Элементы математического анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Саратовской области

Энгельсский филиал

Государственного бюджетного образовательного учреждения Саратовской области

Среднего профессионального образования

«Саратовский архитектурно-строительный колледж»

Методическая разработка

по дисциплине «Математика»

Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников

Оренбург 2013 г.

1. Пояснительная записка

Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. Однако, в случае возникновения затруднений при самостоятельном изучении материала, студент может обратиться к преподавателю математики для получения устной консультации.

Студенты-заочники, в соответствии с ФГОС СПО изучают курс математики в течение одного года обучения и выполняют одну контрольную работу.

При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой долыжны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, курс, специальность, домашний адрес студента.

Задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо полностью переписать ее условие.

Ход решения каждой задачи студент обязан оформить аккуратно, в полном соответствии с порядком решения типичной задачи, приведенной в данных методических указаниях.

Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба.

На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.

Контрольная работа выполняется самостоятельно.

В случае незачета по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные ошибки и предоставить работу на повторную проверку.

Студент выполняет тот вариант, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра в соответствии с таблицей.

Номер варианта	Номера заданий
1	1	21	31	41	51	61
2	2	22	32	42	52	62
3	3	23	33	43	53	63
4	4	24	34	44	54	64
5	5	25	35	45	55	65
6	6	26	36	46	56	66
7	7	27	37	47	57	67
8	8	28	38	48	58	68
9	9	29	39	49	59	69
10	10	30	40	50	60	70

2. Содержание программы

предел интеграл лейбниц

Раздел 1. Элементы математического анализа

Тема 1.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции

Функция одной независимой переменной. Предел функции. Свойства пределов. Теоремы о пределах функции. Непрерывные функции и их свойства.

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Число е.

Тема 1.2 Производная и дифференциал функции, их приложение к решению прикладных задач

Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной, ее физический и геометрический смысл. Правила нахождения производных.

Правила и формулы дифференцирования. Теоремы дифференцирования. Производные элементарных функций.

Применение производных к исследованию функций. Нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение. Дифференциал функции. Приближенные вычисления.

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Вогнутость кривой. Точки перегиба.

Правило нахождения точек перегиба. Дифференциал функции как главная часть ее приращения. Основные свойства дифференциала.

Практическое занятие:

«Вычисление пределов простейших функций. Вычисление производных элементарных функций в заданных точках. Применение производной к исследованию функции и построению графика».

Тема 1.3 Интеграл и его приложение

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной данной функции. Свойства неопределенного интеграла.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции. Его принципиальное отличие от неопределенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Использование определенного интеграла для решения задач прикладного характера. Применение определенного интеграла к вычислению площадей и объемов.

Раздел 2. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

Тема 2.1 Элементы теории вероятностей.

Принцип математической индукции, упорядоченные множества. Элементы комбинаторики: сочетания, перестановки и размещения.

Задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Основные аксиомы теории вероятностей. Повторение независимых испытаний.

Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин и их свойства. Равномерное и нормальное распределение случайных величин.

Тема 2.2 Элементы математической статистики.

Область применения и задачи математической статистики. Первичная обработка статистических данных, элементы выборки, формирование вариационного ряда.

Совокупность объектов. Генеральная совокупность. Выборочная совокупность. Способы отбора. Статистические распределения.

Практическое занятие:

«Решение простейших комбинаторных задач. Первичная обработка статистических данных».

3. Контрольная работа

Теоретический материал

Предел функции

Вычисление предела функции. Пусть функция y=f(х) имеет своим пределом число А: =А, причем f(x) изменяется в зависимости от изменения переменной х. Необходимо учитывать, что при неограниченном стремлении переменной х к числу а (х>а) само число а исключается из значений, принимаемых переменной х. Дадим определение предела функции в точке.

Число А называется пределом функции f(х) в точке х0 и обозначается =А, если для любого числа >0 существует число д>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию <д, где , выполняется неравенство .

При вычислении пределы функции используются теоремы, которые формулируются без доказательств.

Теорема 1

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и ц(х):

Теорема 2

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и ц(х):

Теорема 3

Если существуют пределы функций f(х) и ц(х) при х>а, предел функции ц(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения , равный отношению пределов функций f(х) и ц(х):

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.

Следствие 2. Если n - натуральное число, то справедливы соотношения:

,

Следствие 3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

F(x)=a1xn-1+ a2xn-2+…+an-1xn-1+an

при х>аравен значению этого многочлена при х=а, т.е.

при х>с равен значению этой функции при х=с, если с принадлежит области определения этой функции, т.е.

.

Правила раскрытия неопределенностей

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы можно было сократить.

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби сократить на самую большую степень х в знаменателе.

Определение производной функции.

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

.

Основные правила дифференцирования. Обозначим через С постоянную, х - аргумент, u, х, w - функции от х, имеющие производные.

Производная алгебраической суммы функций:

Производная произведения двух функций:

Производная произведения постоянной на функцию:

Производная частного (дроби):

Частные случаи:

;

.

Сложная функция. Производная сложной функции. Если у есть функция от u: у = f(u), где и, в свою очередь, есть функция от аргумента х: u = ц(х), т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):

Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной:

Формулы дифференцирования

Производные тригонометрических функций



Производные обратных тригонометрических функций

Геометрический смысл производной функции

На линии, заданной уравнением у = f (х), возьмем фиксированную точку М0(х0; уо) и произвольную точку М(х; у). Проведем секущую М0 М и через б обозначим угол, образованный этой секущей с положительным направлением оси х (рис. 1). При стремлении точки М по линии у = f(x) к точке М0 секущая М0 М стремится занять положение прямой M0K, а угол а стремится стать равным углу ц. Здесь

где Дy=f(x) -f(x0); Дx=x-x0, a

Рис. 1

Определение Касательной к линии в данной ее точке М0 называется предельное положение секущей М0М при стремлении точки М по линии к точке М0.

Угловым коэффициентом k прямой (в частности, касательной) называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси х.

Если Дх>0, то tg б>tg ц, поэтому

Физический смысл производной функции

Пусть точка М перемещается по прямой и известен закон движения этой точки: S=f(t), где S - путь, t - время. Требуется найти истинную скорость движения в момент времени t.

Для равномерного движения (т.е движения с постоянной скоростью) скорость - это путь деленный на время.

У нас движение, вообще говоря, неравномерное. Рассмотрим «соседний» момент времени t0+Дt. За время Дt точка проделала путь ДS=f(t0+Дt)-f(t0). Средняя скорость на этом промежутке . Т.к. Дt и ДS - малые величины, то можно считать, что Vср=(Vист)t-t0. Чтобы это приближенное равенство стало точным, надо перейти к пределу при Дt>0:

.

Таким образом, если известен путь как функция времени, то производная пути по времени - это скорость движения. Это и есть физический смысл производной.

Аналогично, если известна скорость движения V=V(t), то ее производная - это ускорение (скорость изменения скорости). И вообще можно сказать, что производная функции в точке - это скорость изменения функции в этой точке.

Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у' = f'ґ(x). Придадим х приращение Дх, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Дy обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение при стремлении Дх к нулю стремится к производной у', а разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом есть величина бесконечно малая, то величина - у' стремится к нулю вместе с Дх. Предыдущее равенство можно записать в форме Дy= у' Дx+б Дx, где б - стремится к нулю вместе с Дх.

Обозначив бДх=в , мы видим, что при бесконечно малом Дх переменная в также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Дх, так как

.

Вообще, если две бесконечно малые величины с и у связаны между собой условием , то говорят, что с есть бесконечно малая более высокого порядка, чем у.

Таким образом, величина в есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх. Это означает, что при весьма малых Дх величина в во много раз меньше, чем Дх. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы.

Таким образом, при малых Дх величиной в = б Дх часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой

Дy=f '(x) Дx.

Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у=f(х) в точке х, соответствующим приращению Дх, называется произведение производной f '(х), вычисленной в точке х, на Дх.

Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом,

dу = у 'Дх или df(x) =f '(х) Дх.

Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных -- точки х и приращения Дх.

Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике -- это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Ду -- приращение функции ее дифференциалом dy.

Определение первообразной функции

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство Fґ(x)=f(x).

Например:

f(x)=3x2; F(x)=x3; т.к (x3)ґ=3x2;

f(x)=cosx; F(x)=sinx, т.к (sinx)ґ=cosx.

Теорема о существовании бесконечного множества первообразных

Теорема. Если функция f(x) имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных F(x)+С, С=const.

Например: f(x)=5x4; F(x)=x5, т.к (x5)ґ=5x4; F(x)=x5+11; F(x)=x5-22

Геометрическое изображение первообразной

С геометрической точки зрения графики первообразной можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оy.

Определение неопределенного интеграла

Определение. Неопределенным интегралом от функции f(х) называется совокупность всех первообразных вида F(x)+C и обозначается

,

где f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение.

Например: .

Определение. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Интегрирование - это действие обратное дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла

Свойства интеграла:

(Интеграл суммы равен сумме интегралов);

(Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла);

(Интеграл от сложной функции).

Таблица неопределенных интегралов

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.

Определение определенного интеграла

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел ее интегральной суммы (если он существует).

Здесь: f(x) - подинтегральная функция;

f(x)dx - подинтегральное выражение;

a, b - пределы интегрирования: «а» - нижний, «b» - верхний.

Из формулы следует, что

Это равенство выражает геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции.

Вопрос о существовании интеграла, на первый взгляд, далеко не праздный: ведь есть множество способов разбиения отрезка [a, b] на части, есть множество способов выбирать точки еi и при этом будут получаться различные суммы. А вот пределы этих разных сумм должны быть одинаковыми - площадь-то одна!

И вообще имеет место теорема о существовании определенного интеграла: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл от нее на отрезке [a, b] существует и имеет единственное значение, не зависящее ни от разбиения отрезка [a, b] на части, ни от выбора точек.

Формула Ньютона-Лейбница

Чтобы получить формулу для вычисления определенного интеграла, еще раз поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию А1АВВ1. Возьмем некоторое значение xЄ[a, b]. Ясно, что площадь криволинейной трапеции А1АММ1 (заштрихованная на чертеже) зависит «х», т.е является функцией х. Обозначим эту функцию S(х). Очевидно, что S(a)=0, S(b)=S - площадь всей данной криволинейной трапеции.

Можно доказать (мы это делать не будем), что функция S(x) является первообразной для функции f(х), т.е Sґ(x)=f(x)/

Пусть теперь F(x) тоже какая-нибудь первообразная для f(х), например

.

Но тогда по свойству первообразных S(x)=F(x)+C.

При х=а получим: S(a)=F(a)+C или 0=F(a)+C

Jnrelf C= - F(a)

Значит S(x)=F(x)-F(a). Положим здесь x=b: S(b)=F(b)-F(a) или S=F(b)-F(a), но следовательно

.

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она говорит, что для вычисления определенного интеграла надо сначала найти функцию F(x) первообразную для подинтегральной функции; затем в нее подставить пределы интегрирования (верхний и нижний) и затем найти разность F(b)-F(a). Поэтому иногда формулу Ньютона-Лейбница записывают подробнее:

ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Векторы в n-мерной системе координат. Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе - это набор из n упорядоченных чисел - координат вектора.

Базис и координаты вектора.

Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 +…+ knan, где ki - числа.

Векторы а1, а2,…,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1a1 + k2a2 +…+ knan = 0. Если же равенство возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk.

Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Матрицей А=||aij || размера nm называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А - матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m - число строк матрицы, n - число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1.

2.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

Линейные операции над матрицами.

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

А + В = В + А.

(А + В) + С = А + (В + С) .

Если О - нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

(km)A=k(mA).

k(A + B) = kA + kB.

(k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

Пример.

. Тогда

Перемножение матриц.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример.

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b - числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой - число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где , - числа, - неизвестные, n - число неизвестных, m - число уравнений.

Решением линейной системы (2) называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Метод Гаусса решения линейных систем.

Замечание. Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Способы нахождения единственного решения системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных:

Пусть (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i - номер очередного уравнения. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

.

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой - остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Если ==0, система имеет бесконечно много решений.

Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Совместность линейных систем.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат. Многочлены. Корни многочленов с действительными коэффициентами.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а,b) : z = (a,b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a,b)?(b,a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z.

Два комплексных числа z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a1 = a2, b1 = b2.

Действия над комплексными числами.

1.Суммой комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .

Свойства сложения:

а) z1 + z2 = z2 + z1;

б) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3;

в) существует комплексное число 0 = (0,0): z + 0 = z для любого комплексного числа z.

Произведением комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1a2 - b1b2 , b = a1b2 + a2b1 .

Свойства умножения:

а) z1z2 = z2z1 ;

б) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3,

в) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 .

Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а,0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1• z = z.

Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым . В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i.

Свойства мнимой единицы:

1)i•i=iІ = -1; 2) чисто мнимое число (0,b) можно представить как произведение действительного числа (b,0) и i : (b,0) = b•i.

Следовательно, любое комплексное число z = (a,b) можно представить в виде: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib.

3.Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a,b) называется разностью комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ), если a = a1 - a2 , b = b1 - b2.

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 (z2 ? 0), если z1 = z•z2. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a2 a - b2 b = a1 , b2 a + a2 b = b1.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).

Запись вида

z = с (cos ц + isin ц)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b: . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2р.

Частным случаем операции умножения является возведение в степень:

формула Муавра.

Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:

Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексное число называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения :

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, Используя эту формулу, можно получить из еще один вид комплексного числа: который называется показательной формой записи комплексного числа.

4. Задание № 1

В задачах 1-10 ответить письменно на теоретические вопросы.

Определение предела функции. Правила раскрытия неопределенностей типа .

Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции. Физический смысл производной функции.

Определение дифференциала функции. Определение дифференцирования. Правила дифференцирования. Определение дифференцирования. Формулы дифференцирования.

Определение первообразной функции. Теорема о существовании бесконечного множества первообразных. Геометрическое изображение первообразных.

Определение неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера и методом Гаусса.

Определение комплексных чисел, тригонометрическая и алгебраическая форма записи комплексных чисел

5. Задание № 2

В задачах 11-20 вычислить пределы функции:

a) (2x2-3x+4);

б) ;

в) ;

a) (3x3+x2+8x+10);

б) ;

в) ;

a) (x3-x2+1);

б) ;

в) ;

a) (2x2-8x+4);

б) ;

в) ;

a) (2x2-4x+5);

б) ;

в) ;

a) (-3x2+4x-8);

б) ;

в) ;

a) (4x4-5x2+4);

б) ;

в) ;

a) (4x3-2x-1);

б) ;

в) ;

a) (2x2+4x);

б) ;

в) ;

a) (x3-x2+1);

б) ;

в) .

Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

1) (4x-x2+8).

В этом примере необходимо провести непосредственную подстановку.

(4x-x2+8)=4·3-32+8=12-9+8=11

2) =.

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности типа . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2).

Числитель: 2х2+х-10=2(х-2)(х+)

2х2+х-10=0

D=1-4·2(-10)=1+80=81

x1=

x2=

Используемые формулы:

расположение квадратного трехчлена на множители ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где х1, х2 корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

D=b2-4ac

x1=; x2=

Знаменатель: 5х-10=5(х-2)

===

3) =

В этом примере получается неопределенность вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и в знаменателе дроби старшей степени переменной:

=

6. Задание № 3

В задачах 31-40 исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

Найти область определения функции;

Найти производную функции;

Найти точки экстремума;

Определить промежутки монотонности функции;

Найти точки перегиба функции;

Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;

Построить эскиз графика.

у=2х3-9х2+12х-5

у=х3-6х2+9х+1

у=х3-3х2-9х+10

у=х3+3х2-9х-10

у=х3+6х2+9х+2

у=2х3-3х2-12х+5

у=2х3+3х2-12х-8

у=2х3+9х2+12х+7

у=2х3-15х2+36х-32

у=2х3-15х2+24х+4

Решение типового примера

у=х3+9х2+15х-9

Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

Найдем производную функции

yґ=3x2+18x+15

Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x2+18x+15=0, :/3

х2+6х+5=0

D=36-4·5=16; x1=; x2=

Значит функция имеет две критические точки х1=-1, х2=-5.

Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы

Определим знак производной на каждом интервале:

yґ(0)=3·02+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+) производная функции положительная, значение функции возрастает.

yґ(-2)=3·(-2)2+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

yґ(-6)=3·(-6)2+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (-;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х1=-5 - точка максимума (max), х2=-1 - точка минимума (min).

Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

yґґ=6х+18

6х+18=0

6х=-18

х=-3 - критическая точка.

Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (-;-3) и (-3;+ )

Определим знак второй производной на каждом интервале:

yґґ(0)=6·0+18=18>0;

yґґ=6·(-4)+18=-6<0.

На промежутке (-3;+ ) - функция выпуклая; а на промежутке (-;-3) - функция вогнутая, значит х=-3 - точка перегиба.

Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба

ymax=y(-5)=((-5)3+9(-5)2+15(-5)-9)=16

ymin=y(-1)=((-1)3+9(-1)2+15(-1)-9)=-16

yперегиба=y(-3)=((-3)3+9(-3)2+15(-3)-9)=0

Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

7. Задание № 4

В задачах 41-50 вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

а) ;

б) .

Решение типового примера

Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

а)

Проверка дифференцированием:

б)

Применим подстановку

Проверка дифференцированием:

Используемые формулы:

8. Задание № 5

В задачах 51-60 вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

y=x2, y=49.

y=x3, y=8.

y=x2+1, x= - 2, x= 2.

y=x2, y=64.

y=x+2, x=2, x=4.

y=x3+1, y=9.

y=x2+1, y=26.

y=2x, x=1, x=2.

y=x3+1, y=28.

y=x2+2, y=27.

Решение типового примера

Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий

; ; ;

Площадь фигуры

Ответ: площадь фигуры составляет

Используемые формулы: Ньютона-Лейбница



Рекомендуемая литература

1. Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. - 439с.

2. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп., - Высш. шк., 1972. - 480 с.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1998. - 464с. - (Серия “Высшее образование”).

Дополнительная

5. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - 4-е изд., испр. - М. : Наука, 1981. - 159с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов. - М. : Наука, 1978. Т.1- 453с., Т.2 - 575с..

7. Мордкович А.Г., Смышляев В.К..Алгебра и начало анализа. М.: Просвещение, 1987

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М. Наука 1968

9. Виленкин И.В. Гробер В.М. Высшая математика Ростов-на-Дону “Феникс” 2002

10. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов М. ИНФРА - М 2003

11. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М. АЙРИС ПРЕСС 2004

12. Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.

Размещено на Allbest.ru

...