Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Показатели вариации

Вариацией называется колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака. Вариация зависит от различных факторов и их сочетаний в каждом конкретном случае. Например, успеваемость зависит от способности, усидчивости, социальных условий и т.д.

Вариация бывает случайной и систематической. Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статистических моделей и т.д.

Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по различным территориям. Вариация во времени подразумевает изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение.

Размах вариации показывает наибольшее различие между единицами совокупности и рассчитывается как разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака.

Он выражается именованными числами как и варианты. Размах вариации важный показатель колеблемости признака, но не исчерпывающий его характеристику.

Для анализа вариации используется средняя величина, вокруг которой происходят колебание и рассеяние значений признака. При обобщении этих колебаний снова применяется метод средних, чтобы найти среднюю величину этих отклонений. Такая средняя называется средним линейным отклонением (), которое вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней:

 (простая средняя),

(взвешенная средняя).

Абсолютная величина используется для того, чтобы не получить нулевое значение в числителе при круглых скобках. Чтобы иметь дело только с положительными величинами, все отклонения были возведены во вторую степень. Этот показатель называется дисперсией или средним квадратом отклонения.

простая дисперсия,

взвешенная дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение в зарубежной литературе):

или

Показатели относительного рассеивания используется для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Коэффициент осцилляции ():

.

Линейный коэффициент вариации :

.

Коэффициент вариации :

Пример. Распределение предприятий по объему товарооборота.

тыс. руб. тыс. руб.

R= 130-90=40 тыс. руб. тыс. руб.

тыс. руб.

; ;

Вариация альтернативного признака.

Когда имеются два, исключающие друг друга варианта, наличие признака обозначается через 1, а его отсутствие через 0. Например, наличие бракованной продукции, ученая степень и т.д.

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

, где

р - доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком,

q - доля единиц в совокупности, не обладающих данным признаком.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

.

Показатели вариации альтернативных признаков щироко используются в статистике, например при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции и т.д.

Пример. По данным налоговой полиции исчислим дисперсию альтернативного признака. В городе проверено 86 коммерческих киосков. В 37 обнаружены финансовые нарушения.

N=86, n=37, p=37/86=0,43; q=1-0,43=0,57.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение доли коммерческих киосков, имеющих финансовые нарушения, во всей совокупности равны:

=0,245;

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Если у всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.

,

т.е. дисперсию можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа.

Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в раз.

.

4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая отличается от средней арифметической величины , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений , исчисленного от средней арифметической на величину . Значит дисперсия имеет свойство минимальности.

отсюда

.

Для А=0 .

Используя 3 и 4 свойства, получим формулу для вычисления дисперсии способом моментов или способом отсчета от условного нуля.

,

где i - величина интервала, - моменты первого и второго порядка:

, ,

т.о. отражает тенденцию развития, т.е. действие главных факторов, а измеряет силу воздействия прочих факторов.

Пример.

Распределение предприятий по объему товарооборота

Для того, чтобы определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака, нужно разделить изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку - фактору. При этом можно определить три вида дисперсии: общую дисперсию, межгрупповую и внутригрупповую дисперсию. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов:

.

Межгрупповая дисперсия () отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних около общей средней .

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки:

Средняя из внутригрупповых дисперсий :

,

где и соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

.

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий. Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе и др. случаях.

Показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

.

Этот коэффициент показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение равно корню квадратному из эмпирического коэффициента детерминации.

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. .

Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный, если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю.

Размещено на Allbest.ru