Жизнь и научная деятельность П.Л. Чебышева

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЖИЗНЬ И НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ П.Л. ЧЕБЫШЕВА

Родился Пафнутий Львович Чебышев 26 мая 1821 года в селе Окатове, Боровского уезда, Калужской губернии. Первоначальное образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучала мать Аграфена Ивановна, а арифметике и французскому языку - двоюродная сестра Сухарева.

В 1832 г., семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. В шестнадцать лет он стал студентом Московского университета. Поступив в 1837 году на физико-математический факультет, Чебышев сразу обратил на себя внимание известного профессора Брашмана, который угадал в новом ученике будущее математическое светило, а потому начал старательно руководить его занятиями. В 1841 году П.Л. Чебышев окончил университет, а через два года опубликовал свою первую научную работу "Sur des intйgrales dйfinies", за которой вскоре последовал ряд других, всё более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира.

В 1846 году П.Л. Чебышев защитил в Московском университете диссертацию "О теории вероятности" на степень магистра, а ещё через год был приглашён на кафедру Петербургского университета и переселился в Петербург. В 1847 году Чебышев был допущен к защите диссертации "Об интегрировании иррациональных дифференциалов".

Здесь началась его профессорская деятельность. В двадцать восемь лет он получил в Петербургском университете степень доктора, причём диссертацией служила его книга “Теория сравнений”, которой затем в течение более полустолетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьёзных руководств по теории чисел. Академия наук избрала П.Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной математики; через шесть лет он уже стал ординарным академиком. Год спустя он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г., та же академия избрала его своим иностранным сочленом.

8 декабря 1894 года утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом.

Исследования великого русского математика проводились преимущественно в трех направлениях: теория чисел, теория вероятностей и теория механизмов. С исследованиями по теории механизмов неразрывно связаны многочисленные изобретения Чебышева.

Объективным фактором, способствующим усилению внимания к прикладным исследованиям, являлась растущая необходимость применения механики к решению конкретных технических задач, что было связано с быстрым развитием машинной техники в середине и второй половине XIX века. Ученый с новым воодушевлением принялся за многосложные математические труды, причем начал разработку теории чисел - предмета, в то время совершенно нового для России. Плодом этих работ было сочинение, озаглавленное "Теория сравнения".

Из математических трудов Пафнутия Львовича в последние пятнадцать лет выдаются особенно его мемуары "О функциях ближе подходящих к нулю", "О разложении в ряды", "О наибольших и наименьших" и многие другие.

Отдельными книгами на русском языке изданы "Опыты элементарного анализа теории вероятностей" и "Теория сравнений". Особенные заслуги оказаны им преимущественно:

1) отысканием пределов для числа, показывающего, сколько имеется простых чисел между двумя данными целыми числами: этим исследователь сделал первый и решительный шаг к решению одного из труднейших вопросов теории чисел;

2) определением условий, при которых интеграл алгебраической функции, содержащей радикал, выразим алгебраически или логарифмически: эти разъяснения Чебышева значительно дополняют те, которыми занимался Абель;

3) изложением общего способа для нахождения приблизительных выражений, которые давали бы для данной функции значение, поближе подходящее к истинному в данных пределах;

4) исследованием о непрерывных дробях, раскрывающим новое и важное значение этих дробей при расположении функций в ряды;

5) интегрированием по способу наименьших квадратов, представляющему преимущество перед другими способами интегрирования в том отношении, что при удобстве вычисления дает наиболее выгодное соединение результатов наблюдений;

6) изысканием наибольших и наименьших сумм, составленных из значений целой функции и ее производных, содержащим начало совершенно нового рода математического исчисления, сходного с вариационным.

В данной работе особое внимание уделено теореме Чебышева об альтернансе. В пространствах C [a,b], а так же L_p [a,b], где (1?p??) множество всех алгебраических многочленов:

- фиксированной степени m представляет собой линейное многообразие размерности m+1:

dim * = m + 1

В пространствах С, L_p, 2р-периодических функций через будем обозначать линейное многообразие тригонометрических полиномов:

- порядка m, размерность его равна 2m+1, ибо система функций линейно независима.

В самом деле, если:

То, умножая обе части этого тождества поочередно на функции системы (3) и интегрируя от 0 до 2р, обнаружим, что все коэффициенты и равны 0.

Везде ниже, говоря о множестве алгебраических многочленов степени m, мы будем включать в него и все многочлены степени n<m, т. е., многочлены вида (1), у которых = 0 при n<k?m. Аналогичное соглашение принимаем и для тригонометрических полиномов.

Теорема 1. При каждом m=0,1,2,… для любой функции ѓC [a,b] или ѓ, L_p [a,b] (1?p??) в множестве существует алгебраический многочлен наилучшего приближения в метрике соответственно C [a,b] или L_p [a,b]. Аналогично при m=0,1,2,… ля любой функции ѓ, C или ѓ, L_p в множестве существует тригонометрический полином наилучшего приближения соответственно в C или L_p.

Единственность полинома наилучшего приближения из и в пространствах соответственно L_p [a,b] и L_p при 1 < p < ? обеспечивается за счет строгой выпуклости нормы. В пространствах C [a,b] и С, норма в которых не является строго выпуклой, единственность ближайшего элемента в и вытекает уже из внутренних свойств этих подпространств. В силу теоремы Хаара, если - система линейно независимых функций в C [a,b], то множество обобщенных полиномов:

Что является в C [a,b] чебышевским тогда и только тогда, когда каждый полином (4), имеет на [a,b] не более N-1 различных нулей. Аналогичный факт имеет место в периодическом случае в пространстве С, только нули надо считать на периоде, т. е. на полуинтервале 0, 2р.

Известно, что алгебраический многочлен (1), имеет самое большое m нулей, а тригонометрический полином (2), , имеет на периоде 0, 2р, самое большее 2m нулей. Следовательно, подпространства и являются чебышевскими соответственно в C [a,b] и С, т. е., в каждом из них полином наилучшего равномерного приближения единственен.

В пространствах L₁ [a,b] и L_1, также не являющихся строго нормированными, факт единственности наилучших полиномов из и имеет место, по крайней мере, если приближаемая функциями непрерывна.

Остановимся теперь на характеризации полиномов наилучшего приближения. В случае метрики (1?p<?) к общему критерию при мы ничего прибавить (в смысле конкретизации) не можем.

Относительно же равномерной метрики наиболее сильным критерием ближайшего полинома остается классическая теорема Чебышева об альтернансе.

Теорема 2. (теорема Чебышева об альтернансе для приближения на периоде).

Для того чтобы тригонометрический полином порядка n-1 доставлял функции ѓC наилучшее равномерное приближение среди всех полиномов из , необходимо и достаточно, чтобы на периоде нашлось 2n точек t_k: t₁, t₂,…t_n, в которых разность:

- достигает по абсолютной величине максимального значения || ||_с поочередно меняя знак, т. е.:

Необходимость доказывается от противного: если бы разность не альтернировала на периоде 2n раз, то уклонение || ||_с полинома от можно было бы уменьшить за счет прибавления к некоторого поправочного полинома порядка не больше n-1.

Пусть:

Ясно, что разность:

- имеет нули, а условия теоремы инвариантны относительно сдвига аргумента. Введем обозначения:

Так как содержит любую константу, то каждое из множеств не пусто. Выберем точки, чтобы выполнялись условия:

содержит хотя бы одну е-точку (т. е., точку множества е), причем все е-точки, лежащие на одном отрезке, одного знака:

е⁺ - точки;

е^- - точки.

Знаки е-точек на соседних отрезках противоположны.

Необходимость будет доказана, если мы установим, что число отрезков (7) не меньше, чем 2n. Положим:

И покажем, что х ? n.

Рассуждая от противного, предположим, что х?n, и пусть:

Из элементарных тождеств следует, что - тригонометрический полином порядка х, а потому точки z₀, z₁, …, z_2х-1 являются единственными его нулями на полуинтервале 0, 2р, причем в каждой из этих точек меняет знак. Пусть () - объединение отрезков из (7), содержащих () - точки. В силу непрерывности и выбора отрезков (7) найдем такое число h>0, что:

Выберем в (8) числовой коэффициент так, чтобы выполнялись соотношения:

sgn sgn ,

Полином имеет порядок n-1, и мы получим противоречие с (6), если окажется, что:

Во всех внутренних точках , в силу (9) и (12), имеем:

Справедливость такого неравенства для аналогичным образом вытекает из (10) - (12). Таким образом, неравенство (14) должно выполняться на каждом промежутке:

- что равносильно (13). Необходимость доказана.

Пусть эти условия выполнены, но (6) не имеет места, т. е., для некоторого полинома:

Где по-прежнему:

Тогда полином:

Также имеющий порядок n-1, в силу (15) и (5) принимает в точках t₁, t₂, …, t_2n значения с чередующимися знаками и, значит, должен иметь на периоде 2n-1 нулей, что невозможно. Теорема доказана.

Теорема 3. (теорема Чебышева об альтернансе для приближения на отрезке). Алгебраический полином степени n-1 доставляет функции ѓ наилучшее равномерное приближение на [a, b] среди всех многочленов из тогда и только тогда, принимает значения:

Доказательство необходимости проводится по той же схеме, что и в теореме 2. Введя в рассмотрение множество е точек отрезка [a, b], в которых разность .

Содержащие е-точки одного знака (причем знак е-точек должен меняться от отрезка к отрезку). Затем, рассуждая от противного и вводя поправку:

Достаточность доказывается, как и в периодическом случае, но с использованием того факта, что многочлен из , , не может иметь больше n-1 нулей.

Замечание. Систему точек t_k, в которых выполняются условия теорем 2 или 3, иногда называют чебышевским альтернансом функции ѓ, C.

Следствие. Для каждой тригонометрический (алгебраический) функции, полином наилучшего равномерного приближения - единственен.

В теоремах сравнения для периодических сплайнов и тригонометрических полиномов в качестве стандартных функций выступают - периодические функции .

Наряду с другими свойствами, характеризующими «правильность», отличительной чертой этих функций является также то, что среди тригонометрических полиномов порядка n-1 наилучшее приближение в метриках каждой из них доставляет тождественный нуль, так что:

Где:

X есть или , при (q?1).

При X=C эти равенства связаны с тем, что как на периоде 0, 2р, 2n раз принимают соответственно ±1-с, с чередованием знаков, и остается только вспомнить теорему Чебышева об альтернансе. Обладающие аналогичным свойством алгебраические многочлены играют важную роль в анализе, однако, в отличие от периодического случая, вид их существенно зависит от метрики X.

В пространствах C [-1, 1], [-1, 1] свойством минимальной нормы многочлены Чебышева, которые на отрезке [-1, 1] можно записать в виде:

математика алгебраический тригонометрический

Размещено на Allbest.ru