Численное решение уравнений
Основные особенности определения величины критической силы действующей на стержень, один конец которого закреплен. Изучение методов приближенных вычислений с заданной степенью точности. Характеристика геометрического смысла метода простой итерации.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.11.2013 |
| Размер файла | 63,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФГБОУ ВПО
Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра Информатики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Уфа 2012 г.
Содержание
Введение
1. Численное решение уравнений
1.1 Метод простой итерации (последовательных приближений)
1.2 Геометрический смысл метода простой итерации
1.3 Алгоритм метода простой итерации
Заключение
Список литературы
Введение
В научных исследованиях и инженерном проектировании часто приходится решать уравнения вида
(1)
Задачи этого типа могут возникать сами по себе или же составлять часть более сложных исследований.
Пример. Требуется определить величину критической силы действующей на стержень, один конец которого закреплен, а другой может перемещаться в вертикальном направлении.
Из физики известно, что критическая сила в этом случае определяется уравнением
(2)
и решение задачи сводится к решению уравнения (1).
Возможности аналитического решения уравнений являются достаточно ограниченными. Поэтому для нахождения корней уравнений привлекаются методы приближенных (численных) вычислений с заданной степенью точности
итерация геометрический степень
1. Численное решение уравнений
Для вычисления корня уравнения (1) существует множество приближенных методов. Все они вычисляют значение корня уравнения с заданной степенью точности
1.1 Метод простой итерации (последовательных приближений)
При изложении методов численного решения уравнений считается, что уже известен отрезок , внутри которого существует один и только один корень. Идея метода простой итерации заключается в следующем. Уравнение заменяется равносильным уравнением
( 1.1)
Предполагается, что известно грубое приближенное значение корня Новое приближение корня вычисляется путем подстановки его в правую часть уравнения (1.1)
( 1.2)
Таким образом, каждое следующее приближение корня вычисляется через его предыдущее значение, которое подставляется в правую часть равенства (1.1). В результате повторения этого процесса образуется последовательность найденных приближений корня
( 1.3)
При условии, что полученная последовательность сходится, а функция непрерывна, можно утверждать, что точка является корнем уравнения (1), который может быть вычислен по формуле (1.3) с любой степенью точности. Процесс решения считается завершенным, если два последовательных приближения и совпадают с заданной точностью , т.е. .
Для того, чтобы выполнялось условие сходимости итерационного процесса, функцию подбирают таким образом, чтобы для всех точек интервала выполнялось условие:
, ( 1.4)
в противном случае процесс окажется расходящимся.
1.2 Геометрический смысл метода простой итерации
Рисунок 1.1 представляет графики двух функцийи. Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения кривой с прямой .
Рисунок 1.1 Графическая интерпретация метода простой итерации
1.3 Алгоритм метода простой итерации
Рисунок 1.2 представляет блок-схему алгоритма метода простой итерации.
Рисунок 1.2 Блок-схема алгоритма метода простой итерации
Ниже Таблица 1.1 приведены результаты пошагового вычисления корня уравнения на отрезке методом простой итерации .
Таблица 1.1
|
№ шага |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1,0915 |
1,1373 |
1,1575 |
1,1658 |
||
|
0,0458 |
0,0202 |
0,0083 |
0,0033 |
Заключение
Успех метода простой итерации зависит от того, насколько удачно выбрана функция . При удачном выборе функции метод сходится при любом начальном приближении из промежутка . Это свойство делает этот метод одним из самых надежных вычислительных методов.
Метод простых итерации и почти все другие итерационные методы имеют важное достоинство: в них не накапливаются ошибки вычислений. Ошибка вычислений эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения. Но это отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного результата.
Список литературы
1. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 366 с.
2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCad 12, MatLab 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. 496 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 26.02.2011Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2014Анализ метода простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений и реализация его в виде двух программ, каждая из которых использует свой собственный способ перехода от системы одного вида к другому. Программные и технические средства.
курсовая работа [497,8 K], добавлен 27.03.2011Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Особенности применения степенных рядов для вычислений с различной степенью точности значений функций и определенных интегралов. Рассмотрение примеров решения ряда задач этим математическим методом с условием принятия значений допустимой погрешности.
презентация [68,4 K], добавлен 18.09.2013Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.
курсовая работа [515,8 K], добавлен 28.06.2013Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013
