Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение некоторых задач из учебника Н.Ш. Крамера

«Теория вероятностей и математическая статистика»

№ 1

У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре первого, по две второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два - второго и одна третьего?

Решение:

А - событие при котором из 6-ти взятых одновременно деталей 3 первого вида, 2 второго и 1 третьего.

n - общее число способов достать 6 деталей. Так как в нашем случае будет меняться только состав деталей, то

m - число способов, благоприятствующих событию А.

Число способов достать 3 детали первого вида из четырех , 2 детали второго вида из двух и 1 деталь третьего вида из двух .Так как все эти события должны произойти одновременно, то по правилу произведения

Согласно определению вероятности

полиноминальный распределение число вероятность

Ответ: вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два - второго и одна третьего .

№ 2

Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов, по крайней мере, двое нуждаются в общей чистке механизма?

Решение:

Общее число способов извлечь трое часов из 20-ти

Событие А - по крайней мере двое из трех часов нуждаются в общей чистке механизма произойдет, если 2-е из 3-х или 3-е из 3-х нуждаются в общей чистке.

Число случаев, благоприятствующих событию А

Вероятность искомого события

Ответ: вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов, по крайней мере, двое нуждаются в общей чистке механизма 34,4%.

№ 3

В группе 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Решение:

Событие А - студент ответил на 3 вопроса, В1 - вызванный на удачу студент подготовлен отлично, В2 - хорошо, В3 - посредственно и В4 - плохо.

Вероятности вызова студентов

; ; ; .

Условная вероятность ответа студента на 3 вопроса в зависимости от степени подготовки

;

;

По формуле полной вероятности

Применим формулу Баеса

Ответ: вероятность того, что вызванный студент подготовлен отлично ; вероятность того, что вызванный студент подготовлен плохо .

№ 4

В вузе обучаются 3 650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходиться на определенный день года, равна 1/365. Найти: а) Наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность такого события; б) вероятность того, что, по крайней мере, 3 студента имеют один и тот же день рождения.

Решение:

а) Наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, найдем по формуле

,

n-общее число студентов, m0 - наивероятнейшее число, p=1/365, q=1-p

, в полученном отрезке только одно целое число - 10, это и будет наивероятнейшим числом студентов, рожденных 1 мая.

Так как p=1/365 мала, а n=3650 велико, то для нахождения вероятности указанного события применим формулу Пуассона

,

где .

, данное значение вероятности мы найдем из таблицы значений функции Пуассона.

б) Нужно найти вероятность того, что 3 и более студентов имеют общий день рождения, то есть

.

Но проще найти вероятность противоположного события, то есть

Используя таблицу значений функции Пуассона, получим

Ответ: наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая - 10 человек, вероятность этого события - 0,1251; вероятность того, что по крайней мере 3 студента родились в один день, равна 0,9971.

№ 5

Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с вероятностью 0,3 является «слабым», с вероятностью 0,5 - «средним», с вероятностью 0,2 - «сильным». Какова вероятность того, что из наудачу выбранных 6 студентов вуза: а) число «слабых», «средних» и «сильных» окажется одинаковым; б) число «слабых» и «сильных» окажется одинаковым?

Решение:

В данном случае в результате испытаний мы имеем более двух исходов, то есть, мы имеем дело с полиноминальной схемой. Воспользуемся формулой

,

где n-число испытаний, mk-число наступлений события Ak, pk- вероятность наступления события Ak.

а) Число «слабых», «средних» и «сильных» окажется одинаковым, если каждых будет по 2 человека.

б) Число «слабых» и «сильных» студентов может оказаться одинаковым в 4 случаях: если их будет по одному, а «средних» - 4; если их будет по 3, а «средних» не будет; если всех будет по 2; если в группе окажутся только «средние». И общая вероятность будет складываться из вероятностей всех этих исходов.

Ответ: вероятность того, что число «слабых», «средних» и «сильных» студентов окажется одинаковым равна 0,081; число «слабых» и «сильных» может оказаться равным с вероятностью 0,213.

№ 6

Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

Решение:

Возможно всего 5 наборов номера, так как последняя цифра может принять лишь одно из значений 1, 3, 5, 7 или 9. Так как каждое из чисел набирается только один раз и больше не повторяется, то вероятность выпадения каждого из них

Таким образом, мы имеем закон распределения числа X наборов номера в виде матрицы:

Математическое ожидание случайной величины найдем по формуле

Функцию распределения случайной величины X найдем, используя формулу

.

Будем задавать различные значения x и находить для них F(x).

При

При

При

При

При

При

Ответ: закон распределения числа сделанных наборов номера телефона имеет вид ; математическое ожидание случайной величины равна ; функция распределения случайной величины ={0 при ; 0,2 при ; 0,4 при ; 0,6 при ; 0,8 при ; 1 при }.

№ 7

Распределение дискретной случайной величины X задано формулой

,

где k= 1, 2, 3, 4, 5. Найти: а) константу C; б) вероятность события .

Решение:

а) Сумма вероятностей всех значений случайной величины равна единице

.

,

таким образом

б) Представим модуль , в виде двойного неравенства ;

Теперь определим вероятность события



Ответ: константа в формуле распределения дискретной случайной величины ; вероятность события .

№ 8

Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [-1; 3], задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [0; 2]. Построить график функции F(x).

Решение:

Согласно 4-му свойству функции распределения вероятность попадания случайной величины в определенный интервал, равна приращению её функции распределения на этом интервале, то есть в нашем случае

Теперь построим график функции на отрезка [-1; 3]

x	-1	0	1	2	3
F(x)	0	0,25	0,5	0,75	1



Ответ: вероятность попадания случайной величины X в интервал [0; 2] равна 50%.

№ 9

Месячный доход семей можно рассматривать как случайную величину, распределенную по логнормальному закону.

Полагая, что математическое ожидание этой случайной величины равно 1000 ден. ед., а среднее квадратическое отклонение 800 ден. ед., найти долю семей, имеющих доход: а) не менее 1000 ден. ед.; б) менее 500 ден. ед.

Решение:

а) Доля семей, имеющих доход не менее 1000 ден. ед., это

При определении F(1000) воспользуемся тем, что функция логнормального распределения случайной величины X совпадает с функцией нормального распределения случайной величины , то есть получаем

.

Для того чтобы найти параметры и , запишем формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по логарифмически-нормальному закону

,

.

Учтем связь среднеквадратического распределения и дисперсии

, таким образом

,

прологарифмировав выражение по основанию e, получим



.

.

Теперь можем определить долю семей, имеющих доход не менее 1000 ден. ед.

, используя таблицу значений функции Лапласа, получим

б) Доля семей, имеющих доход менее 500 ден. ед.

, здесь учли, что функция Лапласа нечетная, то есть .

Ответ: доля семей, имеющих доход от 1000 ден. ед. 63,7%, доля семей с доходом менее 500 ден. ед. 26,4%.

№ 10

Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

Решение.

По условию, вероятность того, что клиент востребует акции, равна p=0,08. Число клиентов X=m имеет биноминальный закон распределения, а его границы 70 и 90 симметричны относительно математического ожидания .

Следовательно, оценку вероятности искомого события

можно найти, используя неравенство Чебышева

,

где

.

Ответ: вероятность того, что от 70 до 90 клиентов банка из 1000 востребуют свои акции не менее 26,4%.

№ 11

Дано распределение признака X, полученного по n наблюдениям. Необходимо: 1) построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения X; 2) найти: а) среднюю арифметическую ; б) медиану и моду ; в) дисперсию , среднее квадратическое отклонение s и коэффициент вариации ; г) начальные и центральные моменты k-го порядка (k= 1, 2, 3, 4); д) коэффициент асимметрии и эксцесс .

X - месячный доход жителя региона (в руб.); n=1000 (жителей).

xi	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
ni	58	96	239	328	147	132

Решение:

Составим следующую таблицу

i	Месячный доход x	Частота (кол-во жителей) ni	Частость	Накопленная частота	Накопленная частость
1	Менее 500	58	0,058	58	0,058
2	500-1000	96	0,096	154	0,154
3	1000-1500	239	0,239	393	0,393
4	1500-2000	328	0,328	721	0,721
5	2000-2500	147	0,147	868	0,868
6	Свыше 2500	132	0,132	1000	1,000
	1000	1,000	-	-

1.



2.

а) Средняя арифметическая

,

где xi - середины интервалов

руб.

б) Медиана - значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.

Серединой ряда наблюдений будет пятисотый житель, с помощью кумуляты определим его месячный доход. Для этого проведем горизонтальную прямую, соответствующую накопленной частоте () или накопленной частости (), до пересечения с графиком эмпирической функции (кумулятой) (Рис. 2) . Абсцисса точки пересечения и будет медианной. Таким образом, руб.

Мода - значение вариационного ряда, которому соответствует наибольшая частота.

Определим её графическим путем. На гистограмме распределения (Рис. 1) найдем прямоугольник с наибольшей частотой (). Соединяя отрезки прямых вершины этого прямоугольника с соответствующими вершинами двух соседних прямоугольников, получим точку пересечения этих отрезков, абсцисса которой и будет модой вариационного ряда. То есть .

в) Дисперсия вариационного ряда - средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.



Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

руб.

Коэффициент вариации - процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

.

г) Начальный момент k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

.

,

то есть

Центральный моменты k-го порядка вариационного ряда

.

в силу 4-го свойства средней арифметической

, то есть

д) Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называют число

. Так как , то мы имеем дело с отрицательной (левосторонней) асимметрией.

Эксцессом вариационного ряда называют число

.

Эксцесс является показателем «крутости» вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением.

Ответ: средняя арифметическая ежемесячного дохода жителей руб.; медиана руб.; мода руб.; дисперсия ; среднее квадратическое отклонение s=667,5 руб.; коэффициент вариации ; начальные моменты k-го порядка , , , ; центральные моменты k-го порядка , , , ; коэффициент асимметрии ; эксцесс .

№ 12

Для исследования доходов населения города, составляющего 20 тыс. человек, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 1000 жителей. Получено следующее распределение жителей по месячному доходу (руб.):

xi	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
ni	58	96	239	328	147	132

Необходимо: 1. а) Найти вероятность того, что доля малообеспеченных жителей (с доходом менее 500 руб.) отличается от доли таких же жителей в выборке не более, чем на 0,01 (по абсолютной величине); б) определить границы, в которых с надежностью 0,98 заключена доля малообеспеченных жителей города. 2. Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы для доли малообеспеченных жителей города гарантировать с надежностью 0,9973? 3. Как изменились бы результаты, полученные в п. 1. а) и 2, если бы о доле малообеспеченных жителей вообще не было ничего известно?

Решение:

1. а) Вероятность того, что отклонение выборочной доли от генеральной не превзойдет число Д>0 (по абсолютной величине)

,

где - выборочная доля,

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки

Значение функции Лапласа взято из таблицы.

б) Границы, в которых с надежностью 0,98 заключена доля малообеспеченных жителей города, найдем по формуле

При заданной доверительной вероятности предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где , то есть

Имеем , от сюда t=2,33

Теперь найдем границы

.

2. Объем выборки, необходимый для того, чтобы те же границы для доли малообеспеченных жителей города гарантировались с надежностью 0,9973, найдем по формуле

Значению соответствует значение t=3, так как границы для доли будут такими же, то , .

чел.

3. Если о генеральной доле ничего не известно, то в качестве можно было взять его максимальное значение . Тогда в п. 1.а. имели бы

.

В в п. 2. получили бы

.

Ответ: 1. а) вероятность того, что доля малообеспеченных жителей отличается от доли таких же жителей в выборке не более, чем на 0,01 равна 83,55%; б) границы, в которых с надежностью 0,98 заключена доля малообеспеченных жителей города ; 2. Объем выборки, чтобы те же границы для доли малообеспеченных жителей города гарантировать с надежностью 0,9973 должен быть 1606 человек; 3. если бы о доле малообеспеченных жителей вообще не было ничего известно, то в п.1. а) вероятность была бы 48,43%, а п. 2. объем выработки должен был быть 5711 человек.

№ 13

Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Фирма разослала 1000 каталогов новой, улучшенной формы и получила 100 заказов. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней.

Решение:

Проверяемая гипотеза H0 : - новая форма каталога лучше прежней. Тогда конкурирующая гипотеза H1: или H2: .

Дисперсии и неизвестны.

Размещено на Allbest.ru

...