Функции распределения нечетких вероятностных множеств
Сущность перспективности математических моделей, учитывающих стохастическую неопределенность и нечеткость. Описание вероятностных множеств в смысле Hirota. Моделирование операций над нечеткими вероятностными множествами. Треугольные нормы и конормы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2013 |
| Размер файла | 33,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Функции распределения нечетких вероятностных множеств
Р.З. Салахутдинов
Перспективность математических моделей, учитывающих стохастическую неопределенность и нечеткость, очевидна. В статье рассматриваются вероятностные множества в смысле Hirota [1,8], характеризуемые функциями определения, которые представляют собой рандомизированные функции принадлежности нечетких множеств. Интерес к данному классу моделей вызван возможностью их применения в задачах принятия решений в нечетко-стохастических условиях [5-7].
Пусть (, , P) - вероятностное пространство; U - универсальное множество; - функция определения нечеткого вероятностного множества X, , . Для каждого фиксированного функция определения обозначается и рассматривается как некоторая случайная величина с функцией распределения
, .
Известно, что треугольные нормы и конормы служат хорошей моделью для нечетких теоретико-множественных операций пересечения и объединения. Поэтому при моделировании операций над нечеткими вероятностными множествами мы будем использовать функциональные представления для треугольных норм T и конорм [1-4].
Пусть f - строго убывающая непрерывная функция, , =, =0, и есть псевдообратная функция для f, .
Пусть g - строго возрастающая непрерывная функция, , =, =0, есть псевдообратная функция для g, , и - монотонная симметричная ассоциативная операция, определенная на [0,K], K (0,], .
Приведем полученные результаты.
Треугольные нормы и конормы.
Теорема 1. Функция является треугольной нормой.
Теорема 2. Функция является треугольной конормой.
Таким образом, для двух вероятностных множеств X, Y можно определить их пересечение и объединение, используя теоремы 1 и 2:
;
.
Функцией отрицания на [0,1] называется функция , удовлетворяющая следующим условиям: ; ; если . Функция сильного отрицания n (инволюция) дополнительно обладает свойством
Как хорошо известно, треугольная норма T и треугольная конорма называются дуальными относительно сильного отрицания n (n-дуаль-ными), если .
Теорема 3. Если случайный вектор, T и треугольные норма и конорма, которые дуальны относительно сильного отрицания n, то
.
математический вероятностный конорма
Следствие 1. Если равномерно распределенный случайный вектор, T и треугольные норма и конорма, которые дуальны относительно сильного отрицания , то
.
Для представления функций распределения нечетких вероятностных множеств мы используем следующие формулы:
,
= .
Здесь совместная плотность распределения случайного вектора ; и определяются из и , соответственно. Предположим, что плотность распределения случайного вектора имеет вид
.
Кроме того, пусть , -1. При этих предположениях мы получаем следующие выражения для функции распределения
;
.
Приведем примеры, иллюстрирующие полученные теоретические результаты при .
Пример 1. Если , то
Далее, из утверждения следствия 1 немедленно следует, что
Пример 2. Если , то
.
Из утверждения следствия 1 немедленно следует, что
.
Оператор осреднения.
Оператор осреднения определяется [1] как неубывающая функция каждого из аргументов, при этом .
Теорема 4. Пусть , тогда функция
является оператором осреднения.
Если , то операторы осреднения и называются дуальными относительно сильного отрицания n.
Теорема 5. Если случайный вектор, и операторы осреднения, которые дуальны относительно сильного отрицания n, то
.
Следствие 2. Если равномерно распределенный случайный вектор, и операторы осреднения, дуальные относительно сильного отрицания , то .
Пример 3. Операторы осреднения
являются n-дуальными относительно сильного отрицания
;
Для этих операторов можно записать, что
.
Здесь
,
.
Предполагая, что равномерно распределенный случайный вектор, мы имеем
.
Из утверждения следствия 2 немедленно получаем функцию распределения
.
Заключение. В работе рассмотрены функции распределения вероятностных множеств в смысле Hirota. Получены соотношения между функциями распределения дуальных треугольных норм и конорм. Аналогичный результат установлен для дуальных операторов осреднения.
Литература
1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З, Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А Поспелова. - М.: Наука, 1986.
2. Батыршин И.З. Основные операции нечеткой логики и их обобщения. - Казань: Отечество, 2001.
3. Abutaliev F.B, Salakhutdinov R. On fuzzy sets operations // BUSEFAL. - 1989. - No.40. - P. 4-8.
4. Dubois D., Prade H. A class of fuzzy measures based on triangular norms // Int. J. General Systems. - 1982. - V.8. - P. 46-61.
5. Gzogala E., Gottwald S., Pedrycz W. Logical connectives of probabilistic sets // Fuzzy sets and Systems. - 1983. - V.10. - P. 299-308.
6. Gzogala E. A general concept of a fuzzy probabilistic controller // Fuzzy sets and Systems. - 1983. - V.11. - P. 287-297.
7. Czogala E., Zimmermann H.-J. The aggregation operations for decision making in probabilistic fuzzy environment // Fuzzy Sets and Systems. - 1984. - V.13. - P. 223-239.
8. Hirota K. Concepts of probabilistic sets // Fuzzy Sets and Systems. - 1981. - V.5. - P. 31-46.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Математическая теория нечетких множеств, история развития. Функции принадлежности нечетких бинарных отношений. Формирование и оценка перспективного роста предприятия оптовой торговли. Порог разделения ассортимента, главные особенности его определения.
контрольная работа [22,3 K], добавлен 08.11.2011Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика как обобщения классической теории множеств и классической формальной логики. Сферы и особенности применения нечетких экспертных систем. Анализ математического аппарата, способы задания функций.
презентация [1,0 M], добавлен 17.04.2013Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Нечёткие системы логического вывода. Исследование основных понятий теории нечетких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие соответствия и отношения. Описания особенностей логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.
презентация [191,0 K], добавлен 29.10.2013Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Разработка методики оценки состояния гидротехнического объекта, подверженного воздействию наводнений различной природы, с использованием теории нечетких множеств. Моделирование возможного риска с целью решения задачи зонирования прибрежной территории.
курсовая работа [734,2 K], добавлен 23.07.2011Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Сущность теории множеств и особенности ее практического применения. Операции над множествами и их главные закономерности. Порядок нахождения области определения функции, участков ее возрастания и убывания. Определение вероятности исследуемого действия.
контрольная работа [46,5 K], добавлен 02.12.2011Изучение вопросов применения теории множеств, их отношений и свойств и теории графов, а также математических методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА (радиоэлектронной аппаратуры) и моделирования протекающих в них процессов.
реферат [206,9 K], добавлен 26.09.2010Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Понятие функции как одно из важнейших понятий математики. Сюръекции, инъекции и биекции. Композиция или сложная функция и ее иллюстрация. Зависимость множеств Х и У, их области, элементы и простейших операций над ними. История математической функции.
реферат [58,8 K], добавлен 11.03.2009Способы решения логических задач типа "Кто есть кто?" методами графов, табличным способом, сопоставлением трех множеств; тактических, истинностных задач, на нахождение пересечения множеств или их объединения. Буквенные ребусы и примеры со звездочками.
курсовая работа [622,2 K], добавлен 15.06.2010
