Переход от канонических уравнений к общим
Процесс перехода от общего уравнения к каноническому и на оборот, основные правила. Сущность взаимного расположения прямых в пространстве и порядок нахождения расстояния. Процесс определения угла между прямой и плоскостью. Понятие эллипса и окружности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.10.2013 |
| Размер файла | 77,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Переход от канонического уравнения к общему
Пусть задана прямая каноническим уравнением
Перейдем от этих уравнений к системе.
Здесь каждое уравнение определяет плоскость в пространстве, т.е. мы получили общее уравнение прямой линии в пространстве.
2. Переход от общего уравнения к каноническому
Пусть прямая линия задана общим уравнением
(4)
Для того, чтобы получить каноническое уравнение надо знать точку M0(x0,y0,z0) и направляющий вектор . Точку М0 можно найти из решения системы задав одну из координат. Вектор и , но таким свойством обладает вектор равный векторному произведению векторов . Следовательно
.
3. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве
3.1 Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть заданы прямые:
.
1) Прямые коллинеарные тогда .
2) Прямые не коллинеарные, тогда они:
а) пересекаются в одной плоскости. Прямые лежат в одной плоскости если . Это условие компланарности трех векторов. Тогда угол между ними
;
б) скрещивающиеся прямые, тогда . Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях.
3.2 Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве
3.3 Нахождение угла между прямой и плоскостью
Это угол .
Самостоятельно вывести условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Задача 1. Выяснить как расположены в пространстве относительно друг друга прямые.
так как , то прямые линии и параллельны.
4. Кривые второго порядка. Окружность
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
(1)
при условии, что хотя бы одно из А,В,С0
Пример: xy=K- гипербола.
Определение: Уравнение (5) определяет окружность если А=В, а С=0. Каноническое уравнение окружности.
(2)
Центр окружности в точке C(x0;y0), радиус - R.
Пример: Определить тип кривой х2 - 6х + y2 + 4y - 12=0, здесь C=0; A=B. Выделим полный квадрат: (a + b)2=a2 + 2ab + b2.
x2 - 2 x 3+ 32 - 32+y2 + 2 y 2+ 22 - 22-12=0
(x-3) 2 + (y+2) 2 - 9 - 4 - 12=0
(x-3) 2 + (y+2) 2 = 25 окружность с центром в точке C(3;-2) и радиусом R=5.
5. Эллипс
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма расстояний которых до двух точек называемых фокусами есть величина постоянная, равная 2с.
- каноническое уравнение эллипса.
Получим его:
уравнение пространство эллипс окружность
6. Свойства эллипса
Эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат т.к. Уравнение эллипса содержит переменные x и y в квадратах.
2.
.
Т.е. эллипс заключен внутри квадрата .
Точки пересечения с осями координат называются вершинами эллипса (a;0); (-a;0); (b;0); (-b;0).
Форма эллипса, его мера сжатия характеризуются эксцентриситетом
.
Замечание: Если то будем иметь окружность.
Расстояние ; r1 и r2 называется фокальными радиус векторами r1+r2=2a, r1=a-x, r2=a+x.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Доказательство коллинеарности и компланарности векторов. Проведение расчета площади параллелограмма, построенного на векторах а и в, объема тетраэдра, косинуса угла, точки пресечения прямой и плоскости. Определение канонических уравнений прямой.
контрольная работа [87,7 K], добавлен 21.02.2010Общая характеристика примеров нахождения точки пересечения двух прямых. Знакомство с условиями параллельности и перпендикулярности прямых, рассмотрение особенностей решения уравнений. Анализ способов нахождения углового коэффициента искомой прямой.
презентация [97,6 K], добавлен 21.09.2013Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.
презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012Понятие и классификация углов, положительные и отрицательные углы. Измерение углов дугами окружности. Единицы их измерения при использовании градусной и радианной мер. Характеристики углов: между наклонной и плоскостью, двумя плоскостями, двугранного.
реферат [959,2 K], добавлен 18.08.2011Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Понятие и характерные признаки равносильных уравнений, требования к множеству их решений. Теорема о равносильности уравнений и порядок ее доказательства, значение в современной математике. Порядок и основные этапы нахождения корней уравнения-следствия.
презентация [15,1 K], добавлен 17.03.2011Нормальное и каноническое уравнение окружности и эллипса. Понятие эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине большой оси эллипса. Уравнение и координаты точки, принадлежащей эллипсу. Влияние отношение малой и большой полуосей на фигуру.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Исследование видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду. Сфера применения и особенности данного вида уравнений: определения и доказательство основных теорем, алгоритм решения ряда задач по данной тематике.
контрольная работа [286,0 K], добавлен 29.03.2012Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Определение периметра треугольника, наименьшего и наибольшего значений функции. Вычисление средней температуры. Проведение вычислений логарифмов. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Вычисление объема конуса. Коэффициент теплового расширения.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 27.12.2013Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Вычисление определителей матриц. Метод приведения матрицы к треугольному виду. Решение системы уравнений методами Крамера, Жордана-Гауса и матричным. Канонические уравнения для нахождения центра, вершины, полуоси, эксцентриситета, директрис эллипса.
контрольная работа [797,4 K], добавлен 18.11.2013
