Два способа задания прямой линии на плоскости
Рассмотрение уравнения прямой, заданной угловым коэффициентом и в отрезках, основные отличия. Процесс нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости. Сущность канонического и параметрического уравнений. Правила взаимного расположения двух прямых.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.10.2013 |
| Размер файла | 96,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1. Аналитическая геометрия. Два способа задания прямой линии на плоскости
1. Общее уравнение прямой
На прямой известна точка М0 (x0,y0) и вектор =(A,B) перпендикулярный прямой, - нормальный вектор прямой.
Возьмем на прямой точку М (x,y) - говорят текущая точка, или точка с произвольными координатами. Тогда вектор=(x-x0;y-y0) будет вектору , из условия векторов следует
(,)=0 (1),
- это векторное уравнение прямой на плоскости.
Запишем его в координатной форме, получим:
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0 (2)
Это общее уравнение прямой на плоскости. Преобразуем его:
Аx-Ax0 + Вy-By0=0 или
Ax+By+C=0 (3)
Уравнение (3) -также общее уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой - это уравнение первой степени относительно x и y; А и В -координаты вектора нормали.
1.1 Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом
Найдем уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом - k из общего уравнения прямой
А(x-x0 ) + В(y-y0)=0 отсюда:
y-y0=- (x-x0)
y-y0=k( х-х0) (4)
уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом k, раскрывая скобки, получим
y=kх+b (5)
- это уравнение прямой заданной угловым коэффициентом.
k=- . b = - (6)
k= - угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ.
1.2 Уравнение прямой в отрезках
Получим уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой в форме (3).
Ax + By= - C. Поделим на -С.
, представим в виде:
Уравнение (7)- уравнение прямой в отрезках
Второй способ задания прямой.
2. Каноническое уравнение прямой
Известна точка М0(x0;y0) и вектор =(m,n). - направляющий вектор прямой.
Возьмем точку M (x,y) на прямой, тогда вектор | | из условия параллельности векторов следует:
(8)
Векторное уравнение прямой на плоскости
при: (m,n); и =(x-x0;y-y0) подставим в (8) получим:
(9)
Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Замечание: Каноническое уравнение будем иметь, если на прямой заданы две точки.
2.1 Уравнение прямой, проходящей через две точки
=(x2-x1;y2-y1)
=(x-x1;y-y1)
(10)
уравнение прямой проходящей через две точки.
2.2 Параметрическое уравнение прямой
Используя каноническое уравнение прямой (9), введём параметр t тогда:
или
(11)
Уравнение прямой в параметрической форме.
Общий вывод: Все полученные уравнения прямой, являются уравнениями 1-й степени относительно x и y. Можно доказать обратное утверждение: всякое уравнение 1-й степени на плоскости определяет прямую линию.
Пример: Даны вершины треугольника A(1;-2) B(3;4) C(5;2)
1)Составить уравнение стороны BC;
2)Высоты из т. А
3)Медианы через т. В
Решение. 1)воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (уравнение 10)
ВС: получили каноническое уравнение.
Для пункта 3) используем формулу деления отрезка в данном отношении.
т.к.
Тогда M(3;0) Пусть В(x1;y1) M(x0;y0)
Запишем уравнение прямой ВМ используя уравнение (10), получим
ВМ: или - Найдем уравнение высоты из т. А так как то играет роль вектора нормали к прямой AD. Тогда =(2;-2)= тогда AD: 2(x-1)-2(y+2)=0
3. Основные задачи на прямую на плоскости
Рассмотрим различные ситуации с двумя прямыми.
3.1 Взаимное расположение двух прямых
Возможны четыре случая:
а) Если прямые L1 и L2 пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение, это возможно когда главный определитель системы
т.е. т.е. и - не коллинеарные
б) если прямые L1 и L2 параллельные то и коллинеарные
(12)
условие L1 | | L2
в) если прямые L1 и L2 сливаются то система в этом случае имеет множество решений.
г) если прямые перпендикулярны
используя выражения для , получим k1k2=-1, итак
и k1k2=-1 (13)
условие
3.2 Нахождение угла между прямыми
Угол между прямыми - это угол между нормалями и .
(14)
(15)
уравнение угловой канонический
3.3 Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости
Рассмотрим скалярное произведение векторов. и поскольку они параллельны тогда
(,)=,
это мы записали уравнение прямой.
(,)=
=(x1-x0;y1-y0);
;
но в числителе стоит уравнение M1 M0; т. М0 M1 M0
(16)
Задача. Две стороны квадрата лежат на прямых L1:5x-12y-65=0 и L2:5x-12y+26=0. Вычислить его площадь.
Прямые параллельны.
L1 | | L2 :
Обозначим сторону квадрата за d, тогда S=d2
Выберем на прямой L1 любую точку, для этого одну координату зададим сами. Пусть y=0: тогда 5x=65; x=13; М0(13;0)
Теперь найдём расстояние от т. М0 до L2; оно и будет равно стороне квадрата.
S=49
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Общая характеристика примеров нахождения точки пересечения двух прямых. Знакомство с условиями параллельности и перпендикулярности прямых, рассмотрение особенностей решения уравнений. Анализ способов нахождения углового коэффициента искомой прямой.
презентация [97,6 K], добавлен 21.09.2013Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Доказательство коллинеарности и компланарности векторов. Проведение расчета площади параллелограмма, построенного на векторах а и в, объема тетраэдра, косинуса угла, точки пресечения прямой и плоскости. Определение канонических уравнений прямой.
контрольная работа [87,7 K], добавлен 21.02.2010Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Различные способы задания прямой на плоскости и в пространстве. Конструктивные задачи трехмерного пространства. Изображения фигур и их правильное восприятие и чтение. Использование в геометрии монографического и математического метода исследования.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2014Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Понятие плоскостей, их классификация и разновидности, способы и принципы задания. Сущность и этапы решения позиционных задач. Исследование принадлежности прямой заданной плоскости, методика и цели доказательства их параллельности и перпендикулярности.
презентация [95,4 K], добавлен 27.10.2013Сущность планиметрии как науки о свойствах точек и прямых на плоскости. Понятие точки, прямой и плоскости, принятие утверждений без доказательств. Особенности построения и содержание аксиом принадлежности, измерения, параллельности, откладывания.
презентация [77,7 K], добавлен 12.04.2012Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.
шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010
