Модели и моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модели и моделирование

1. Общие сведения о модели и моделировании

Модель - это упрощенное представление исследуемого объекта (системы). Она должна отражать наиболее существенные (с точки зрения цели исследования) свойства изучаемого объекта. Объект, для которого создается модель, принято называть оригиналом. Не всегда есть возможность или целесообразность исследовать непосредственно оригинал. Часто исследования проводят на модели оригинала, а затем результаты исследования переносят на оригинал. В зависимости от цели исследования для одного и того же оригинала может быть создано несколько моделей.

Моделирование - это процесс создания модели, её исследование и обработка полученных результатов. Чаще всего моделированием занимаются при анализе существующих объектов (систем) или в процессе проектирования таких объектов (систем).

Строго говоря, моделированием человечество занимается с давних времен. Еще с детства человек познает мир, сначала через игрушки и игра, и отображает, или моделирует, действительность. С годами человек использует более сложные модели, отражающие более сложной ситуации. Моделирование позволяет анализировать даже ситуации, в которых реальный объект не может функционировать. Можно моделировать, например, катастрофы, редчайшие случаи и даже такие явления и процессы, которых не существует в реальности.

Сейчас методы моделирования широко используют во всех сферах деятельности человека - от конструирования моделей технических, технологических и организационных систем до разрешения проблем развития человечества и Вселенной. Сегодня самый мощный в мире суппер-компьютер NEC Vector SX6 установлен в центре моделирования Земли в Йокагаме (Япония) и используется для моделирования основных на свойств климатической системы Земли.

2. Соотношение между моделью и оригиналом

аналоговый физический компьютерный моделирование

Научной основой моделирования является теория подобия. Основным в этой теории есть понятие аналогии, т.е. подобие объектов за некоторыми признаками. Подобные объекты называются аналогами.

Аналогия между объектами может устанавливаться по качественным, по количественным признакам или по тем и другим.

Основным видом количественной аналогии является математическое подобие. Объекты в этом случае описываются аналогичными уравнениями или функциями, отличающимися только значениями коэффициентов или констант.

Другим видом количественной аналогии можно считать физическое подобие. В этом случае объекты не могут бить описаны математически, и их подобие определяется соотношением физических параметров, которые характеризуют исследуемый процесс в оригинале и на модели.

Любая модель отражает свойства оригинала лишь частично. И чем больше свойств оригинала отражено в модели, тем ближе модель к оригиналу, тем она точнее. Но одновременно с повышением точности модели растет и её сложность. Исследователю постоянно приходится искать компромисс между желаемой точностью модели и её сложностью.

На степень соответствия между объектом и моделью указывают два понятия: изоморфизм и гомоморфизм.

Объект и его модель изоморфны, если существует взаимнооднозначное соответствие между ними, благодаря которому можно преобразовать одно представление на другое. Строго доведённый изоморфизм для объектов разной природы дает возможность переносить знания с одной области в другую.

Однако существуют и менее тесные связи между объектом и моделью. Это так называемые гомоморфные связи. Они устанавливают однозначное соответствие только в одну сторону - от модели к объекту. На рис.1 схематично изображена разница изоморфной зависимостей между объектом и моделью для пространства состояний объекта Z0 и модели ZM.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Классификация моделей и моделирования

Модели условно можно разбить на две группы - материальные модели и идеальные. Первой группе соответствует предметное моделирование, а второй абстрактное.

Основными разновидностями предметного моделирования являются физическое и аналоговое моделирование. Физическим принято называть моделирование, при котором реальный объект заменяется его увеличенной или уменьшенной копией. Копия сохраняет геометрические пропорции и физические принципы действия.

Аналоговое моделирование основано на замене исходного объекта объектом другой физической природы (объектом - аналогом). Поведение аналога определяется аналогичными физическими законами. Например, колебания и резонанс в механических системах аналогичны колебаниям и резонансу в электрических цепях.

Идеальные модели - это абстрактные образы замещаемых объектов. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое. Интуитивное моделирование используется человеком и другими живыми существами для отражения окружающего мира и предсказания его реакций. Каков механизм интуитивного моделирования - не известно.

Знаковое моделирование предполагает использование в качестве моделей знаков или символов: схем, графиков, сетей, чертежей и т.д. Наиболее важным видом знакового моделирования является математическое моделирование.

Обязательным участником знакового моделирования является интерпретатор знаковой модели. Интерпретатором, как правило, выступает человек, понимающий смысл используемых знаков, однако уже существует множество технических устройств, обладающих схожими возможностями.

В зависимости от того, изменяются свойства модели во времени или не изменяются, модели делятся на динамические и статические.

В зависимости от того, как отображаются состояния модели во времени, различают дискретные, непрерывные и дискретно - непрерывные (гибридные) модели.

Кроме того, модели делятся на детерминированные и стохастические (вероятностные).

4. Основные виды знакового моделирования

Широко известными видами знакового моделирования являются: компьютерное, математическое, имитационное и статистическое моделирование.

Компьютерное моделирование определяют как реализацию модели с помощью компьютера. Особенностью компьютерного моделирования есть его интерактивность. Это значит, что в ходе компьютерного моделирования пользователь имеет возможность вмешиваться в процессе моделирования и влиять на результаты моделирования.

При компьютерном моделировании могут быть задействованы и реальные объекты (например, кабина лётчика).

Что касается математического моделирования, то следует отметить, что при его использовании очень многое зависит от способа подачи, как модели, так и результатов моделирования. Рассмотрим простой пример. Пусть на некотором предприятии для водоснабжения используются резервуар ёмкостью W тысяч литров. Уровень потребления воды предприятием - Vп тысяч литров в сутки. Скорость наполнения резервуара - Vн тысяч литров в сутки. Нужно найти время Т, за которое будет заполнен резервуар.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Время заполнения резервуара находится легко:

(1)

Эта математическая модель наполнения резервуара является чрезвычайно идеализированной. Все её параметры полагаются неизменными во времени, скорости наполнения и потребления постоянными, влияние внешних факторов на систему не учитываются. Такая идеализированная модель легко решается аналитически. Однако с помощью такой модели можно получить ответ только на один конкретный вопрос - за какое время будет заполнен резервуар? Если задачу усложнить, приблизить её к практике, то строя модель, нужно учитывать, что потребности предприятия в водообеспечении постоянно меняются, более того, возможны перебои в работе насосов во время подачи воды. Решение задачи в частично замкнутом виде можно записать как:

(2)

Время заполнения резервуара объемом W зависит от параметров модели Vн и Vп при разных соотношениях между параметрами Vн и Vп и при разных начальных условиях можно получить разные результаты. Можно даже построить график наполнения резервуара (рис.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реализовать эту модель можно с помощью численных методов. Меняя в формуле (2) значения t от 0 с некоторым интерваломt (шаг моделирования) до того значения, когда будет выполняться равенство (2), получим динамическую характеристику заполнения резервуара. Чем меньше шаг ,тем точнее результат будет получен. Правда, тем дольше будет решаться задача моделирования.

Имитационное моделирование - это метод конструирования модели и проведения экспериментов. Вся информация про имитационную модель в общем имеет логико-математический характер и представляется в виде совокупности алгоритмов, которые описывают процесс функционирования объекта. В большинстве имитационной моделью есть её программная реализация на компьютере, а имитационное моделирование сводится к проведению экспериментов с моделью путём многократного прогона программы с некоторым множеством данных.

Если вернуться к процессу наполнения резервуара, то при помощи имитационной модели весь процесс можно воспроизвести с использованием равенства (2). Обозначим через Wi текущее состояние резервуара, которое воспроизводится в определенные моменты модельного времени, которое изменяется с постоянным шагом :

, (3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Такая модель является детерминированной. Процесс моделирования заканчивается, если на некотором шаге выполняется условие Wi ? W. Другими словами решение получается за один прогон имитационной модели. Точность результатов будет зависеть от значения .

Если в модели нужно учитывать влияние случайных факторов, то возникает необходимость статистической оценки результатов моделирования.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статическое моделирование - есть самостоятельным видом моделирования. Оно включается в имитационное моделирование только при необходимости моделирования вероятности систем и процессов.

Построим более реальную модель системы водоснабжения предприятия. Допустим, что уровень потребления воды на предприятии имеет вероятностный характер и изменяется в соответствии с равномерным распределением вероятностей в пределах . Тогда значения Vп в некоторый момент времени ti будет определять как:

где zi - случайное число, равномерно распределённое в интервале [0.1].

Результаты работы имитационной модели даны на рис.5:

После каждого прогона модели получается случайное значение Тj ( j-количество прогонов). Для каждого прогона задается своя последовательность случайных чисел zi.

Как видно на рис.5, полученные значения Тj будут отличаться от среднего значения Т, найденного при помощи детерминированной модели.

Чтобы оценить время наполнения резервуара, нужно задаться точностью оценивания E = Т и уровень доверия. Обычно = 0,95, т.е. есть гарантия того, что в 95 случаях из 100 среднее значение времени Т будет лежать в пределах .

5. Особенности компьютерных моделей

Компьютерная модель обладает особыми свойствами по сравнению с математической моделью. Она не является просто записанной на другом языке - языке компьютера математической моделью.

Компьютерная модель имеет две составляющие - программную и аппаратную (рис.6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Программная составляющая (моделирующая программа) является абстрактной знаковой моделью специального вида, которая интерпретируется физическим устройством - процессором компьютера и «выполняется». В результате мы наблюдаем некоторый физический процесс, в частности движение образов на экране., которые интерпретируем как поведение модели. Под компьютером в данном случае достаточно понимать любое устройство, состоящее из программной и аппаратной частей, способное интерпретировать и выполнять программы. Это может быть и суперкомпьютер, и встроенный микропроцессор с «зашитой» в его память программой.

Совокупность компьютера и моделирующей программы является уже физическим устройством и, таким образом, компьютерное моделирование можно считать особым видом физических моделей.

Существование таких особых физических моделей на базе компьютеров позволяет говорить еще об одной стороне компьютерного моделирования. С этой точки зрения компьютерное моделирование обладает уникальным набором привлекательных свойств, к числу которых, прежде всего, относятся почти неограниченная сложность моделей. Удобным также является разделение на «мягкую» часть (программное обеспечение), которую необходимо изменить при переходе к другой модели, и «жесткую» часть (аппаратуру и операционную систему), которая остается неизменной. Компьютерная модель, таким образом, в определённых условиях может выступать в качестве имитатора реального объекта. Слово «imitatio» (лат.) означает - подражание, подделка. Её можно «подключать» к другим реальным объектам точно так, как её физические прототипы. Это свойство компьютерных моделей позволяет использовать их в составе полунатуральных моделей, собранных из реальных устройств и имитаторов реальных устройств, используемых при создании и испытании сложных технологических систем.

Следует отметить, что компьютерные модели могут создаваться не обязательно на основе математических моделей. В их основе могут лежать записанные на языке программирования представления об объекте, существующие в сознании разработчика (пунктирная линия на рис. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если назначение такой модели - создание на её основе математической модели и затем её реализация на вычислительной машине (сплошная линия на рис.7), то такой подход вполне допустим. Такое моделирование в последнее время называют имитационным. Имитационное моделирование в этом смысле - это ещё один этап компьютерного моделирования, когда имеют дело с трудно формализуемой моделью.

6. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент

Компьютерное моделирование всегда предполагает проведение вычислительного эксперимента.

Рассмотрим в качестве примера динамику движения тела, брошенного под некоторым углом Q0 к горизонту (рис.8) с начальной скоростью V0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика движения такого тела в безвоздушной среде описывается системой дифференциальных уравнений:

(4)

При начальных условиях:

Эта система уравнений имеет очевидное, выраженное через элементарные функции, решение:

 (5)

Из этой модели легко, чисто математическими методами, без применения вычислительной техники получить в явном виде зависимость дальности точки падения тела от угла бросания Q0:

(6)

Подставив в выражение (6) заданное значение V0, Q0 и g легко найти соответствующие этим параметрам дальность L.

Если выражение (6) продифференцировать по Q0 и приравнять полученное выражение к 0, то найдем угол соответствующий максимальной дальности полёта тела. Он является решением уравнения

(7)

и будет равен 450 . Этот ответ легко проверить на практике.

Рассмотрим теперь динамику движения указанного тела в воздушной среде с плотностью воздуха, задаваемой параметром с. В этом случае придется иметь дело с системой уравнений:

(8)

При тех же начальных условиях:

Найти решение данной системы «ручным» методом и получить решение в виде некоторой функции не представляется возможным. Решать систему (8) нужно численными методами с применением вычислительной техники.

Рис. 9

Систему (8) необходимо решить численно несколько раз при разном наборе параметров, определить для каждого набора точки падения и затем попытаться найти интересующую нас зависимость. На рис. 9 показаны несколько из решений.

Проведя несколько серий экспериментов для выявления зависимости дальности полета тела от значений V0, g и с и обработав результаты экспериментов можно будет сделать вывод, что при увеличении V0 и с угол максимальной дальности уменьшается (рис.10), а при увеличении g - увеличивается, приближаясь к 450.

Рис. 10

При бросании тела под углом к горизонту в безвоздушной среде угол максимальной дальности, как видно из выражения (6), не зависит от V0и g.

Таким образом, компьютерное моделирование действительно является особым видом проведения экспериментов с моделью исследуемого объекта.

Нужно отметить, что проведение компьютерного моделирования неизбежно сопряжено с появлением ошибок. Ошибки появляются на каждом этапе компьютерного моделирования. Построенная математическая модель наверняка содержит ошибки пусть даже и малые. Ошибки могут внести и численные методы, их программные реализации, использующие арифметику машинных чисел. Возможны ошибки даже при такой простой операции, как построение графиков. Поэтому, иногда требуются приложить много усилий, чтобы убедиться в правильном соответствии результатов компьютерного экспериментам результатом реальных экспериментов, а тем более убедить себя и других в правильности обнаруженной новой зависимости.

7. Программные средства компьютерного моделирования

На заре компьютерного моделирования все моделирующие программы были уникальными и писались непосредственно на существовавших в то время языках программирования (Алголе и Фортране). В качестве спецификации будущей моделирующей программы выступала запись на математическом языке. Эффективность полученного кода повышалась за счет использования языка Ассемблера (написание всей моделирующей программы или её наиболее трудоёмких частей в машинных командах давало серьёзный выигрыш в быстродействии).

В середине прошлого столетия возникла необходимость автоматизации процесса моделирования. Первым шагом на пути автоматизации моделирования было создание библиотек численных методов для заданного класса уравнений. К концу 70-х годов прошлого столетия были созданы специализированные коллекции численных методов практически для всех областей численного анализа.

Наличие библиотек не позволяет уйти от необходимости многократно проводить модельные эксперименты для различных входных данных и обрабатывать их результаты. Дальнейшие шаги на пути автоматизации моделирования были связаны с разработкой систем автоматизации вычислительного эксперимента - пакетов прикладных программ (ППП).

Появление коллекций и библиотек резко расширило возможности моделирования. Если математическая модель представляла собой не очень большую систему уравнений, то перевести её в операторы Фортрана не составляло большого труда. Обычно над этим совместно работали три специалиста: специалист в прикладной области, математик и программист.

Для сложных моделей начали использовать системы автоматизации моделирования (их часто называют просто системами моделирования или пакетами моделирования). Система автоматизации моделирования позволяют автоматически строить моделирующую программу по математической модели системы и автоматически преобразовать результаты вычислительных экспериментов на уровень абстракции математической модели.

На рис.11 показано преобразование данных в системе автоматизации моделирования.

Рис.11

При использовании системы автоматизации моделирования разработчик формирует математическую модель исследуемой системы на формальном входном языке моделирования.

Современные пакеты моделирования, как правило, включают специальные визуальные редакторы, позволяющие вводить описание моделируемой системы в форме, максимально удобной для восприятия человеком. Математические выражения пишутся с использованием многоэтажных дробей, символов интегралов, сумм и производных. Структура и поведение изображаются в виде структурных схем и графов переходов.

Эти графические описания автоматически переводятся в программу модели. Вместе с исполняющей системой пакета моделирования программа модели составляют моделирующую программу.

Используемые в настоящее время пакеты моделирования можно классифицировать (рис.12)

Рис.12

Специализированные пакеты используют специфические понятия конкретной прикладной области (химическая технология, теплотехника, электротехника и т.д.) и имеют узкую область применения.

Область применения универсальных пакетов шире, т.к. они ориентированы на определённый класс математических моделей и применимы для любой прикладной области, в которой эти модели используются.

Математические пакеты (Mathematics, MATLAB, Maple) используются в случаях, когда математическая модель всей моделированной системы уже построена и её требуется только исследовать. Математические пакеты позволяют проводить символьные преобразования модели, находить решения управлений в замкнутой форме или решать их численно.

Компонентное моделирование широко используется при проектировании технических объектов. При этом описание моделируемой системы строится из компонентов(в том числе и готовых библиотечных), а совокупная математическая модель формируется пакетом автоматически. Размерность и сложность совокупной системы уравнений таковы, что их решение приходится искать численно. Символьные вычисления если и проводятся, то лишь при решении отдельных вспомогательных задачах.

Размещено на Allbest.ru