Диофантовые уравнения
Диофант и история диофантовых уравнений. Сравнения первой степени с одним неизвестным и методы их решения. Методы решения линейных сравнений. Нахождение решений для некоторых частных случаев линейного диофантового уравнения, основные понятия и свойства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.10.2013 |
| Размер файла | 439,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Доказательство.
Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на . Получаем
, .
Докажем второе соотношение.
.
3) Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=.
Доказательство.
, , так что и положительны. Соотношение , () показывает, что и все следующие знаменатели , , …, положительны. При , поскольку тогда , из , () получаем .
4) Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби - убывающую последовательность: ;
. Две подходящие дроби и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.
5) Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.
Доказательство.
По уже доказанному выше свойству имеем: . Если k - четное, то
Если k - нечетное, то Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной.
6) Разность двух соседних подходящих дробей равна:
, то .
Отсюда расстояние между двумя соседними подходящими дробями
[4].
III. Решение сравнений первой степени с помощью цепных дробей.
1. Вывод формулы решения.
Пусть дано сравнение ах ? b (mod m), где (а, m) =1, а > 0 (1). Разложим в непрерывную дробь и обозначим ее подходящие дроби через , где k = 1, 2,...,n . Тогда согласно свойству несократимости подходящих дробей имеем Рn=m, Qn = a. Поэтому вместо соотношения Pn · Qn -1 - Pn -1 · Qn = (-1)n имеем m · Qn -1 - Pn -1 · a = (-1)n . Отсюда a · Pn -1 = - (-1)n + m · Qn -1 или (так как Qn-1 целое число) a · Pn -1 ? (-1)n - 1(mod m). Умножая обе части этого сравнения на (-1)n-1b, получим a((-1)n - 1 Pn -1 · b) ? b(mod m). Сравнивая это сравнение с исходным (1), приходим к выводу, что оно имеет решение x ? (-1)n - 1Pn -1·b (mod m) (2), где Pn -1 -- числитель предпоследней подходящей дроби в разложении . Так как (1) имеет только одно решение, то (2) совпадает с единственным решением [11].
Пример. Решить сравнение 285 x ? 177 (mod 924).
Решение.
285 x ? 177 (mod 924), находим (285, 924)=3, 177 = 59 · 3; далее, после деления обеих частей сравнения и модуля на 3, получаем 95x ? 59 (mod 308). По схеме определяем теперь неполные частные разложения 308/95 в цепную дробь, а затем Pn -1 и (для проверки правильности вычисления) Pn . Имеем
308|95 |23 |3 |2 |1
qk 3 4 7 1 2
Pk 1 3 13 94 107 308
Итак, Рn-1 = Р4 =107, следовательно, х ?(-1)4·107 ·59 (mod 308), x ? 153 (mod 308). Исходное сравнение имеет решения:
x ? 153, 461, 769 (mod 924).
Ответ. x ? 153, 461, 769 (mod 924).
3. Диофантовы уравнения 1-й степени и методы их решения
Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени или линейным диофантовым уравнением с неизвестными называется уравнение вида ,
где , , .
Условимся далее сокращать фразу « линейное диофантово уравнение » следующим образом: «ЛДУ».
Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная последовательность целых чисел , такая, что .
3.1 О числе решений ЛДУ
Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах диофантово уравнение имеет решение в целых числах.
Доказательство.
Обозначим через множество тех положительных чисел , для которых уравнение имеет решение в целых числах. , очевидно, не пусто, так как при заданных можно подобрать целые значения , такие, чтобы было положительным числом.
В множестве существует наименьшее число (- подмножество натуральных чисел), которое мы обозначим через Обозначим через - целые числа, такие, что .
Пусть , где ; тогда
. Мы подобрали целые значения: , ,…, , такие, что , но , а - наименьшее положительное число в , т. е. не может быть положительным, , , . Аналогично получаем: ,…,.
Мы видим, что - общий делитель чисел , следовательно, поскольку , , , , то уравнение разрешимо в целых числах [11].
Теорема 2. Пусть - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда . Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.
Докажем последовательно все три утверждения теоремы.
1) Пусть . Для уравнения , где , существуют целые числа: удовлетворяющие ему, т.е. . Тогда т. е. - решение уравнения.
2) Пусть теперь не делит . Тогда левая часть уравнения при любых целых делится на , а правая на не делится, так что равенство при целых значениях невозможно.
3) Если - упорядоченная последовательность чисел, удовлетворяющих уравнению, то, например, при также удовлетворяют этому уравнению и, таким образом, либо совсем не будет решений, либо их будет бесконечное множество.
Если хоть одна пара коэффициентов взаимно простая, то , и уравнение имеет бесчисленное множество решений.
3.2 Нахождение решений произвольного ЛДУ
Перейдем теперь к решению ЛДУ с неизвестными, т. е. уравнений вида , где все коэффициенты и неизвестные - целые числа и хотя бы одно . Для существования решения, по теореме 2, необходимо, чтобы Полагая: , перейдем к равносильному уравнению (*), где . Пусть, - два ненулевых числа, таких, что Для определенности предположим, что, Разделив с остатком на , получим представление . Заменив на в уравнении (*), приведем его к виду .
Перепишем это уравнение в виде (**), где
, .
Очевидно, что решения уравнения (*) и (**) связаны между собой взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение (**), несложно найти все решения уравнения (*). С другой стороны отметим, что , отметим также, что
Следовательно, за конечное число шагов уравнение (*) приведется к виду (***), где числа (i = 1,...,n), которые не равны нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения следует, что числа могут принимать только значения 0,±1, причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . Тогда уравнение (***) имеет следующее решение:
где t2, t3, ..., tn - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая проведенные замены, получается и решение уравнения (*). Отметим, что при получении решения уравнения (***) использовался лишь факт, что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равным ±1.
3.3 Нахождение решений для некоторых частных случаев ЛДУ
А) ЛДУ c одним неизвестным.
Рассмотрим линейное уравнение с одним неизвестным, т.е. уравнение вида . Ясно, что решением данного уравнения будет , и решение будет целым числом только в том случае, когда .
Б) ЛДУ с двумя неизвестными.
Рассмотрим теперь линейное уравнение с двумя неизвестными
, .
Покажем несколько способов нахождения решения.
Способ 1.
Пусть . Рассмотрим два случая:
а) не делится на . В этом случае решений нет по теореме 2.
б) делится на , разделим на обе части уравнения: ; .
Таким образом получили новое ЛДУ, с тем же множеством решений, но уже со взаимно простыми коэффициентами. Поэтому далее будем рассматривать именно такие уравнения.
Рассмотрим , . , перейдем к сравнению, , т.к. , то сравнение имеет единственное решение или . Подставляя х в уравнение, получим , ; , причем .
Обозначим . Тогда общее решение можно найти по формулам: , где .
Пример. Решить уравнение .
Решение.
Найдем решение сравнения , . Применяя метод преобразования коэффициентов, получаем: ; , т.е. , . ;
Получили общее решение: , где .
Ответ. Общее решение находится по формулам , где .
Способ 2.
Рассмотрим еще один способ нахождения решения ЛДУ с двумя неизвестными, а для этого рассмотрим уравнение вида . Уравнения такого вида называются линейными однородными диофантовыми уравнениями (ЛОДУ). Выражая неизвестное через неизвестное , приходим к . Так как x должен быть целым числом, то, где - произвольное целое число. Значит. Решениями ЛОДУ являются пары вида , где . Множество всех таких пар называется общим решением ЛОДУ, любая же конкретная пара из этого множества называется частным решением.
Рассмотрим теперь уравнение , . Пусть - его частное решение, а множество - общее решение соответствующего ЛОДУ. Докажем предложение.
Общее решение ЛДУ , , задается формулами
, где .
Доказательство.
То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения имеет именно такой вид, какой указан в формулировке предложения. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда , но ведь и . Вычтем из первого равенства второе и получим:
- однородное уравнение. Его общее решение: , откуда получаем:
, . Доказательство завершено.
Встает вопрос о нахождении частного решения ЛДУ.
По теореме о линейном разложении НОД, это означает, что найдутся такие и из множества целых чисел, что , причем эти и легко находить с помощью алгоритма Евклида. Умножая теперь равенство на , получим: , т.е., .
Таким образом, для нахождения общего решения находим общее решение ЛОДУ, частное решение ЛДУ и их складываем [17].
Замечание. Особенно этот способ удобен, когда или . Если, например, , , тогда , очевидно, будет частным решением ЛДУ. Можно сразу выписывать общее решение.
Пример. Решить уравнение: .
Решение.
, найдем частное решение. Используем алгоритм Евклида. ; Получаем линейное разложение НОД:
, т.е .
,
Получили общее решение: , где .
Как видим, получили решение, не совпадающее с решением, найденным первым способом.
Обозначим , получим , , т.е эти решения равносильны [7].
Ответ. Общее решение вычисляется по формулам , , .
Способ 3. Основывается на теореме.
Теорема. Если числа а и b -- целые, то множество значений функции f(x; y) = ax + by от двух целочисленных аргументов х и у совпадает с множеством чисел, кратных d = НОД(а; b), то есть с множеством {..., -2d, -d, 0, d, 2d, ...}.
Доказательство.
Так как d = НОД(а; b), числа а и b можно записать в виде: а = da', b = db', причем числа а' и b' -- взаимно простые. Тогда f(x; у) = d *(а'х + b'у). (т.к. любое целое число n можно представить в виде а'х + b'у). Получим множество чисел, которые могут быть записаны в виде ах + by, есть {..., -2d, -d, 0, d, 2d, ...}.
Приведенное доказательство теоремы дает удобный метод нахождения частного (то есть конкретного) решения при решении конкретных уравнений вида ах + by = с (если а и b взаимно простые целые числа):
1) нужно образовать две последовательности чисел: {..., -2а, -а, 0, а, 2а, ...} и {..., -2b, -b, 0, b, 2b, ...} (обычно достаточно выписать по несколько членов в обе стороны), и расположить их друг под другом так, чтобы положительные члены одной стояли под отрицательными членами другой;
2) затем находить всевозможные суммы пар членов этих последовательностей, пока не найдем пару, дающую в сумме с.
Рассмотрим, например, уравнение 2х - 5у =1. Выпишем ряды чисел, кратных коэффициентам а = 2 и b = -5:
Из этой таблицы ясно, что второе число из первой строки (то есть -4), которое соответствует х = -2, и третье число из второй строки (то есть 5), которое соответствует у = -1, и дают в сумме 1. Таким образом, уравнение 2х - 5у = 1 имеет частное решение х0 = -2, у0 = -1. Конечно, эту пару можно найти и проще, просто подставляя в исходное уравнение в уме небольшие числа с тем, чтобы получить верное равенство. Для несложных уравнений обычно поступают именно так.
В ряде случаев приходится выписывать довольно много (несколько десятков) членов последовательностей ах и by. Тогда, конечно, описанный прием не очень удобен, так как требует больших затрат времени. В этой ситуации обычно рекомендуют использовать алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя коэффициентов а и b .
На примере следующей задачи продемонстрируем, как с помощью частного решения неоднородного ЛДУ уравнения ах + by = с и общего решения соответствующего однородного ЛДУ ах + by = 0 можно найти общее решение неоднородного ЛДУ.
Пример. Остаток от деления некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток от деления n на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления n на 30?
Решение.
По теореме о делении с остатком в кольце Z целых чисел, существуют неотрицательные целые х, у, такие, что n = 6х + 4 и n = 15у + 7. Исключая из этих равенств число n, для х и у получим уравнение 6х - 15у = 3 или, после деления на 3, 2х - 5у = 1.
Чтобы решить это уравнение, прежде всего, найдем какое-нибудь частное решение в целых (не обязательно неотрицательных) числах. В качестве такого частного решения можно взять, например, х0 = -2, y0 = -1, так что верно равенство 2* (-2)-5* (-1)=1. Вычитая из уравнения данное равенство, получим: 2(х + 2) = 5(y + 1). Общее решение этого уравнения в целых числах имеет вид: х + 2 = 5k, у + 1 = 2k, где k -- произвольное целое число. Чтобы числа х и у были неотрицательными, параметр k должен быть натуральным числом. Теперь для числа n имеем: n = 6х + 4 = 6(5k - 2) + 4 = 30k - 8 = 30(k - 1) + 22. Поскольку целое число (k - 1) неотрицательно, это равенство означает, что остаток от деления n на 30 равен 22.
Ответ. Остаток от деления n на 30 равен 22.
Практическая часть
№1. Решить уравнение: .
Решение.
Уравнение - неоднородное линейное диофантово уравнение. . Уравнение имеет целые решения. Найдем их, сведя уравнение к сравнению . Решение сравнения методом преобразования коэффициентов: , , . Т.к. , то по свойству сравнений, ; , , . , , , . Общее решение исходного уравнения имеет вид: , где .
Ответ. Общее решение: , где .
№2. Решить диофантово уравнение при помощи линейного представления НОД: .
Решение.
НОД(a, b) = 1, то найдутся такие x, y, что . Тогда выполнится: ax • c + by • c = c. НОД(47, 111) = 1. Найдем x, y: , , , , .
Линейное представление: . Тогда выполняется: .
; , . ,
Ответ: Общее решение: , , , или , , .
№3. С помощью цепных дробей найти все целые решения уравнений: а) ; б) .
Решение.
а) (2, 5) = 1, следовательно, уравнение имеет решение в целых числах. Разложим в цепную дробь получим: =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ; . На основании свойства подходящих дробей получим или . Умножив обе части равенства на (-7) получаем: , то есть , - частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам или , .
б) (23, 49) = 1, 531 следовательно, уравнение имеет решение в целых числах. Разложим в цепную дробь получим: =(0, 2, 7, 1, 2). Составим все подходящие дроби. ; ; ; ; . На основании свойства подходящих дробей получим или . Умножив обе части равенства на (-53) получаем: , то есть , - частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам или , .
Ответ. а) , ; б) , .
№4. Решить в целых числах уравнение .
Решение.
, . Данное уравнение равносильно уравнению , , следовательно, неоднородное линейное диофантово уравнение имеет целые решения. Разложим в цепную дробь: (1; 1, 2, 1, 2, 1, 2). Составим все подходящие дроби: ; ; ; ; ; ; . На основании свойства подходящих дробей получаем: или . Умножив обе части равенства на 3, находим: , т.е. , - частное решение данного уравнения. Все решения могут быть найдены по формулам: или , .
Ответ. Общее решение: , .
№5. Решить в целых числах уравнение: .
Решение.
Выразим, исходя из сравнения, х и у, как линейные функции целочисленного параметра t: . Полагаем , . , . Пусть , . Тогда , , а , .
Проверка: - частное решение диофантова уравнения: , - истинное равенство.
Ответ. Общее решение: , .
№6. Задача.
Для настила пола шириной 3м имеются доски шириной в 11см и 13см. Сколько нужно досок того и другого размера?
Решение.
Пусть - количество досок шириной в 11см, - количество досок шириной в 13см. Составим уравнение: 11x + 13y = 300 и решим его.
11x + 13y = 300, 11x ? 300(mod 13), (11, 13) = 1, x ? 6(mod 13), x0 = 6
y0 = (300-11·6) / 13, y 0 =18; где .
Это общее решение диофантова уравнения. следовательно, и т.к. , то возможны только два случая и , т.е. (19; 7) или (6; 18).
Ответ. , , , .
№7. Задача.
Требуется найти два натуральных числа, каждое из которых не превышает 200, причем таких, что разность между ними равна 11, уменьшаемое кратно 9, а вычитаемое кратно 17.
Решение.
Пусть , , . Составим уравнение: (1); (2), , . Т.к. , то - решение сравнения (2).
, ; , , . Итак, общее решение уравнения (1): , .
, ,
, ,
, ,
, ,
, , , .
Ответ. (45, 34); (198, 187).
№8. Задача.
В населенный пункт, с которым установлено лишь авиационное сообщение, требуется доставить 150 контейнеров груза. В распоряжении отправителей имеются транспортные самолеты грузоподъемностью соответственно в 8 и 13 контейнеров. Сколько понадобится самолетов того и другого типа для того, чтобы перевезти указанный груз одним рейсом? Грузоподъемность каждого самолета должна быть использована полностью.
Решение.
Пусть х, у - количество транспортных самолетов грузоподъемностью соответственно 8 и 13 контейнеров. По условию, в населенный пункт требуется доставить 150 контейнеров груза. Тогда (1). Составлено диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными. Решим его, перейдя к сравнению (2). Т.к. (4, 13) =1, то , , . Т.к. (4, 13) =1, то или , , .
Ответ. Понадобится 9 и 6 самолетов одного и другого типов, чтобы доставить 150 контейнеров груза.
№9. Задача.
Транспортной организации, имеющей грузовые автомашины грузоподъемностью 3,5т. и 4,5т., предложено перевезти 53т. груза. Определить, сколько грузовых автомашин того и другого типа должен выделить диспетчер транспортной организации для перевозки указанного груза одним рейсом при условии полного использования грузоподъемности всех выделенных автомашин.
Решение.
Пусть -- число выделяемых машин грузоподъемностью 3,5т., -- число выделяемых машин грузоподъемностью 4,5т. Для решения задачи нужно решить уравнение т.е. (1) в целых числах с учетом того, что , . Уравнение (1) равносильно уравнению . =(0, 1, 3, 2). Посчитаем подходящие дроби:
|
N |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
3 |
2 |
||
|
0 |
1 |
3 |
7 |
||
|
1 |
1 |
4 |
9 |
По второму свойству подходящих дробей имеем: , , .
, . Решениями будут: , , .
Теперь из всех решений выберем неотрицательные: , . Учитывая, что получим: , . При : , , а при : , .
Ответ. Автомашины можно выделить двумя способами:
1) 10 автомашин грузоподъемностью 3,5т. и 4 автомашины грузоподъемностью 4,5т.
2) 1 автомашину грузоподъемностью 3,5т. и 11 автомашины грузоподъемностью 4,5т.
№10. Решить в целых числах уравнение: .
Решение.
. Разделив с остатком (-6) на 4, получим . Представим исходное уравнение в виде . После замены это уравнение запишется следующим образом: . Учитывая, что , преобразуем последнее уравнение: . Положив , получим .
Это уравнение имеет следующее решение: - произвольные целые числа, . Следовательно, , . Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид где - произвольные целые числа.
Ответ. Решение уравнения: .
Заключение
В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, его последователях, а также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли.
Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. И в настоящее время диофантов анализ привлекает к себе внимание исследователей - математиков, так как именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. В данной работе:
· изложена историческая справка о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений;
· рассмотрены числовые сравнения и их свойства, а также линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения;
· изучены диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя неизвестными;
· разобраны методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными;
· изложены методы решения диофантовых уравнений первой степени с n неизвестными, n ? 2;
· выполнены упражнения, относящиеся к теме исследования.
Литература
1. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения». - М.: Наука, 1972.
2. Башмакова И.Г. «История диофантова анализа от Диофанта до Ферма». - - М.: Наука, 1974.
3. Банникова Т.М., Баранова Н.А. «Основы теории чисел»(учебно - методическое пособие). - Ижевск, 2009.
4. Бухштаб А.А. «Теория чисел». - M.: Просвещение, 1966.
5. Вейль Г. «Основы теории чисел». -М., 2004.
6. Виноградов И.М. «Основы теории чисел». - М.: Наука, 1976.
7. Грибанов В.У., Титов П.И. «Сборник упражнений по теории чисел». - М.: Просвещение, 1964.
8. Диофант Александрийский «Арифметика и книга о многоугольных числах». Перевод с древнегреческого Веселовского И.Н., под редакцией Башмаковой И.Г. - М.: Наука, 1974.
9. Завало С.Т. и др. «Алгебра и теория чисел». - Киев: Высшая школа, 1980.
10. Казачек И.К., Перлатов П.Н. и др. «Алгебра и теория чисел».(уч. пособие для студентов - заочников физ-мат. факультетов пед. институтов)
11. Кудрватов А.В. «Сборник задач по теории чисел».
12. Куликов Л.Я. «Алгебра и теория чисел». - М.: Высшая школа, 1979.
13. Куликов Л.Я. «Сборник задач по теории чисел».
14. Кушнир И. «Математическая энциклопедия».
15. Ляжен Е.С., Евсеев А.Е. «Алгебра и теория чисел». -М.: Высшая школа, 1978.
16. Михелович Т.Л. «Теория чисел». - М.: Наука, 1983.
17. Розуэн М., Айерленд К. «Классическое введение в современную теорию чисел»(перевод с английского С.П.Демушкина под редакцией А.Н.Паршина). - М.: Мир, 1987.
18. Энциклопедия элементарной математики. Арифметика. - ГИТТЛ, 1951.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Диофант и история диофантовых уравнений. О числе решений линейных диофантовых уравнений (ЛДУ). Нахождение решений для некоторых частных случаев ЛДУ. ЛДУ c одной неизвестной и с двумя неизвестными. Произвольные ЛДУ.
курсовая работа [108,7 K], добавлен 13.06.2007Историческая справка о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений. Числовые сравнения и их свойства, а также линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения. Методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
курсовая работа [320,8 K], добавлен 01.07.2013Возникновение и развитие числовых сравнений и сравнений высших степеней с одним неизвестным. Методы решения сравнений высшей степени с одним неизвестным. Двучленные сравнения высшей степени. Использование критерия Эйлера. Квадратичный закон взаимности.
курсовая работа [441,2 K], добавлен 11.09.2012Сущность и содержание теории сравнений. Основные понятия и теоремы сравнения первой степени с одной переменной. Методика сравнения по простому модулю с одним и несколькими неизвестными. Системы уравнений первой степени и основные этапы их решения.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 27.06.2010Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах.
доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.
учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.
реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестным параметром (подстановка, метод сложения уравнений и графический). Выявление алгоритма действий. Поиск значения параметров, при которых выражение определяет корень уравнения.
контрольная работа [526,5 K], добавлен 17.02.2014Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Понятие волнового уравнения, описывающего различные виды колебаний. Рассмотрение явной разностной схемы "крест" для решения данной задачи. Нахождение решений на нулевом и первом слоях с помощью начальных условий. Виды и решения интегральных уравнений.
презентация [240,6 K], добавлен 18.04.2013Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011
