Моделювання та аналіз загальних розв’язків задач керування та спостереження для динамічних систем з розподіленими параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

УДК 517.944

Моделювання та аналіз загальних розв'язків задач керування та спостереження для динамічних систем з розподіленими параметрами

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового

ступеня доктора фізико-математичних наук

Стоян Володимир Антонович

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України.

Захист відбудеться 25 червня 1999 року o 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.194.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою: 252650 МСП Київ 22, проспект Академіка Глушкова,40.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий 12 травня 1999 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

Стоян В.А. Моделювання та аналіз загальних розв'язків задач керуваня та спостереження для динамічних систем з розподіленими параметрами. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання і обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено розв'язанню прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. Розв'язана проблема побудови функції Гріна для систем, динаміка яких описується диференціальними рівняннями в частинних похідних. Побудовані загальні розв'язки початково-крайових задач, задач моделювання зовнішньо-днамічного оточення, в якому функціонують розглядувані системи. Розроблені алгоритми оптимізації вхідних та виідних характеристик таких систем. Розв'язані задачі спостереження і термінального керування для загального випадку динаміки систем та для гіперболічних систем з розв'язками у вигляді рядів Фур'є зокрема. Як приклад розв'язана тривимірна задача динаміки товстих пружних плит довільної конфігурації.

Ключові слова: динаміка систем; розподілені параметри; псевдообернення; псевдорозв'язки; функції Гріна; термінальне керування; моделювання; товсті пружні плити.

алгебраїчний рівняння матриця

Стоян В.А. Моделирование и анализ общих решений задач управления и наблюдения для динамических систем с распределенными параметрами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики

им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 1999.

Диссертация посвящена решению прямых и обратных задач динамики систем с распределенными параметрами. В основу исследований положен символический метод А.И.Лурье построения решений дифференциальных уравнений в частных производных, а также классические результаты по построению общего решения систем линейных алгебраических уравнений. Символический подход к интегрированию рассматриваемых уравнений позволил построить функцию Грина и решение задачи динамики в бесконечной пространственно-временной области, а методы линейной алгебры - обратить это решение и найти множества значений функции внешне-динамического возмущения в рассматриваемой пространственно-временной области, которые соответствуют дискретно-наблюдаемим значениям функции состояния системы.

Дальнейшее обобщение результатов линейной алгебры позволило построить обращения линейных динамических преобразований при непрерывных пространственно-временных зависимостях входных и выходных функций. Указаны условия, при которых такие обращения возможны. Построены множества решений и псевдорешений (если точное решение не возможно). Приведены условия, при которых эти множества дают однозначное решение (псевдорешение) задачи.

Полученные результаты по псевдообращению рассматриваемых преобразований распространены затем на динамические системы с распределенными параметрами.

Решены задачи динамики рассматриваемых систем для ограниченной временной, ограниченной пространственной и ограниченной пространственно- временной областей функционирования последних. Решены задачи моделирования начально-краевых и внешне-динамических факторов, которые соответствуют заданной картине динамики системы. Задачи решаются в дискретной, дискретно-непрерывной и непрерывной постановках. Решены задачи наблюдения и терминального управления рассматриваемыми системами при различных функциях наблюдения за системой и различных конечных значениях их функции состояния. Особым классом выделены гиперболические системы, функция состояния которых допускает представление в виде рядов Фурье.

При решении названных задач построены искомые и моделируемые параметры, которыми (с учетом приведенных в работе условий) описываются как возможные решения задач, так и их псевдорешения (если точные решения не существуют). Выписаны условия однозначности полученных решений (псевдорешений) для каждой задачи.

Обобщены известные формулы Гревиля и алгоритмы вычисления псевдообратных матриц на векторные и матричные функции дискретного и непрерывного аргументов. Построены формулы впсевдообращения возмущенных векторных и матричных функций дискретного и непрерывного аргументов.

Решены задачи оптимизации параметров линейных динамических преобразований и динамических систем с распределёнными параметрами. В качестве елементов оптимизации рассматриваются точки наблюдения за этими системами и управления ими. Предложены градиентные процедуры минимизации невязок результатов псевдообращения систем линейных алгебраических уравнений и решений систем с распределёнными параметрами. С использованием полученных в работе обобщений формул Гревиля построены расчётные формулы для реализации этих процедур. Результаты по псевдообращению возмущённых матричных функций позволили построить расчётные формулы для вычисления приростов функционалов при конечных изменениях параметров оптимизации. Записаны необходимые условия оптимальности решения задачи.

Решена задача динамики толстой упругой плиты произвольной конфигурации в трёхмерной постановке. Решена задача терминального управления такой плитой.

Ключевые слова: динамика систем; распределенные параметры; псевдообращение; псевдорешение; функции Грина; терминальное управление; моделирование; толстые упругие плиты.

Stoyan V.A. Modelling and analysis of general solution problems of controlling and observation for the dynamic system with distributed parameters. Manuscript.

The dissertation submitted for the Doctor's degree of Physics and Mathematics. Speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computing methods.

Institute of Cybernetics after V.M. Glushkov, Ukrainian National Academy of Science, Kyiv, 1999.

This dissertation is dedicated to direct and inverse problems of dynamic system with distributed parameters. The problem of building function of Green is solved for the system, dynamics of which is described by differential equation in particular derivatives. General solution is built for initial-boundary problems and for the problems of modelling external dynamic environment in which considered systems are functioned. Optimization algorithm of input and output attributes of such function is built. Problems of observation and terminal controlling for the general case of dynamic system and for the hyperbolic system in the form of fourier series in particular are solved. Example is a solution of three-dimensional problems of dynamic thick and elastic plates with arbitrary configurations.

Key words: dynamic system with distributed parameters; pseudo access and pseudo solution; function of Green; terminal control, modelling, thick and elastic plates thick.

1. Загальна характеристика роботи

У дисертаційній роботі відомі результати по побудові загального псевдорозв'язку систем алгебраїчних рівнянь поширені на задачі псевдообернення блочно-лінійних, функціональних та інтегральних перетворень. Отримані при цьому математичні результати використані для псевдообернення розв'язків систем з розподіленними параметрами за умови, що ці розв'язки представлені через функцію Гріна. Запропонована методика побудови загального розв'язку та моделювання динаміки досліджуваних систем в обмеженій просторово-часовій області. Розв'язані задачі термінального керування та спостереження за цими системами. Узагальнення відомого символічного методу А.І.Лур'є дозволило побудувати функцію Гріна для таких систем, внаслідок чого розглядувані задачі отримали логічно завершений розв'язок, що ілюструється при дослідженні складних динамічних об'єктів механіки суцільного середовища та гіперболічних систем, початково-крайові задачі для яких допускають представлення розв'язку у вигляді рядів Фур'є.

Актуальність теми

Багато задач науки та техніки направлено на дослідження поведінки фізико-механічних об'єктів, функція стану яких визначається системами алгебраїчних, диференціальних та інтегральних рівнянь.

Їз зрозумілих причин повніше розвинуті методи дослідження систем з простою математичною моделлю, та ще й з прямою постановкою задачі, коли визначається функція стану системи, що перебуває в заданому зовнішньо-динамічному середовищі. Задачі керування, спостереження, дослідження динаміки систем за неповної інформації про них вивчені менше. Особливо це стосується динаміки систем з розподіленими параметрами. Проблеми тут починаються з вибору, побудови та ідентифікації параметрів моделі і зростають при розв'язанні початково-крайових задач динаміки таких систем.

Залишаються нерозв'язаними задачі відновлення картини зовнішньо-динамічної обстановки, в якій перебуває система, та вибору цієї обстановки з метою досягнення бажаних цілей для динаміки системи в цілому.

Відомі підходи до розв'язання задач керування системами з розподіленими параметрами (А.Г. Бутковський, А.І. Єгоров, Т.К. Сиразетдінов, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько) дозволяють отримати розв'язки тільки певних задач для окремих класів диференціальних рівнянь. Загального підходу до розв'язання цих задач, як і до розв'язання задач моделювання динаміки таких систем, немає. Ці задачі актуальні і виникають в гідродинаміці, механіці суцільного середовища, в ракетно-космічній галузі, в економіці - скрізь, де об'єктом дослідження є просторово-часовий об'єкт або просторово-часове середовище.

Складність задач зростає, коли область зміни просторово-часових координат обмежена. Універсальних і разом з тим ефективних методів дослідження систем у цьому випадку немає.

На розв'язання зазначених проблем у досить загальній постановці направлені дослідження, виконані в даній дисертаційній роботі.

В основу апарату досліджень покладені ідеї символічного методу А.І.Лур'є по частковому інтегруванню диференціальних систем у частинних похідних, відомі в лінійній алгебрі підходи до побудови загального псевдорозв'язку лінійних алгебраїчних систем, ідеї М.Ф. Кириченка по псевдооберненню розв'язків лінійних динамічних систем дискретного та неперервного аргументів.

Узагальнення символічного підходу А.І.Лур'є дозволило побудувати функцію Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в нескінченній просторово-часовій області, а узагальнення ідей М.Ф.Кириченка - виконати псевдообернення інтегрального представлення функцій стану цих систем, побудувати загальний розв'язок в довільній просторово-часовій області, змоделювати динаміку таких систем та оптимізувати структуру їх математичних моделей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Робота виконувалась у відповідності з планом сумісних наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка та відділу №175 Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України в рамках роботи “Теоретико-множинні методи адаптації та синтезу систем керування за умови структурної невизначеності” по створенню наукової продукції за проектом Державного фонду фундаментальних досліджень 1.4/369, а також пов'язана з науковими грантами №97544 та №97508 Міністерства наук і технологій України по фундаментальних та прикладних дослідженнях.

Мета та задачі дослідження

Метою дисертаційної роботи є поширення методики побудови загального псевдорозв'язку систем лінійних алебраїчних рівнянь та результатів лінійної алгебри по псевдооберненню матриць на системи з розподіленими параметрами для розв'язання прямих та обернених задач динаміки цих систем в обмежених просторово-часових областях, для моделювання динаміки цих систем та керування ними.

Наукова новизна результатів дисертації

Побудована множина псевдорозв'язків систем блочних лінійних алгебраїчних рівнянь, прямокутні блоки-матриці яких поширюються в горизонтальному, вертикальному та горизонтально-вертикальному напрямках задану кількість разів. Сформульовані умови однозначності цього псевдорозв'язку та перетворення його в точний розв'язок. Записані залежності помилки псевдообернення розглядуваних рівнянь в залежності від вектора правих частин та матричних блоків цих рівнянь.

Введене поняття матричних векторів та матричних матриць, виконане псевдообернення їх. Результати псевдообернення матричних рядків, матричних стовпців та матричних матриць поширені на матричні функції одного та двох аргументів.

З використанням матричних функцій, псевдообернених до заданих, побудовані загальні формули псевдообернення інтегральних та функціональних перетворень. При цьому розглянуті комбінації дискретно-неперервних, неперервно-дискретних та неперервно-неперервних входів та виходів. Побудовані множини можливих значень вектор-функцій входу за заданими вектор-функціями виходу. Досліджені умови однозначності псевдообернень, визначена область помилок, які супроводжують псевдообернення розглядуваних систем.

Побудовані формули псевдообернення збурених матричних функцій, значення-матриці яких розширюються (скорочуються) в горизонтальному та вертикальному напрямках.

Результати псевдообернення матричних функцій поширені на системи з розподіленими параметрами. Запропонована методика побудови функції Гріна та розв'язку задач динаміки таких систем в нескінченній просторово-часовій області; розв'язані задачі псевдообернення функцій стану, представлених через функцію Гріна в нескінченній, просторово-нескінченній, часово-нескінченній та обмеженій просторово-часовій областях; розв'язана початково-крайова задача динаміки розглядуваних систем в просторово-, часово-, а також і просторово, і часово-обмежених областях зміни параметрів системи. Побудовані області фіктивних зовнішньо-динамічних збурень, які імітують дію заданих початкових та крайових збурень.

Розв'язані задачі моделювання динаміки систем з розподіленими параметрами в нескінченній, просторово- або часово-обмежених та обмежених в просторі і часі областях. Під моделюванням при цьому розуміємо відновлення зовнішньо-динамічних, крайових та початкових збурень системи, які призвели її до заданого стану. Задачі розв'язуються в дискретній, дискретно-неперервній та неперервній постановках. Побудовані області допустимих значень відтворюваних зовнішньо-динамічних факторів. Визначені умови однозначності в моделюванні. Записані аналітичні вирази для похибок такого моделювання.

Розв'язані задачі спостереження та термінального керування для розглядуваного класу систем. Задачі розв'язані як в дискретній, так і в дискретно-неперервній та неперервній постановках. Окремо виділені постановки та розв'язки задач спостереження та термінального керування для гіперболічних рівнянь, функція стану яких допускає представлення у вигляді рядів Фур'є. Розглянуті різні комбінації дискретності та неперервності спостережень, функцій стану та зовнішньо-динамічних збурень.

Сформульована та розв'язана задача оптимізації параметрів розглядуваних систем в дискретній, неперервно-дискретній та неперервних постановках. Для цього запропонована градієнтна процедура оптимального вибору характеристик входів та виходів системи. Записані необхідні умови оптимальності. Побудовані розрахункові формули для обчислення компонент градієнтних векторів та скінченних приростів функціоналів, що мінімізуються, при стрибкоподібній зміні параметрів системи. Останнє дозволяє досліджувати розглядувані системи як в області псевдорозв'язків (множинних та однозначних), так і при переході від псевдорозв'язку до точного розв'язку задачі.

Отримані в роботі теоретичні результати використані для дослідження динаміки пружної плити довільної конфігурації. При цьому побудована функція стану плити, обмеженої циліндричною поверхнею довільної форми; розглянуто різні комбінації дискретності та неперервності початкових, крайових та поверхневих збурень. Розглянута осесиметрична задача термінального керування пружним шаром.

Практичне значення одержаних результатів

Постановки задач, розглянутих в дисертації, разом з їх розв'язками, отриманими в роботі, дозволяють розв'язати досить широке коло практично важливих проблем, які виникають при науковому та інженерно-конструкторському дослідженні систем, що описуються рівняннями в частинних похідних. Дискретні та неперервно-дискретні розв'язки розглядуваних задач легко доступні для програмування на ЕОМ. Запропоновані в роботі підходи та методи дослідження розглядуваних систем викладалися в ряді спецкурсів для студентів факультету кібернетики за спеціальністю “Прикладна математика”.

Особистий внесок автора

Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться до захисту, отримані автором особисто. В двох публікаціях [9,16] у співавторстві з М.Ф. Кириченком співавтору належить тільки постановка задачі та загальна ідея її розв'язання. Результати, подані в цих роботах, отримав автор. Автор самостійно підготував доповіді [22 - 24].

Апробація результатів дисертації

Основні положення та результати дисертації доповідалися на Всесоюзній конференції “Оптимальне керування в механічних системах” (Київ, 1979), на Міжвузівській конференції по застосуванню обчислюваних, технічних та математичних методів в наукових дослідженнях (Алма-Ата, 1980), на Всесоюзній конференції по теорії та застосуванню функціонально-диференціальних рівнянь (Душанбе, 1987), на 4-й, 7-й Українських та 8-й Міжнародній конференціях “Моделювання та дослідження стійкості систем” (Київ, 1993,1996,1997). Матеріали дисертації обговорювались на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем, кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського університету імені Тараса Шевченка, на наукових семінарах відділів №120, 165, 175 Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України.

Публікації

Матеріали дисертації публікувалися в наукових журналах. Перелік основних статей у кількості 21 стаття наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи

Дисертація викладена на 298 сторінках друкованого тексту і складається із вступу, семи розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, який містить 134 найменування.

2. Зміст роботи

У вступі розкрито сутність наукових проблем, що розглядаються в дисертації, визначена їх актуальність, сформульована мета досліджень, викладений короткий зміст дисертації, зроблений огляд отриманих в ній наукових результатів.

У першому розділі дисертації викладені основні результати лінійної алгебри по побудові загального псевдорозв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, прореферований символічний метод А.І. Лур'є часткового інтегрування рівнянь в частинних похідних, наведені ілюстративні приклади використання останнього до розв'язання задач фізики та механіки деформованого середовища.

Згідно з наведеними в §1.1 співвідношеннями лінійної алгебри загальний псевдорозв'язок системи алгебраїчних рівнянь

, (1)

Із відомих в літературі методів побудови матриці C+, які наведені в §1.1, виділяється формула Гревіля та її псевдообернення. Ці формули дозволяють побудувати рекурентний алгоритм обчислення C+.

У §1.2 наводяться основні положення символічного методу А.І. Лур'є, згідно з яким рівняння



доповнене крайовими умовами по xk k?, може бути формально проінтегроване за змінною xk з подальшим поверненням символам (i=; i?k) їх диференціального змісту. У §1.3 наводиться приклад використання такого підходу до побудови рівнянь динаміки товстих пружних плит, які, як виявляється, узагальнюють відомі в літературі теорії згину пружних плит.

У другому розділі дисертації методика псевдообернення рівняння (1) поширюється на випадок, коли розшукувані вектори u?RM та

(i=; k= пов'язані з відомими векторами Y?RL та Y(k)?RL (k= співвідношеннями

; (5)

B(i)u =Y(i) i= ; (6)

в яких i = k = A(k), B(i), D(i,k)-(L?M)-вимірні матриці, а N,N1,N2??L,M.

Далі до розгляду вводяться матричний стовпець , матричний рядок та матрична матриця , псевдообернені до матричного рядка A1 (·) = (, ..., ), матричного стовпця B1 (·) = (, ..., )T та матричної матриці D1 (·,·) = (str(D(i,k), k=. ), i= відповідно.

У §2.3 доводяться теореми і отримуються аналітичні залежності компонент матричних векторів , та матричної функції від матричних векторів . Звідки при , , отримуються функціональні залежності матричних функцій , та від та відповідно.

У §2.4 з використанням відомих формул Гревіля будуються аналітичні залежності від , , () компонент матричного стовпця , матричного рядка та матричної матриці.

У третьому та четвертому розділах дисертації розглядається динаміка систем, вектор-функція у(х,t) = ((x, t), ..., ym(x,t))T стану яких задовольняє рівнянню

, (14)

де х=(x1, ..., xn) - вектор просторових координат; t - час; ; - матриці відповідних розмірностей.

У §3.2 доводяться теореми, якими дається псевдообернення розв'язку (15) рівняння (14) в області , (. При цьому знаходяться множини керуючих вектор-функцій , де , таких, щоб

 (23)

Далі отримані результати поширюються на розв'язок (15) рівняння (14). Будуються множини значень керуючих вектор-функцій u(s) таких, щоб виконувалися умови (17) - (23), поширені на цей випадок. Аналогічно попередньому записуються помилки псевдообернень, нульове значення яких визначає точний розв'язок задачі, зазначаються умови однозначності виконуваних псевдообернень.

У §3.3 доводиться теорема, згідно з якою розв'язок рівняння (14) в скінченній просторово-часовій області , обмеженій контуром Г, представляється сумою

, (24)

складові якої описують вплив зовнішньо-динамічних збурень , початкових та крайових умов на стан розглядуваної системи. При цьому дія останніх моделюється фіктивними динамічними збуреннями та , що “діють” в областях та відповідно.

У четвертому розділі дисертації розглядаються задачі моделювання динаміки системи (14) з метою відновлення зовнішньо-динамічних збурень u(s), початкового стану та крайових умов за умови, що деякі з цих факторів і стан системи відомі. Задачі розв'язуються в дискретній, дискретно-неперервній та неперервній областях зміни просторово-часових аргументів.

У §4.1 динаміка системи моделюється в нескінченній просторово-часовій області. За умови, що відома вектор-функція стану y(s) у множині дискретних точок , визначається вектор значень керуючої вектор-функції u(s), такий, що

, (33)

де .

У наступних теоремах дається розв'язок задач відновлення зовнішньо-динамічних факторів та згідно критеріїв

; (35)

, (36)

де Y(s) - стан системи, до якого відновлювані зовнішньо-динамічні збурення довели б систему.

Розв'язки задач (33) - (36) представляються через псевдооберені матриці та матричні функції, досліджені в розділі 2.

В §4.2 моделюється динаміка системи (14), яка при нескінченних границях зміни просторових координат функціонує на обмеженому часовому інтервалі за умови, що початковий стан системи визначається співвідношеннями (26), (27).

У § 4.3 моделюється стан та зовнішньо-динамічні умови динаміки системи, що функціонує в обмеженій просторовій області , але без обмежень по часу.

У §4.4 розв'язки задач моделювання зовнішньо-динамічної обстановки та стану системи (14) в частково обмежених просторово-часових областях, які отримані в двох попередніх параграфах, далі узагальнюються з поширенням на динамічні системи з обмеженим часом функціонування в обмеженій просторовій області.

Для випадку, коли початково-крайові умови для системи (14) задаються співвідношеннями (26), (28), будуються множини функцій 0(s), г(s) та (s), якими через , та (формули (25)) моделюється початковий стан системи, умови на контурі області , та зовнішньо-динамічні фактори, що діють на неї. Критерій розв'язання задачі - мінімум відхилень значень функції стану системи від дискретизованих спостережень за нею, або від заданих значень функції стану в початковий момент часу та на контурі області.

У п'ятому розділі дисертації розв'язуються задачі термінального керування системами з розподіленими параметрами та спостереження за ними. Як і при розв'язанні задач моделювання початково-крайового стану, розглядаються випадки, коли система керування функціонує в необмеженій просторово-часовій області, а також в областях обмеженій по просторових координатах, обмеженій по часу, обмеженій і по часу, і по просторових координатах. Окремим класом виділяються гіперболічні системи, функція стану яких допускає представлення у вигляді рядів Фур'є.

У § 5.1 для системи (14) ставляться і розв'язуються задачі знаходження функції , заданої неперервно, або дискретно в точках s1*,…, sM*, такої, щоб

. (44)

Для кожної із розв'язуваних задач в кожній із розглядуваних областей з використанням результатів, отриманих в розділі 3, будуються множини керуючих функцій або її значень, які в загальному випадку є псевдорозв'язком задачі. Вказуються помилки такого псевдорозв'язку. Записуються умови перетворення псевдорозв'язку в точний розв'язок задачі та умови однозначності як псевдорозв'язку, так і розв'язку задачі. При цьому розв'язки розглядуванних задач, як і вище, представляються через псевдообернені матриці, матричні функції та матриці матричних функцій.

У § 5.3 розглядається система

(xS0, t 0) (45)

з наступними початково-крайовими умовами:

У § 5.4 розв'язується задача спостереження для системи (45) за умови, що крайові умови дозволяють представлення функції y(x,t) у вигляді (48). Розв'язується випадок, коли спостереженню доступний один із векторів:

), )Т ; (52)

, )Т , (56)

через які виражені функції ai(t), а отже і функція стану y(x,t) системи (45), за спостереженнями (52)-(56) за нею.

У шостому розділі дисертації розв'язується задача оптимізації структур перших трьох систем, визначених в (11). Оптимізації підлягають множини та точок спостереження за системою та керування нею.

Для мінімізації нев'язок , (і=) в §6.2 пропонується градієнтна процедура. Записуються формули для обчислення компонент градієнтів. У §6.3 розв'язується основна проблема реалізації градієнтних процедур -- будуються розрахункові формули для обчислення похідних від матриці С+.

Запропонована градієнтна процедура може бути використана в області псевдорозв'язків задачі. При переході від псевдорозв'язків до точних розв'язків, як і при переході від множини псевдорозв'язків до єдиного псевдорозв'язку, похідні від псевдообернених матриць та матричних функцій можуть мати розриви, а функціонали, що мінімізуються, - нескінченні прирісти. Для контролю за градієнтним процесом у цьому випадку в §6.4 записуються необхідні умови оптимальності параметрів та . У §6.5 будуються залежності приросту псевдооберненої матриці та матричних функцій від скінченного приросту аргументу (k=, k=).

Сьомий розділ дисертації має прикладний характер. У ньому продовжуються роботи, виконані автором в кандидатській дисертації і прореферовані в §1.3 даної роботи.

Символічний метод А.І. Лур'є дозволив побудувати рівняння динаміки товстих пружних плит в напівтривимірній постановці і побудувати просторові залежності зміщень точок таких плит в нескінченно-вимірній просторово-часовій області. Нерозв'язаними, однак, залишилися питання дослідження динаміки товстих плит скінченних розмірів на обмеженому часовому інтервалі. Методика (див. §3.2) псевдообернення розв'язків рівнянь з розподіленими параметрами, доповнена методикою (див. §3.3) розв'язання сформульованих для них початково- крайових задач, дозволяє ці питання вирішити позитивно.

У §7.1 розв'язуються дві з кількох можливих задач. Інші задачі можуть бути розв'язані аналогічно.

У §7.4 формулюються і розв'язуються задачі переводу стану розглядуваної вище плити на момент часу t=Т в бажаний за умовами, що визначається він функцією . Розглядаються задачі, коли керуючим фактором є поверхневе динамічне навантаження , зміщення на границі та початковий стан плити. При цьому будуються множини допустимих значень кожного з цих факторів за умови, що значення двох інших відомі, а зміщення u(x,z,T) найкраще наближаються до бажаних. Досліджуються умови однозначності цих множин та перетворення їх у точний розв'язок.

Основні результати і висновки

У дисертаційній роботі отримані нові науково-обгрунтовані результати в області дослідження динаміки систем з розподіленими параметрами, які в сукупності розв'язують складну проблему побудови розв'язку початково- крайової задачі, моделювання зовнішньо-динамічного средовища, в якому система функціонує, а також задач керування та спостереження для цих систем.

Результати лінійної алгебри поширені на матричні функції та матриці матричних функцій.

Відомі формули Гревіля та їх обернення узагальнені на матричні вектори та матричні функції.

Побудовані аналітичні залежності збурених псевдообернених матричних векторів та матричних функцій від збурюючих факторів та їх початкового стану.

Розв'язані задачі псевдообернення блочно-лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних перетворень.

Побудована функція Гріна динаміки систем з розподіленими параметрами в нескінченно-вимірній просторово-часовій області.

Розв'язана початково-крайова задача динаміки систем з розподіленими параметрами в нескінченних і скінченних просторово-часових областях.

Розв'язана задача моделювання зовнішньо-динамічного середовища, в якому функціонує система з розподіленими параметрами.

Побудовані загальні розв'язки задач термінального керування системами, динаміка яких описується диференціальними рівняннями в частинних похідних загального типу та гіперболічними зокрема.

Побудовані розв'язки задач спостереження за системами з розподіленими параметрами взагалі і гіперболічними системами зокрема.

Сформульовані і розв'язані задачі оптимізації параметрів лінійних, інтегральних та функціональних перетворень.

Побудована обчислювальна процедура оптимізації вибору точок спостереження за системами з розподіленими параметрами та керування ними.

Розв'язана тривимірна задача динаміки товстих, пружних плит скінченних розмірів з довільною конфігурацією бокової поверхні.

Розв'язана задача термінального керування товстою пружною плитою скінченних розмірів через поверхневі динамічні навантаження, початковий стан та зміщення точок торцевої поверхні.

На основі проведених досліджень можна зробити наступні висновки:

Поєднання класичних методів дослідження задач механіки твердого деформованого середовища та результатів матричної алгебри виявилося досить вдалим, оскільки дозволило розв'язати ряд задач динаміки складних для математичного дослідження систем з розподіленими параметрами.

Отримано ряд теоретичних результатів по узагальненню класичних питань лінійної алгебри та поширенню їх на системи неперевного аргументу.

Результати дисертації можуть бути використані для теоретичних досліджень, для моделювання та інженерно-конструкторських розрахунків динаміки конкретних систем з розподіленими параметрами.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях

1. Стоян В.А. Про рівняння і розв'язок однорідної осесиметричної задачі динаміки пружного шару // Доп. АН УРСР. Сер: А. - 1979. - № 9. - С.733-735.

2. Стоян В.А. Решение пространственной осесимметричной краевой задачи эластодинамики толстых плит // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1979. - № 10. - С. 826-830.

3. Стоян В.А. Про один підхід до розв'язання просторових осесиметричних задач еластодинаміки товстих плит // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1981. - №12. - С. 40-43.

4. Стоян В.А. Метод обобщенных координат в задачах динамики механических объектов в условиях неопределённости // Проблемы управления и информатики. - 1995. - №6. - С. 63-69.

5. Стоян В.А. Про розв'язок тривимірної задачі динаміки пружного шару // Вісн. Київ. Ун-ту. Сер.: фізико - математичні науки. - 1997. - № 1. - С.209-217.

6. Стоян В.А. Про множину поперечних динамічних зміщень товстих плит скінченних розмірів // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: фізико - математичні науки.-1997. - № 2. - С. 249-256.

7. Стоян В.А. Про задачу спостереження для гіперболічних систем // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: фізико - математичні науки. - 1997. - № 4. - С. 206-212.

8. Стоян В.А. Про множину термінальних керувань для одного класу систем з розподіленими парамерами // Доп. НАН України. - 1997. - №10. - С.113-116.

9. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. О терминальном управлении динамикой толстого упругого слоя // Доп. НАН України. - 1997. - №11. - С. 99-103.

10. Стоян В.А. О терминальном управлении гиперболическими системами // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №4. - С .25-30.

11. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Проблемы управления и информатики.-1998. -№1. - С.79-86.

12. Стоян В.А. Псевдообращение интегральных операторов в задачах наблюдения, терминального управления и моделирования динамики систем с распределенными параметрами // Проблемы управления и информатики. -1998. - №4. - С. 112-120.

13. Стоян В.А. Метод псевдообернених матриць в задачах динаміки систем з розподіленими параметрами // Доп. НАН України. - 1998. - №7. - С.108-112.

14. Стоян В.А. Про задачу спостереження для систем з розподіленими параметрами // Доп. НАН України. -1998. - №9. - С. 121-125.

15. Стоян В.А. Про формули обернення дискретно - спостережуваних функцій стану систем з розподіленими параметрами // Доп. НАН України. -1998. - №11. - С. 106-111.

16. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных преобразований // Кибернетика и системный анализ. - 1998. - №3. - С. 90-104.

17. Стоян В.А. К оптимизации псевдообращений линейных пространственно - временных преобразований // Кибернетика и системный анализ. - 1998. - №6. - С. 20-28.

18. Стоян В.А.О псевдообращении интегральных операторов в динамике систем с распределенными параметрами // Кибернетика и вычислительная техника. - 1997. - Вып.115. - С. 45-52.

19. Стоян В.А. Псевдообращение возмущенных и невозмущенных вектор-функций Грина для систем с распределенными параметрами // Проблемы управления и информатики. - 1999. - № 1. - С. 23-30.

20. Стоян В.А. О конечных приращениях невязок псевдообращений линейных пространственно - временных преобразований // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - №1. - С.73-84.

21. Стоян В.А. Об оптимизации моделей динамики систем с распределенными параметрами. // Проблемы управления и информатики. -1999, №2. C. 100-111.

22. Стоян В.А.,Абдужабборов А.А. О моделировании на ЭВМ задач минимаксного оценивания состояния упругой балки // Тез. III Всесоюз. rонф. “Оптимальное управление в механических системах”. - Киев, 1979. - С. 98-100.

23. Стадник О.И.,Стоян В.А. О моделировании на ЭВМ задач минимаксного оценивания состояния линейных динамических систем // Межвуз. конф. по применению вычисл. техники и мат. методов в научных исследованиях.-Алма-Ата.: Изд-во КазГУ. - 1980. - С. 33.

24. Бублик Б.М.,Стоян В.А. Про мінімаксні фільтри малих коливань механічних систем // IV Укр. конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем”. Тез. докл. Ч.1. - К.: О-во “Знание”, 1993. - С. 22-23.

25. Стоян В.А. Минимаксное оценивание решения дифференциальных уравнений механики упругих объектов // Тез. докл. “Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений”.-Душанбе: Изд-во ТаджГУ. - 1987. - С. 56-58.

26. Стоян В.А. Дослідження динаміки одновимірного пружного об'єкта в умовах невизначеності // VII Укр. конф. “Моделирование и устойчивость систем: Тез. докл. - К, 1996. - С. 118.

27. Стоян В.А. Про побудову множини термінальних керувань для фізико-механічних систем з розв'язками у вигляді рядів Фур'є // Intern. Conf. “Modelling and investigation of systems stability”: Thesis of conf. Reports. - K., 1997. - C. 116.

Размещено на Allbest.ru

...