Формулировка теоремы рассмотрена ранее.

Данная теорема описывает переход от биноминального распределения к нормальному при неограниченном росте числа испытаний n. Теорема позволяет вычислить вероятность попадания СВ в интервал и вероятность отклонения по абсолютной величине случайной величины от своего математического ожидания:

Примеры.

а) Рассмотрим последовательность независимых бросаний симметричной кости.

Пусть X_k -- число очков, выпавших при k-м бросании. Тогда

M(X_k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(X_k)=(1²+2²+3²+4²+5²+6²)/6-(3.5)²=35/12 и S_n /n

является средним числом очков, выпавших в результате n бросаний.

Закон больших чисел утверждает: правдоподобно, что при больших п это среднее окажется близким к 3,5. Центральная предельная теорема устанавливает вероятность того, что |Sn -- 3,5n | < б (35n/12)^1/2 близка к

Ф(б) -- Ф(-б). При n = 1000 и б =1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а₀ = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(б ₀)-- Ф(--б ₀)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б)Выборка. Предположим, что в генеральной совокупности,

состоящей из N семей, Nk семей имеют ровно по k детей

(k = 0, 1 ...; ? Nk = N). Если семья выбрана наугад, то число детей в ней является случайной величиной, которая принимает значение v с вероятностью p v ₌N v /N. При выборе с возвращением можно рассматривать выборку объема n как совокупность n независимых случайных величин или «наблюдений» X₁, ..., X_n, которые имеют все одно и то же распределение; является средним значением выборки. Закон больших чисел утверждает, что для достаточно большой случайной выборки ее среднее значение будет,

вероятно, близким к, т. е, к среднему значению генеральной совокупности. Центральная предельная теорема позволяет оценить вероятную величину расхождения между этими средними значениями и определить объем выборки, необходимый для надежной оценки. На практике и µ и обычно неизвестны; однако в большинстве случаев удается легко получить предварительную оценку для и всегда можно заключить в надежные границы. Если мы желаем, чтобы с вероятностью 0,99 или большей среднее значение выборки отличалось от неизвестного среднего значения генеральной совокупности менее, чем на 1/10, то объем выборки должен быть взят таким, чтобы

Корень х уравнения Ф (х) -- Ф (-- х) = 0,99 равен х = 2,57 ..., и, следовательно, n должно быть таким, что 2,57 или n > 660 . Осторожная предварительная оценка дает возможность найти необходимый объем выборки.

в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины X_k имеют распределение Пуассона

{p(k;)}. Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными.

Написав вместо , мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до . Формула (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

2.Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что

существует, и заметим, что в этом случае D(S)=n по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t > 0

(2.1)

При t >? n левая часть меньше, чем , а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(X_k). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от X_k, следующим образом:

U_k=X_k , V_k=0, если (2.2)

U_k=0, V_k=X_k, если

Здесь k=1,… , п и фиксировано. Тогда

X_k=U_k+V_k (2.3)

при всех k.

Пусть {f(X_j)} -- распределение вероятностей случайных величин X_k

(одинаковое для всех X_j). Мы предположили, что = M(X_k) существует, так что сумма

конечна. Тогда существует и

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя висит от п, но оно одинаково для

U₁, U_2, ..., U_n , кроме того, при, и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших

n . (2.6)

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

(2.7)

U_k взаимно независимы, и с их суммой U₁+U₂+…+U_n можно поступить точно так же, как и с X_k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает,

что (2.9)

Далее заметим, что с большой вероятностью V_k = 0. Действительно,

(2.10)

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

(2.11)

и следовательно

P{V₁+…+V_n0}. (2.12)

Но S_n=(U_1+…U_n)+(V₁+…+V_n) , и из (2.9) и (2.12) получаем

(2.13)

Так как и произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.

3.Теория «безобидных» игр

При дальнейшем анализе сущности закона больших чисел будем пользоваться традиционной терминологией игроков, хотя наши рассмотрения допускают в равной степени и более серьезные приложения, а два наших основных предположения более реальны в статистике и физике, чем в азартных играх. Во-первых, предположим, что игрок обладает неограниченным капиталом, так что никакой проигрыш не может вызвать окончания игры. (Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел .

Введем случайную величину k как (положительный или отрицательный) выигрыш при k-м повторении игры. Тогда сумма Sn =1+…+k является суммарным выигрышем при п повторениях игры. Если перед каждым повторением игрок уплачивает за право участия в игре (не обязательно положительный) взнос , то п представляет собой общий уплаченный им взнос, a Sn - п общий чистый выигрыш. Закон больших чисел применим, если p=M(k) существует. Грубо говоря, при больших п весьма правдоподобно, что разность Sп - покажется малой по сравнению с п. Следовательно, если меньше, чем р, то при больших п игрок будет, вероятно, иметь выигрыш порядка . По тем же соображениям взнос практически наверняка приводит к убытку. Короче, случай благоприятен для игрока, а случай неблагоприятен.

Заметим, что мы еще ничего не говорили о случае. В этом случае единственно возможным заключением является то, что при достаточно большом и общий выигрыш или проигрыш Sn - п будет с очень большой вероятностью малым по сравнению с п. Но при этом неизвестно, окажется ли Sn - п положительным или отрицательным, т. е. будет ли игра выгодной или разорительной. Это не было учтено классической теорией, которая называла безобидной ценой, а игру с «безобидной». Нужно понимать, что «безобидная» игра может на самом деле быть и явно выгодной и разорительной. Ясно, что в «нормальном случае» существует не только M(k), но и D(k). В этом случае закон больших чисел дополняется центральной предельной теоремой, а последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при «безобидной» игре чистый выигрыш в результате продолжительной игры Sn - п будет иметь величину порядка n^1/2 и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным. Таким образом, если применима центральная предельная теорема, то термин «безобидная» игра оказывается оправданным, хотя даже и в этом случае мы имеем дело с предельной теоремой, что подчеркивается словами «в результате продолжительной игры». Тщательный анализ показывает, что сходимость в (1.3) ухудшается при возрастании дисперсии. Если велико, то нормальное приближение окажется эффективным только при чрезвычайно больших п.Для определенности представим машину, при опускании в которую рубля игрок может с вероятностью 10 выиграть (10-1) рублей, а в остальных случаях теряет опущенный рубль. Здесь мы имеем испытания Бернулли и игра является «безобидной». Проделав миллион испытаний, игрок уплатит за это миллион рублей. За это время он может выиграть 0, 1,2,... раз. Согласно приближению Пуассона для биномиального распределения, с точностью до нескольких десятичных знаков вероятность выиграть ровно к раз равна . Таким образом, с вероятностью 0,368 . . . игрок потеряет миллион, и с той же вероятностью он только окупит свои расходы; он имеет вероятность 0,184... приобрести ровно один миллион и т. д. Здесь 10⁶ испытаний эквивалентны одному-единствеyному испытанию при игре с выигрышем, имеющим распределение Пуассона.

Очевидно, бессмысленно применять закон больших чисел в такого рода ситуациях. К этой схеме относится страхование от пожара, автомобильных катастроф и т. п. Риску подвергается большая сумма, но зато соответствующая вероятность очень мала. Однако здесь происходит обычно только одно испытание в год, так что число п испытаний никогда не становится большим. Для застрахованного игра обязательно не является «безобидной», хотя, может быть, экономически вполне выгодной. Закон больших чисел здесь не при чем. Что касается страховой компании, то она имеет дело с большим числом игр, но из-за большой дисперсии все же проявляются случайные колебания. Размер страховых премий должен быть установлен таким, чтобы предотвратить большой убыток в отдельные годы, и, следовательно, компанию интересует скорее задача о разорении, чем закон больших чисел.

Когда дисперсия бесконечна, термин «безобидная» игра становится бессмысленным; нет никаких оснований считать, что общий чистый выигрыш Sn - п колеблется около нуля. Действительно. существуют примеры «безобидных» игр, в которых вероятность того, что в результате игрок потерпит чистый убыток, стремится к единице. Закон больших чисел утверждает только, что этот убыток будет величиной меньшего порядка, чем п. Однако ничего большего утверждать и нельзя. Если ап образуют произвольную последовательность, причем то можно устроить «безобидную» игру, в которой вероятность того, что общий чистый убыток в результате п повторений игры превышаем an стремится к единице.

Заключение

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

При неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Закон "больших чисел" объединяет совокупность теорем, которые формулируют условия, при которых большое количество случайных величин (например, их сумма) утрачивают случайный характер и приобретают определённую закономерность. На практике отмечено, что конкретные особенности каждого отдельного явления не сказываются на усредненном результате массы таких явлений.

Случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе явлений взаимно погашаются.

Свойство устойчивости массовых явлений, отмеченное на практике, стало предметом теоретических исследований. Результатом исследований стало доказательство ряда теорем. К их числу относятся теорема и неравенство Чебышева, теорема Бернулли.

Список литературы

1. ГМУРМАН В.Е. "Теория вероятностей и математическая статистика" - М., Высш.шк., 2003

2. http://freepapers.ru

Размещено на Allbest.ru