется, за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах.

Теперь “Лжец” -- этот типичный бывший софизм (рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению) -- нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.

Исчезновение клетки (геометрический)

Исчезновение клетки -- известный класс задач (оптических иллюзий) на перестановку фигур, обладающих признаками софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. Некоторые из этих задач тесно связаны со свойствами последовательности чисел Фибоначчи.

Задача о треугольнике

Дан прямоугольный треугольник 13Ч5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рисунок 1).

2 Разрезанный треугольник

Решение парадокса:

3 «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией

Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13Ч5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13Ч5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это -- вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 1 и 2 -- «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) -- внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13Ч5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем -- наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13Ч5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.

Острый угол в этом параллелограмме равен arcctg 46? 0°1?18,2?(меньший угол в прямоугольном треугольнике с соотношением катетов 1/46). На такой угол минутная стрелка на исправных часах сдвигается за 12,45 с. Именно на такую величину тупой угол в рассматриваемом параллелограмме отличается от развёрнутого. Визуально столь ничтожное отличие незаметно.

По словам Мартина Гарднера, известного американского математика, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью-Йорка Пол Карри в 1953. Однако принцип, заложенный в неё, был известен ещё в 1860-е годы. Можно заметить, что длины сторон фигур из данной задачи (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи.

Парадокс Симпсона (вероятностный)

Парадокс Симпсона («парадокс объединений») -- статистический парадокс, согласно которому фактор, больше проявляющийся при любых фоновых условиях, чем противоположный ему, проигрывает менее эффективному, но относительно часто встречающемуся фактору. Эффект этого парадокса на удивление часто проявляется в области социологических наук и медицинской статистике; это происходит, когда весовая переменная не учитывается для одной группы, но должна использоваться при расчётах общих оценок.

Для того чтобы понять в чем состоит суть данного парадокса рассмотрим следующую задачу, сформулированную М. Гарднером:

Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень из набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 -- с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако, в общем случае такое утверждение неверно.

Математическое доказательство:

Пусть

ni - число черных камней в i-ом наборе

mi - общее число камней в i-ом наборе

pi - вероятность вытащить черный камень из i-го набора

По условию:

В первом случае, когда мы не объединяем наборы:

математический парадокс доказательство

p1> p2, p3> p4 .

Распишем вероятности: (n1/m1)> (n1/m1), (n1/m1)> (n1/m1)

Вероятность вытащить чёрный камень из наборов I и II (после объединения):

pI=( n1+ n3)/( m1+ m3);

pII=( n2+ n4)/( m2+ m4);

Выражение для набора I не всегда больше выражения для набора II.

Например: n1=6, m1=13, n2=4, m2=9, n3=6, m3=9, n4=9, m4=14. Тогда если подставить, эти значения в полученные выражения получится:

p1=6/13

p2=4/9

p3=6/9

p4=9/14

pI=12/22

pII=13/23

Этот парадокс получил интересное практическое применение в области микробиологии: Американские микробиологи создали из живых бактерий модельную систему, в которой микробы-альтруисты, производящие с ущербом для себя полезное всей популяции вещество, оказываются в конечном счете в выигрыше несмотря на то, что в каждой отдельной популяции они проигрывают соревнование микробам-эгоистам. Процветание альтруистов обеспечивается благодаря статистическому эффекту, известному под названием «парадокс Симпсона». Таким образом, естественный отбор при соблюдении определенных условий может обеспечивать развитие альтруизма даже тогда, когда в каждой отдельно взятой популяции он благоприятствует эгоистам, а альтруистов обрекает на постепенное вымирание.

Парадокс маляра (математический)

Бесконечная пластинка и тело, образованное её вращением

Парадокс малярам -- математический парадокс, утверждающий, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку, состоящую из прямоугольников: первый из них -- квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 x 2 см, а каждый следующий вдвое умже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 смІ, а общая площадь пластинки бесконечна.

Чтобы всю её покрасить, потребуется бесконечное (по объёму или массе) количество краски. Рассмотрим тело, получаемое при вращении пластинки вокруг её прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна h=2k-1 см, радиус -- R=21-k см, а значит, его объём равен V=R2h =21-kр смі. Таким образом, объёмы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2р смі.

первый член геометрической прогрессии: b1= р (k=1)

второй член геометрической прогрессии: b2= р /2 (k=2)

тогда знаменатель прогрессии: q=b2/b1= (р /2)/ р=1/2

Сумма k членов прогрессии равна:

Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него данную бесконечную пластинку и вытащим; она будет окрашена конечным количеством краски с двух сторон.

Разрешение парадокса

Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.

Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 1 смІ, будет сходиться к конечному значению.

При этом нужно иметь в виду, что предложенное математическое решение не учитывает тот физический факт, что слой краски не может иметь толщину меньше размера одной молекулы краски. Так как построенный описанным способом сосуд будет книзу сужаться до бесконечно малых диаметров, то при «заливке» краски в такой сосуд эта краска просто не «затечёт» в те его области, диаметр которых меньше диаметра молекулы краски. И тем не менее, с точки зрения математической модели, не учитывающей физические аспекты устройства нашего мира, описанное решение является верным, несмотря на парадоксальность.

Возможно, может показаться абсурдным что сосуд бесконечной длины может иметь конечный объём (в данном случае 2р ), да при этом ещё и вмещать в себя пластинку, площадь которой бесконечна. Но дело в том что: длина, площадь и объём, это разные величины. В математических моделях вполне возможны фигуры, имеющие бесконечную площадь при конечном объёме (или бесконечную длину при конечной площади), потому как, сколь бы большую величину мы не взяли, мы всегда сможем взять сколь угодно малую.

Размещено на Allbest.ru