Свойства гиперболы
Понятие гиперболы как геометрического места точек разности расстояний. Процесс построения канонического уравнения. Характеристика главных свойств гиперболы. Понятие параболы как геометрического места точек плоскости равноудаленных от фиксированной точки.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.10.2013 |
| Размер файла | 497,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
Зміст
1. Гипербола
2. Свойства гиперболы
3. Парабола
4. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
1. Гипербола
Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек разность расстояний, от которых до двух точек называемых фокусами, есть величина постоянная.
,
вывести самостоятельно, Полагая , получим каноническое уравнение гиперболы
(2).
2. Свойства гиперболы
Гипербола симметрична относительно начала координат и осей координат (т.к. x и y в квадрате).
;
точки гиперболы левее прямой x=-a и правее прямой x=a.
Точки пересечения с осями координат х=0; (ось OY не пересекает). При Y=0, получаем то есть точки (-а;0) и (а;0).
Найдем точку пересечения гиперболы с прямыми . Для этого решим систему.
,
получим, преобразуем, получим:
или .
Если то есть то гипербола будет пересекаться с прямыми линиями .
Определение: Прямые называются асимтотами гиперболы. Из условия следует, что гиперболы со своими асимтотами не пересекаются.
Эксцентриситет т.к. с>а, фокальные радиус векторы r1=x-a; r2=x+a, для правой ветки и r2=x+a; r1=-x-a, для левой ветки. Вывод:
- каноническое уравнение гиперболы с действительной осью ОХ и мнимой осью OY. Центр в точке С(0;0), полуоси а и b.
гипербола канонический парабола
3. Парабола
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой фокусом и некоторой прямой называемой директрисой.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача. Написать уравнение геометрического места точек М(x,y) расстояние от которых до точки F(4;0) равно расстоянию до прямой х=10.
Решение: ; или возводя в квадрат, получим:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пример: Определить тип кривой 3х2 - 6х +2 y2 + 4y - 12=0.
Решение. Запишем общее уравнение кривой второго порядка
здесь C=0; A?B, следовательно, будет эллипс или гипербола. Выделим полный квадрат: (a + b)2=a2 + 2ab + b2.
3(x2 - 2 x )+2(y2 + 2 y)-12=0,
3(x2 - 2 x 1+12-12)+2(y2 + 2 y 1+12-12)-12=0,
3(x-1) 2 +2 (y+1) 2 -1 - 1 - 12=0,
3(x-1) 2 +2 (y+1) 2 = 14
или эллипс с центром в точке C(1;-1) и полуосями а= и b=.
4. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
1. Сфера.
2.Эллипсоид.
Сечение плоскостью
Z=0; эллипс
Z=h. эллипс или
3.Однополостный гиперболоид
при z=0 - эллипс.
при z=h - эллипс.
при y=0; - гипербола.ось ОZ - мнимая.
при x=0 - гипербола.
4.Двуполостный гиперболоид
При - мнимый эллипс
При - точки (0,0,с) и (0,0,-с).
При эллипс.
При у=0 гипербола.
При х=0,гипербола.
5.Конус
При =0; ;точка (0;0)
При z=с, эллипс.
При у=0, , пара прямых .
При х=0, ,пара прямы
6.Эллптический параболоид
сечения у=0, - парабола
х=0, парабола
точка.
эллипс.
7.Гиперболический параболоид (седло)
у=0, парабола вверх.
Х=0, парабола вниз.
прямые
z=с, гипербола.
8.Цилиндрические поверхности.
Гиперболический цилиндр.
Отсутствует в уравнении переменная z, поэтому, образующая вдоль OZ.
- гипербола в плоскости Х0У.
Параболический цилиндр. - образующая вдоль OY (отсутствует переменная у в уравнении)
- парабола в плоскости Z0X
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
реферат [197,7 K], добавлен 03.08.2010Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Плоскость как простейший вид поверхности, ее задание тремя точками. Основные геометрические фигуры на плоскости. Определение геометрического места точек, примеры для угла и окружности. Сущность использования метода геометрических мест при решении задач.
курсовая работа [115,2 K], добавлен 10.01.2010Общее понятие и признаки гиперболы. Асимптоты гиперболы как прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты. Общее понятие и формула эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине действительной оси гиперболы.
презентация [79,0 K], добавлен 21.09.2013Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010Понятие геометрического паркета или замощения (разбиения) плоскости. Разработка новых моделей геометрического паркета. Моделирование и составление алгоритмов построения геометрических паркетов из неправильных шестиугольников и пятиугольников одного типа.
курсовая работа [195,5 K], добавлен 20.09.2009Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Исследование и подбор матрицы, удовлетворяющей условиям заданного уравнения. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки, расчет коэффициентов. Формирование уравнения гиперболы, имеющего заданные координаты фокусов. Расчет корней уравнения.
контрольная работа [113,2 K], добавлен 16.04.2016"Конические сечения" Аполлония. Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения. Вывод уравнения для параболы, для эллипса и гиперболы. Инвариантность конических сечений. Дальнейшее развитие теории конических сечений в трудах Аполлония.
реферат [174,6 K], добавлен 04.02.2010Сущность планиметрии как науки о свойствах точек и прямых на плоскости. Понятие точки, прямой и плоскости, принятие утверждений без доказательств. Особенности построения и содержание аксиом принадлежности, измерения, параллельности, откладывания.
презентация [77,7 K], добавлен 12.04.2012Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Область, ограниченная ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти и прямой. Сведение двойных интегралом к повторному. Неоднородное дифференциальное уравнение. Сумма решений соответствующего однородного и любого частного решения уравнения.
контрольная работа [65,1 K], добавлен 05.12.2010Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.
презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Классификация различных точек поверхности. Омбилические точки поверхности. Строение поверхности вблизи эллиптической, параболической и гиперболической точек. Линии кривизны поверхности и омбилические точки. Поверхность, состоящая из омбилических точек.
дипломная работа [956,7 K], добавлен 24.06.2015
