Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Школьный курс геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

(АВ) прямая АВ

[АВ) - луч с нач. А

[АВ] - отрезок

|АВ| - расстояние между А и В

- принадл.

- любой

- существование

! - единственность

- следует

- тогда и только тогда

- множество, состоящее из элементов a, b, c

- и

- или

2. Курс алгебры школьной и вузовской

2.1 Направленные отрезки. Векторы

вектор скалярный компланарность коллинеарность

Определение I: [АВ] называется направленным, если указано какая из точек А и В служит началом отрезка, а какая концом.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение II: и будем называть соноправленными (противоположно-направленными), если соноправленные (противоположно-направленные) лучи [АВ) и [CD)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение III: Длиной направленного отрезка АВ назовем расстояние между А и В.

Определение IV: Пары совпавших точек называются нулевые направленные отрезки. Удобно считать, что любой соноправленный отрезок можно считать любым нулевым отрезком.

Определение V: Вектор - это множество всех направленных отрезков, имеющих равные длины и одинаковое направление.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение VI: Вектор вектору когда

(прот.)

Определение VII: Все нулевые направленные отрезки изображают один и тот же вектор (нуль вектор )

Из определения VI следует, что любому вектору.

Определение VIII: Длиной вектора АВ называется длина направленного отрезка.

Определение IX: Два вектора называется коллинеарными, если они соноправлены или противоположно направленными.

Определение Х: Три вектора называются коллинеарными, если их можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости.

ЛЕММА 1 (о направленных отрезках)

Два направленных отрезка и изображают один и тот же вектор когда отрезки и имеют общую середину.

() Дано: и

Доказать: и общая середина

Размещено на http://www.allbest.ru/

ABCD - параллелограмм. AD и ВС - диагонали.

Свойство диагонали: пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка О середина ВС.

Так как АО=OD О - середина AD.

(достаточность)

() Дано: и общая середина 0

Доказать: и

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство: если в чет. диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то ABCD - параллелограмм.

1) 2) т.к. 0 - общая середина

(из чертежа)

ЛЕММА 2: (о равных векторах)

Если , то

Доказательство: Рассмотрим направленные отрезки и (по условию они изобр. 1 вектор)

К этим отрезкам применяем лемму 1, значит [AD] и [BC], для этих двух направлений отрезков имеем и - общую середину лемма 1, то и изображают 1 вектор, т.е. .

(достаточность)

Для любых точек А и В существует единственный вектор , такой, что вектор

(«аксиома» соединения)

Для любой точки А и любого вектора существует единственная точка В, такая, что

(«аксиома» приложения)

Доказательство : изобр. . т. А - произв. Т. простр. т. О - середина отрезка AD. т. О соед. с т. С.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим т. В так, что [ОС]=[ОВ]

Рассмотрим по лемме 1. Направленный отрезок и изображают один вектор, т.е. . Единственная т. В следует из построения.

2.2 Сложение и вычитание векторов

Дано:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Суммой двух векторов будем называть вектор, который получается следующим образом: к произведению т. пространства А приложим , т.е. изобразим его направленный отрезок , к точке В приложим вектор , т.е. изобразим его , тогда направленный отрезок изобр. сумму .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для любых трех точек А, В и С выполнено равенство:

назовем это равенство «аксиомой» треугольника.

Законы сложения

I. Сумма векторов для любых векторов и - это переместительный закон или коммутативный.

II. (сочетательный или ассоциативный).

III. Существует , такой, что (закон существования нуля).

IV. Для любого вектора существует вектор , такой, что (закон существования).

Доказательство:

I. Вектор приложим к некоторой точке А пространства. , а вектор приложим как к т. А, так и к т. В.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применим свойство :

II. Доказательство:

Вектор принадлежит к некоторой точке А, к В, к С.

Размещено на http://www.allbest.ru/

III. Доказательство:

Изобразим направленным отрезком и рассмотрим тройку точек А, В, В.

Размещено на http://www.allbest.ru/

IV.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следствие о вычитании

Уравнение всегда имеет единственное решение; оно называется разностью векторов и

Доказательства к обеим частям прибавим вектор, противоположный вектору .

Воспользуемся I и II

IV

III

Докажем единственность.

Допустим, что существуют и , такие , что

(приб. )

Отсюда следует:

Приложим к т. О. - правило треугольника для разности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.3. Умножение вектора на число

Произведением вектора на называется со следующими свойствами:

1)

2) , если

, если

Отсюда следует, что либо , либо .

Критерии коллинеарности двух векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из этих векторов можно выразить через другой (т.е. ). Это условие равносильно следующему при не равных нулю одновременно.

Доказательство:

Пусть . Рассмотрим случай, когда один из этих векторов не нулевой.

А) Пусть

,

Б) Пусть:

Доказательство аналогично.

очевидно

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ

V.

VI.

VII.

VIII. (распределительный закон) дистрибутивность.

V очевиден

VI и VIII также очевидны, если хотя бы из чисел

Доказательство: Для случая или не нулевые векторы



VI Обозн.

а)

б)

VII а) одного т того же знака

Размещено на http://www.allbest.ru/



б) найдется 2 с одинаковым знаком.

Пусть это будут числа - одинаковый знак. . Для чисел с одинаковым знаком равенство доказано, можно записать:

VII

VIII а)

б)

Приложим к некоторой т. О пространства, приложим к т. А, к т. О приложим вектор

Размещено на http://www.allbest.ru/

Докажем, что

Рассмотрим подобен (2 признак подобия)

Следствие:

Определение: линейно выражается через

2.4 Базисы и координаты

Определение: Базисом на прямой называется всякий нулевой вектор этой прямой. Прямая с базисом называется ориентированной.

Теорема 1: Всякий вектор прямой однозначно представим в виде

Доказательство: берется на прямой и на прямой . Т.к.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть

Определение: Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Плоскость с заданным на ней базисом называется ориентированной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорема 2: Всякий вектор на плоскости однозначно разлагается по базису на ней:

Доказательство: Приложим три вектора к точке О.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Через точку А проведем прямую, параллельную



Докажем единственность:

Например, (противоречит условию)

Следовательно,

Определение: Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка неколлинеарных векторов. Пространство вместе с базисом называется ориентированным ()

Теорема 3: Всякий вектор в пространстве однозначно разлагается по базису

действительные числа.

Доказательство: Приложим четыре вектора к некоторой точке О пространства.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Через точку А проведем прямую, параллельную

По теореме 2

Докажем единственность.

Пусть существует:

а) , компланарные, что противоречит условию

б) , тогда слагаемые образуют треугольник (плоскую фигуру)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно, все 3 коэффициента равны 0, т.е.

Следствие I: КРИТЕРИЙ КОМПЛАНАРНОСТИ

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов можно выразить через два других. (Например, ) тому, что выполняется следующее равенство , где не все коэффициенты

Доказательство: Необходимость условия

-компланарны тогда используется критерий компланарности

тогда базис на плоскости

Достаточность Пусть , если хотя бы один из векторов , то они будут компланарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следствие II: Для любых четырех векторов найдутся числа , не все равные нулю, одновременно такие, что

Доказательство: а) - компланарны

,

где не обр. одновременно

б) не компланарны ()- базис

Определение: Координатами векторов в данном базисе называются коэффициенты разложения по базису базис

Свойство координат

1. Вектор и строка его координат определяют друг друга однозначно в заданном базисе.

2. и только у него все три координаты равны нулю.

3. При сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании - вычитаются

4. При умножении вектора на число, каждая координата умножается на это число.

Пусть в данном базисе

И

Вместо подставим разложение по базисным векторам

В силу разложения векторов по базису коэффициенты должны совпадать

(доказательство 3 и 4)

5. Два вектора компланарны , когда их координаты пропорциональны.

Пусть ,согласно критерию компланарности один можно выразить через другой. (если )

2.5 Линейная зависимость (обобщение)

Определение: Векторным пространством над полем R называется множество V объектов произвольной природы (именуемых векторами). Если между ними введены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющее законам I-VIII

Примеры: 1 - векторы на прямой, на плоскости в трехмерном пространстве образует геометрические векторные пространства.

2 -

Введем на этом множестве:

Определяем

Докажем, что I-VIII выполнен (устно)

Множество - векторное пространство, а элементы - его векторы.

Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю, то выполняется равенство

Определение: Система векторов называется линейно независимой, если найдутся такие числа , что все коэффициенты

Примеры: 1) (линейно-зависимые) система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.



2)

3)

4)

Определение: Базисом в произвольном векторном пространстве V называется упорядоченная система вектора, удовлетворяющая следующим свойствам:

1 - векторы этой системы линейно не зависимы;

2 - любой вектор пространства можно разложить по векторам базиса.

Если в векторном пространстве V базис существует, то число векторов этого базиса называется размерностью векторного пространства.

(обозначается)

Векторы на прямой, а плоскости и в пространстве образуют одномерное, двухмерное, трехмерное векторное пространство.

2.6 Скалярное произведение

П.1 Проекция вектора на вектор

Размещено на http://www.allbest.ru/

Угол, образованный векторами есть угол между векторами .



Проекция на нулевой называется число, которое определяется следующим образом:

Размещено на http://www.allbest.ru/

СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ:

Доказательство:\

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение: Базис называется ортонормированным, если он состоит из единичных попарно перпендикулярных векторов.

для ортонормированного базиса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Координаты вектора в ортонормированном базисе - это его проекции на базисные орты; если нуликовое ортвектора , то , где угол между и

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство свойств :

Пусть является орт. , дополним вектор до ортонормированного базиса , тогда по свойству проекции векторов будут совпадать с первой координатой в этом базисе. Воспользуемся свойством координат.

П. 2 Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением вектора на называется число, равное произведению длин векторов на угла между ними.



Теорема (законы скалярного умножения)

IX (переместительный закон)

X (вынесение скалярного множества)

XI (распределительный закон)

XII

Доказательство: IX и XII следуют из определения свойств.

X-Если либо - нулевые, то эти законы очевидны. Рассмотрим случаи, когда эти векторы не нулевые.

по свойству проекции.

Применяем свойство , получаем:

XI -

Следствие: для , то

Доказательство:

положим

согласно XII закону

П. 3 Скалярное произведение в координатах

-базис

Приложения скалярного произведения

1 - нахождение длины векторы

2 - нахождение угла между ненулевыми векторами

3 - доказательство перпендикулярности двух векторов



4 - нахождение проекции

5 - работа силы на прямолинейном участке равна модуль на модуль и на косинус угла между ними.

2.7 Векторное умножение векторов

П 1 Правые и левые тройки и пары векторов.

- базис

(определитель второго порядка)

Определение: Если , то - правая тройка векторов

Если , то - левая тройка векторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

П 2 Векторное произведение

Определение: Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , что выполняются следующие условия:

1)

2)

3) Если , то - правая

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свойства:



Законы векторного умножения

1. Антипереместительный

2.

3. Распределительный:

4. О двойном векторном произведении

Доказательство законов:

1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Свойство очевидно, если

Пусть

Размещено на http://www.allbest.ru/

Т.к. х - люб., то по лемме следует, что

1) Направленные отрезки. Векторы. Лемма 1 о направленных отрезках.

2) Определение вектора. Лемма 2 о равных векторах. Свойства W1 и W2.

3) Определение суммы векторов. (Независимость от выбора точки). Свойство W3.

4) Законы сложения векторов (доказательство).

5) Следствие о вычитании. Правило треугольника для разности.

6) Умножение вектора на число. Критерии коллинеарности двух векторов.

7, 8, 9) Законы умножения (с доказательством)

10) Базисы на прямой и плоскости теоремы 1 и 2.

11) Базис в пространстве. Теорема 3.

12) Критерии компланарности трех векторов.

13) Координаты вектора, свойства координат.

14) Линейная зависимость. Доказать утверждение: любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

15) Проекция вектора на вектор, свойства.

16) Скалярное умножение векторов. Свойства.

17) Законы скалярного умножения. Вычисление в координатах.

18) правые и левые тройки.

19) Векторное умножение векторов, свойства.

20) Законы векторного умножения (доказать первый и второй законы)

21) Смешанное произведение, свойство.

22) Распределительный закон векторного умножения.

23) Законы смешанного произведения.

24-25) Вычисление векторного произведения и смешанного в координатах.

26) Доказательство тождества «бас - саб».

3. Смешанное произведение

Определение: Смешанным произведением трех векторов называется число и равное

Теорема (о свойствах смешанного произведения)

1. - компланарны

2. - правая

3. - левая

4. Если , то , где - объем параллелепипеда, построенного на векторах , приложенных к общему началу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство распределительного закона векторного умножения (3)



Произвольный вектор

Законы смешанного произведения:

1. (циклическая перестановка)

2.

3.

Доказательство:

1)

2)

3)

Вычисление векторного и смешанного произведения в координатах.

-произвольный базис

(воспользуемся знаками векторного умножения)

Размещено на http://www.allbest.ru/

			-
	-
		-

Пример:

Ортонормированный базис:



О.б.

Приложения векторного и смешанного произведения

1. Вычисление площадей параллелограммов и треугольников.

2. Синус угла между двумя ненулевыми векторами

3. Коллинеарность двух векторов

4. параллелепипеда и тетраэдра



5. Доказательство компланарности трех векторов:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru

...