Математические модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические модели

1.Общая характеристика математической модели

В общем случае под математической моделью объекта(системи)понимается любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведения реального объекта(системы) в реальных условиях. Математическая модель отражает записанную на языке математики совокупность знаний,представлений и гипотез исследователя о моделируемом объекте.Поскольку эти знания никогда не бывают абсалютными,то модель лишь приближенно учитывает поведение реального объекта.

Математическую модель можно рассматривать как некоторый оператор,ставящий в соответствие системе внутренних параметров объекта(системы) х1, x 2,...,хм совокупность функционально связанных между собой внешних параметров y1 , y2 , y n. Вид функциональной связи зависит от принципа действия системы,а содержание понятий внешних и внутренних параметров определяется физической сущностью объекта (системы).

Состояние объекта (системы) в любой произвольный момент времени t из заданного интервала [t0, t1] можно охарактеризовать набором величин z1, z2 . . . ,zn- характеристиками состояния объекта (системы). Это могут быть ее выходные переменные, их производные , функционалы. При функционировании системы эти характеристики принимают значения, являющиеся функциями времени , т.е.{z1(t), z2(t), ...,zn(t)}=(t).

Здесь (t) - вектор состояния системы. Проекции этого вектора можно рассматривать как координаты точки в n - мерном фазовом пространстве, а процесс функционирования системы - как некоторую фазовую траекторию (гадограф). На систему может воздействовать вектор входных воздействий (t)={x1 (t), x2(t),...,xp(t)} от которого зависят характерики систем. Система характеризуется набором собственных параметров А={a1,a2,…,ak}, которые в стационарной системе является константами,а в нестационарной - функциями времени. На систему могут воздействовать также некоторые случайные факторы о={ о1, о2,…, оm }. Система может иметь ряд выходов (выходных переменах) (t)={ y1 (t), y2(t),...,yq(t)}.

Таким образом, математическая модель системы - это совокупность соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояний системы в зависимости от ее внутренних параметров , начальных условий, входных сигналов, случайных факторов и времени.

Пример: Возьмем некоторую простую систему регулирования, структурная схема которой представлена на рис.1

Рис. 1

Математической моделью системы является дифференциальное уравнение

k1k2(x-y)

или

+k1k2y= k1k2x (1)

Характеристики состояния системы:

Z1(t)=y; Z2 (t)= (2)

Функционирование системы заключается в изменении характеристик состояния во времени. В некоторых случаях характеристики состояния могут определяться в виде явных функций от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени. В других случаях модель представляет собой систему уравнений относительно характеристик состояний системы и выходных сигналов. При этом параметры входят в коэффициенты уравнений, а входные сигналы - в их правые части.

2. Построение и анализ математических моделей

Исходным пунктом для построения модели, как правило, бывает некоторая эмпирическая реальная картина явления, выдвигающая перед исследователем задачу, на которую нужно найти ответ.

Основные этапы построения и анализа конкретных моделей представлена на рис. 2.

Опишем кратко эти этапы.

Этап 1.При уяснении и постановке задачи на физическом уровне происхо-дит процесс схематизации и идеализация явления рис. 2, т.е. выделение его существенных особенностей. Некоторые черты явления могут оказаться важными, другие - несущественными.

Этап 2. После выявления существенных факторов нужные нам данные переводятся на язык математических понятий и величин : составляются системы определяющих параметров явления, формулируются соотношения между величинами и параметрами.

Это самая трудная стадия процесса моделирования. Здесь исследова-телю приходится часто опираться на фундаментальные физические законы.

Этапы 3,4. После построения модели (этап 3) следует проводить проверку адекватности модели явлению и логической непротиворечивости или корректности постановки задачи. Так , можно использовать весьма простое и всегда эффективное правило проверки физической размерности всех членов уравнений.

Этапы 5,6. Проверяется справедливость модели и результатам решения теоретической задачи в соответствии с математической моделью и сопоставлением их с реальной ситуацией, которая изучается. Глубина отражения моделью действительности зависит от целей исследования.

Вид математической модели определяется не только природой реального объекта, но и теми задачами, для решения которых строится модель, а также требуемой точностью их решений. Поэтому необходимы исследование полученной модели с целью определения области ее наиболее эффективного использования при решении инженерной задачи и установления границ изменения переменных, в которых она справедлива.

Рис. 2

математический модель топологический уравнение

Рассмотрим в качестве примера построение модели Солнечной системы.

Наблюдение за звездным небом начались еще в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего разнообразия небесных светил. Следовательно, первым шагом было выявление объекта исследования. Другим шагом стало выявление закономерности движения планет, то есть «аксиом» гипотетической модели. С начала была создана модель Птолемея ( II ст.до н.э.) - геоцентрическая модель. В ней Солнце и планеты двигались вокруг Земли. Эти движения описывались с помощью правил (формул) , но по мере накопления результатов наблюдения они постоянно усложнялись.

М.Коперник 1543году предложил принципиально новую модель Солнечной системы - гелиоцинтрическую. В ней все планеты вращаются вокруг Солнца.

Однако это модель еще не была математической, по сколько не было параметров модели (скоростей движения планет, параметров орбит и т.д).

В XVII в. Кеплер сформулировал закон движения планет. Они описывали кинематику движения каждой планеты в отдельности, не касаясь причин, вызывающих это движение.

И. Ньютон во 2 й половине XVII века предложил динамическую модель Солнечной системы. Она базировалась на открытом им законе всемирного тяготения. Динамическая модель Ньютона согласовалась с кинематической моделью Кеплера.

Однако в 40годах XIX ст.результаты динамической модели стали противоречить накопленным результатов наблюдений. Например, движение планеты Уран отклонялось от теоретически обчисленного движение на модели. Это позволило Леверье в 1846г. предсказать новую планету - Нептун, которая влияет на движение планеты Уран. Позже в том месте, на которое указывал Леверье, действительно была открыта планета Нептун.

Подобным образом была предсказана и позже открыта в 1930г планета Плутон. Одновременно с открытием новых планет, совершенствовалась и модель Солнечной системы.

3.Компонентные и топологические уравнения моделируемого объекта

Поведения большинства физических систем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовая переменная ( ФП ) -это величина, характеризующая физическое или информационное состояние моделируемого объекта. Так, в электрической системе ФП это токи и напряжения, в механической системе - силы и скорости.

Законы функционирования элементов системы задаются компонентными уравнениями. Они описывают связь ФП разного типа для каждого элемента технической системы. Компонентные уравнения - это уравнения математических моделей элементов системы. Они могут быть линейными, нелинейными, алгебраическими, дифференциальными или интегральными. Каждый элемент моделируемого объекта должен иметь компонентное уравнение. Для большинства элементов такие уравнения уже получены, их используют при моделировании. Например , в гидравлике для дросселя есть аналитическое выражение, которое связывает расход и давления. Связь между однородными ФП, которые относятся к разным элементам в подсистемах, устанавливается топологическими уравнениями. Они отображают топологию взаимосвязей элементов. Их получают на основе данных о структуре системы. Примеры топологических уравнений : в электрических системах - уравнения на основе законов Кирхгофа ; в механических системах - уравнения, отражающие принципы Д.Аламбера и добавление скоростей и т.д. Очевидно, что процедура разработки топологических уравнений выполняется для каждого моделирующего объекта, поскольку структуры объектов различны.

Математическую модель системы получают объединением компонентных и топологических уравнений этой системы.

4.Компонентные и топологические уравнения электрической цепи

Математическая модель любой электрической цепи состоит из компонентных и топологических уравнений этой цепи.

4.1 Компонентные уравнения

Эти уравнения отражают зависимость между током и напряжением для элемента схемы.

а) для линейного резистивного элемента

UR(t)=RiR(t);

б) для линейного индуктивного элемента

UL(t)=L; iL(t)=

в) для линейного емкостного элемента

ic(t)=c; Uc(t)=

4.2 Топологические уравнения

Эти уравнения характеризуют способ соединения ветвей, не отражая их содержимого. Топологические уравнения обычно строятся на законах Кирхгофа. Как известно, есть закон Кирхгофа для токов ( ЗКТ) и закон Кирхгофа для напряжений (ЗКT). ЗКT гласит: алгебраическая сумма токов связанных с узлом, равна нулю. На рис 3a.

а) б)

Рис. 3

показан узел. Для него ЗКТ записывается так i1+i2+i3=0 ; (1) ЗКТ звучит так, алгебраическая сумма напряжений ветвей в замкнутом контуре равно нулю. Для контура, изображенного на рис 3б. ЗКТ записывают так. U1+U3-U2=0 ; (2)

Уравнение (1) и (2) не содержит сведений о том, каковы типы элементов включены в ветви и каковы их параметры. Известно, что если в схеме n- узлов, то по ЗКТ можно составить (n-1) независимых уравнений. Для составления уравнений по ЗКН в схеме должны быть найдены независимые замкнутые контуры, т. е. такие контура, в каждом из которых имеется хотя бы одна ветвь, не входящая во все другие контура. Поиск независимых контуров для цепи со сложной конфигурацией (топологией) представляет собой относительно большую трудность. Чтобы получить топологические уравнения каждую ветвь электрической цепи представляют линией, которая соединяет соответствующие узлы. Получается так называемый граф цепи.

Пример:

Выбор положительного направления тока и напряжения на графе делается произвольно. При этом полагается, что выбраное положительное направление тока одновременно является и положительным направлением напряжения.

Размещено на Allbest.ru