Разработка генератора случайных чисел работающего по закону Релея

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В последние годы основные годы основные достижения в различных областях науки и техники неразрывно связаны с процессом совершенствования ЭВМ. Сфера эксплуатации ЭВМ - бурно развивающая отрасль человеческой практики, стимулирующая развитие новых теоретических и прикладных направлений. Ресурсы современной вычислительной техники дают возможность ставить и решать математические задачи такой сложности, которые в недавнем прошлом казались нереализуемым.

Исторически первым сложился аналитический подход к исследованию систем, когда ЭВМ использовалась в качестве вычислителя по аналитическим зависимостям. Анализ характеристик процессов функционирования больших систем с помощью только аналитических методов исследования наталкивается обычно на значительные трудности, приводящие к необходимости существенного упрощения моделей либо на этапе их построения, либо в процессе работы с моделью, что может привести к получению недостоверных результатов.

Использование современных универсальных ЭВМ является мощным средством реализации имитационных моделей и исследования с их помощью характеристик процессов функционирования систем. Успех или неудача любого исследования системы S на программно реализуемой модели Мм прежде всего зависит от правильности схемы моделируемого алгоритма, совершенства программы и только косвенным путём зависит от технических характеристик ЭВМ, применяемой для моделирования.

Алгоритмические языки при моделировании систем служат вспомогательным аппаратом разработки, машинной реализации и анализа характеристик моделей. Каждый язык моделирования должен отражать определённую структуру понятий для описания широкого класса явлений. Выбрав для решения задачи моделирования процесса функционирования системы конкретный язык, исследователь получает в распоряжение тщательно разработанную систему абстракций, предоставляющих ему основу для формализации процесса функционирования исследуемой системы S. Высокий уровень проблемной ориентации языка моделирования значительно упрощает программирование моделей, а специально предусмотренные в нём возможности сбора, обработки и вывода результатов моделирования позволяет быстро и подробно анализировать возможные исходы имитационного эксперимента с моделью Мм.

Основными моментами, характеризующими качество языков моделирования, являются: удобство описания процесса функционирования системы S, удобство ввода исходных данных моделирования и варьирования структуры, алгоритмов и параметров модели, реализуемость статистического моделирования, эффективность анализа и вывода результатов моделирования, простота отладки и контроля работы моделируемой программы, доступность восприятия и использование языка.

Один из способов использования моделирования в ЭВМ является генератор случайных чисел.

Генератором случайных чисел называют алгоритм, вырабатывающий последовательность чисел, обладающих статистическим соответствием заданному закону распределения и наблюдаемой случайностью. Для имитационного моделирования требуются датчики, реализующие различные законы распределения.

Для воспроизведения последовательностей случайных чисел, имеющих неравномерное распределение вероятностей, часто используют метод обратных преобразований.

Область применения генераторов случайных чисел многообразна: в сетях, в цифровой технике и т.д.

1. Краткая теоретическая часть

Распределение Релея.

К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания, в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равен плотности).

Вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям, равна:

P((X,Y) B1) = 1 - (1.1)

Рассмотрим на плоскости xOy (рис.1.1.) случайную точку (X,Y), рассеивающуюся вокруг начала координат О по нормальному круговому закону со средним квадратическим отклонением

. Найдём закон распределения случайной величины R - расстояния от точки (X,Y) до начала координат, т.е. длины случайного вектора с составляющими X,Y.

Найдём сначала функцию распределения F(r) величины R. По определению

F(r) = P(R<r). [1]

Это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X,Y) внутрь круга радиуса r(рис.1.1.). По определению (1.1.) эта вероятность равна:

F(r) = 1 - ,

Где к = r/, т.е.

F(r) = 1 - e. (1.2)

Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях r; при отрицательных r нужно положить F(r) = 0.

Дифференцируя функцию распределения F(r) по r, найдём плотности распределения

при r>0

при r<0. (1.3.)

Закон Релея (1.3.) встречается в разных областях практики: в стрельбе, радиотехнике, электротехнике и др.

Найдём числовые характеристики величины R, распределённой по закону Релея, а именно: её моду М и математическое ожидание m. Для этого чтобы найти моду - абсциссу точки, в которой плотность вероятности максимальна, продифференцируем f(r) и приравняем производную нулю:

1-(r*r)/ (*);

*=r*r.

Корень этого уравнения и есть искомая мода М=.

Таким образом, наивероятнейшее значение расстояния R случайной точки (X,Y) от начала координат равно среднему квадратическому отклонению рассеивания. Производя замену переменной

1.2 Гистограмма

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящая из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h.

Площадь i-го частичного прямоугольники равна h*ni/h= ni - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки.

На рис.1.3. изображена гистограмма частот распределения объёма

Рис 1.3 Гистограмма частот распределения

n=100, приведённого в табл. 1.2.

Частичный интервал длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала ni	Плотность распределения
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40	4 6 16 36 24 10 4	0,8 1,2 3,2 7,2 4,8 2,0 0,8

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна Wi*h /h= Wi - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

1.3 Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

= D(X).

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии то размерность (X) совпадает с размерностью X.

Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.

Например, если X выражается в линейных метрах, то (X) будет выражаться также в линейных метрах, а D(X) в квадратных метрах. [2]

1.4 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Рассмотрим одну из характеристик непрерывных случайной величины как математическое ожидание (обратная функция).

Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определённый интеграл

M(X)= x*f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то

M(X)= x*f(x)dx

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, то есть существует интеграл |x|*f(x)dx. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -, а верхнего - к +.

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [a,b], то

D(X)= [x - M(X)]*f(x)dx;

если возможные значения принадлежат всей оси x, то

D(X)= [x - M(X)]*f(x)dx;

Среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

= D(X).

релей гистограмма квадратический

1.5 Алгоритм генерации случайных величины распределённой по закону Релея

Мы имеем плотность распределения случайной величины по закону Релея

f(x)=(x/д2) при x>0, (1.5.1)

где - среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Проинтегрируем выражение(1.5.1.), тогда

Fi(x) =0x(x/д2)*e-x

Проинтегрировав выражение (1.5.1.) мы получим функцию распределения случайной величины в виде

Fi(x) = 1-e-x (1.5.2.)

Из выражения (1.5.2.) мы можем найти обратную функцию случайной величины, в данном выражении мы выражаем xi, тогда мы получим следующее выражение

Ln(1-Fi) = -xj2/2д2,

xj2= - 22*ln(1 - Fi),

xj = v-2ln(1 - Fi).

Достоинства метода:

Точность определения;

Не требуется таблиц с исходными данными достаточно взять числа из базовой последовательности.

Недостатки метода:

Метод нельзя применить если для плотности нельзя распределить функции;

Для нормального или гаусова метода непременим.

2. Практическая часть

В результате эксперимента были получены следующие значения случайных чисел:

№	Значение	№	Значение	№	Значение	№	Значение
1	0.412969	6	0.391910	11	1.062238	16	1.236582
2	0.617146	7	0.775758	12	1.079082	17	0.415468
3	0.390362	8	0.664138	13	0.782436	18	1.563360
4	0.763157	9	1.056775	14	0.158995	19	0.658396
5	1.004608	10	1.335725	15	0.868561	20	0.257195

Для N = 1000 и n = 100 разбиения были получены следующие значения:

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число попаданий	33	89	142	211	246	307	335	339	300	304
№ интервал	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Число попаданий	310	290	254	224	200	180	155	118	111	97
№ интервал	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Число попаданий	64	40	45	36	24	13	8	11	4	6



Рис. 2 Гистограмма закона распределения

Максимальное значение величины 52.96, минимальное - 0.808, среднее - 18.5014.

Общая площадь гистограммы: 80424.00000000 условных единиц площади.

Абсолютные расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 1886.22541176 условных единиц.

Относительное расхождение: 9.44055%

При увеличении числа интервалов и чисел расхождение уменьшается. Для N = 10000 и n = 100 разбиения были получены следующие значения:

Общая площадь гистограммы: 80424.00000000 условных единиц.

Абсолютные расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 1364.74677726 условных единиц.

Относительное расхождение: 6.82441%

Заключение

Мы разработали генератор случайных чисел, работающий по закону Релея. В качестве постоянного параметра была взята величина сигма, она равна восьми минутам. Построили теоретическую зависимость плотности распределения от значения X, где X - обратная функция случайной величины. В качестве случайного числа была взята - функция распределенья, где она изменялась в пределах от нуля до единицы. На основе полученных данных была построена гистограмма для тысячи чисел, где её разбили на пятьдесят интервалов, а так же была сделана проверка гистограмм. Показали зависимость относительной погрешности от количества чисел.

Приложение А

Листинг программы

Uses Crt, Graph, Sprites, Keyboard, Shifrs, Strings, BmpRW;

label 1;

const Point_Count=1000;

Sigma=0.6;

Count_Dis=100;

var

j, t, Gd, Gm: integer;

Fj:array[0..Point_Count] of real;

Dlina_Dis, xx:real;

n:array[0..Point_Count] of longint;

S_Teor:Extended;

S_Prac:Extended;

Bmp:BmpFile;

function RealToStr(A:real):string;

var S:string;

begin

S:='';

Str(A:9:9,S);

RealToStr:=S;

end;

function x(j:longint):real;

begin

if (1-Fj[j]<>0) then x:=Sigma*SQRT(Ln(1/SQR(1-Fj[j])));

end;

function y(j:longint):Extended;

begin

y:=(x(j)/SQR(Sigma))*EXP(-SQR(x(j))/(2*SQR(Sigma)));

end;

function Prac_Pogr:Extended;

begin

for t:=1 to Count_Dis do

S_Prac:=S_Prac+Dlina_dis*n[t];

SetColor(RGBColor(0,0,255));

OutTextXY(100,100,'> Prac='+RealToStr(S_Prac)+' Teor='+RealToStr(S_Teor)+' Pogr='+RealToStr(100-((S_Teor-S_Prac)*100)/S_Teor));

end;

begin

SetSVGAMode(800,600,16,0);

MultiKeysInit;

DirectVideo:=false;

OBmp('bmp.bmp',Bmp);

PutBmp(0,0,Bmp);

1:

S_Prac:=0;S_Teor:=641;

ChangePage;

randomize;

FillChar(n, SizeOf(n), 0);

for j:=0 to Point_Count do

Fj[j]:=random;

for j:=0 to Point_Count do

S_Teor:=S_Teor+y(j)*300;

SetBkColor($FFFF);

Dlina_Dis:=Point_Count div Count_Dis;

for j:=0 to Point_Count do

begin

xx:=x(j);

PutPixel(round(xx*300),round(GetMaxY-y(j)*300),RGBColor(255,0,255));

for t:=0 to Count_Dis-1 do

if ((t*Dlina_Dis <= xx*300) and (xx*300 < (t*Dlina_Dis+Dlina_Dis) ))

Размещено на Allbest.ru

...