Моделювання фізичних полів методами теорії r-функцій та нечіткої логіки

Розробки складають основу для розвитку систем серії «Поле» з предметною

областю, що включає стохастичне моделювання. Результати роботи впроваджені у відділі прикладної математики та обчислювальних методів ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України при виконанні держбютжетної теми «Високоінтелектуальні системи програмування, орієнтовані на використання алгебраїзованих структурних формул розв'язання крайових задач».

Публікації. За темою дисертації опубліковані 19 друкованих праць: 6 статей

(з них 3 - у збірниках наукових праць, 3 - депоновані у ВІНІТІ), 5 тез доповідей в працях міжнародних наукових конференцій та 8 інформаційних листків ХОРПНТЕІ при Міністерстві України у справах науки та технологій.

Особистий внесок здобувача в роботи, опубліковані у співавторстві. В усіх зазначених публікаціях автор приймав участь у розробці теоретичних положень, алгоритмів та їх реалізації на ПЕОМ. Крім того, автору належать: в роботах [1,4,9,10,13] - методи та алгоритми моделювання реальних фізичних полів, що враховують стохастичний характер технологічних допусків для геометричної та фізичної інформації, в [2] - методи моделювання геометричних об'єктів із використанням теорії R-функцій та нечіткої логіки; в [7] - розробка інтервальних обчислювачів в середовищі «Поле»; у роботах [3, 6, 17] - дослідження шляхів удосконалення спеціалізованих систем аналізу фізико-механічних полів.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на Всеукраїнській міжнародній конференції «Розробка та застосування математичних методів в науково-практичних дослідженнях», присвяченій 70-річчю від дня народження професора П.С. Казимірського (м. Львів, 1995 р.); Міжнародній конференції «Теорія і техніка передачі, приймання та обробки інформації» (м. Туапсе, 1995,1996 рр.); Міжнародній конференції «Parallel simulation of complex systems and large-scale application» (м. Делфт, Нідерланди, 1996 р.); Міжнародній конференції «Математичні моделі та чисельні методи механіки суцільних середовищ» (м. Новосибірськ, 1996 р.) та на XIV Міжнародній конференції з інтервальної математики (м. Новосибірськ, 1998 р.).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох глав, висновків, списку використаних джерел із 121 найменування, 22 малюнків, 4 таблиць, 123 сторінок друкованого тексту. Усього 131 сторінка.

Зміст роботи

нечіткий моделювання стохастичний двовимірний

У ВСТУПІ обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі роботи, її наукову новизну та практичну цінність, і подана її загальна характеристика.

ПЕРША ГЛАВА присвячена обґрунтуванню розробки методів моделювання фізико-механічних полів з врахуванням технологічних допусків, похибок вимірів та помилок округлення. Описані основні напрямки розробки методів та алгоритмів моделювання. В основу розробки покладені ідеї теорії R-функцій, яка дозволяє вирішувати крайові задачі математичної фізики в областях складної конфігурації, нечіткої логіки, що дозволяє моделювати нечіткі розв'язки.

Наведені необхідні для теоретичних розробок відомості з теорії R-функцій та структурних методів, котрі стосуються моделювання геометричних об'єктів та побудування наближених рішень (структур рішень) крайових задач. Розглянуто варіаційні методи, що використовуються. Виконано аналіз сучасних засобів нечіткої логіки відповідно до поставлених задач.

Досліджені основні напрямки реалізації підходів, що досліджуються, за допомогою конструктивних методів інтервального аналізу та паралельних обчислень.

В ДРУГІЙ ГЛАВІ наводиться опис методів врахування допусків при моделюванні фізичних полів, методики моделювання методами теорії R-функцій та нечіткої логіки та алгоритмів обчислювання функції належності. Запропоновані підходи до опису об'єктів в класі функцій нечіткої логіки та R-функцій, побудування нечіткого розв'язку задачі, обчислювання функції належності поточного рішення, та отримання на її основі експертного висновку про прийнятність знайденого рішення.

Для ілюстрації нечіткості реальної задачі моделювання розглянемо задачу Діріхле для диференціального рівняння загального вигляду. Припустимо, задана область D та крайові умови з врахуванням допусків:

Змінюючи допуски на геометрію та крайові умови в заданих межах, отримуємо допуски на розв'язок U, яким повинен задовільняти розв'язок реальної крайової задачі.

Методика моделювання, що запропонована, для задачі аналізу складається з таких етапів:

побудування моделі, що враховує розмитість;

побудування нечіткого аналітичного опису області D за допомогою методів теорії R-функцій та нечіткої логіки;

генерування вибірки поточних об'єктів за допомогою варіації фізичних величин в межах допусків на крайові умови;

розв'язок крайової задачі для кожного елемента вибірки;

формування інтервалів з можливих розв'язків крайової задачі (формування допусків на розв'язок);

побудування моделі поточної крайової задачі;

обчислення функції належності для поточної області відносно еталонної;

розв'язання поточної задачі та експертний висновок про прийнятність знайденого розв'язку.

В результаті проведених досліджень встановлено зв'язок між теорією R-функцій та нечіткою логікою. В нечіткій логіці виконуються всі закони алгебри логіки, крім законів виключення третього та суперечності , . Доповнимо систему тотожностей нечіткої логіки узагальненими законами виключення третього та суперечності

де константа є центр множини [0,1].

Тоді будуть мати місце твердження.

Твердження 1. Функції нечіткої логіки є умовними R-функціями на відрізку [0,1], що визначаються поділенням:

в трьохзначному та двозначному випадках відповідно.

Тведження 2. Функції алгебри логіки є супровідними для умовних R [0,1] - функцій.

Доведено теореми.

Теорема 1. Множина {R [0,1]} умовних R-функцій є функціонально замкненою.

Теорема 2. Система R-функцій

є достатньо повною в множині умовних R-функцій.

Розглянуто питання алгоритмізації моделювання фізико-механічних полів, котрі містять в собі побудування функції належності поточної геометричної області нечіткій області. Складну нечітку множину можна розглядати як множину, побудовану за допомогою операцій перетину, об'єднання та заперечення з простих нечітких множин, для яких функції належності відомі. Припустимо, побудований теоретико-множинний опис складної нечіткої множини D з початкових нечітких множин . Якщо в описі D виконати заміну множин на відповідні функції , знаків на min, на max, на , то знайдемо функцію належності складної нечіткої множини.

Функції належності частіше всього задаються обчислювальними функціями, тобто алгоритмами обчислень. Дослідження, що були проведені, показали, що для побудування функції належності є раціональними наступні алгоритми: клас характеристик по дискретній множині характерних точок та клас інтегральних характеристик. В першому випадку будуємо опис області розмиття границі та знаходимо відношення кількості характерних точок границі, в яких функція розмиття більше нуля до загальної кількості характерних точок. У другому класі алгоритмів функція належності знаходиться як відношення інтегралів по контуру та площі перетину поточної області з нечіткою областю до відповідних інтегралів поточної області.

Розглянемо модель фізичного поля, наприклад, задачу Діріхле. Чітку модель поля будемо позначати через т:

.

Їі розв'язок структурним методом будується у вигляді:

де - аналитичний опис області D;

- невизначені коефіцієнти;

- функція, що продовжує крайові умови всередину області.

Відповідно до наведених вище джерел нечіткості побудуємо нечітку модель поля:

яку будемо позначати через М. Для вибірки потрібно отримати нечіткий розв'язок:

Через позначимо модель, що враховує варіювання фізичних величин в межах заданих допусків, а через - модель, що враховує варіювання геометричних характеристик.

Модель буде мати вигляд:

Модель

Розв'язок задачі структурно-варіаційним методом, що представлена моделлю , зводиться до k систем линійних алгебраїчних рівнянь, що відрізняються тільки стовпцем вільних членів. Тому необхідно використати метод Гаусса для вирішення систем рівнянь з k правими частинами. При вирішенні задачі, що представлена моделлю , отримаємо k різних систем рівнянь. В цьому випадку для підвищення швидкодії процесу їх вирішення доцільно використовувати розпаралелювання обчислювального процесу по задачах.

Розглянемо питання формування вибірки та інтервального розв'язку. Розмиття описується нормальним законом розподілу, де - деякий довірчий інтервал. Генеруючи в межах довірчого інтервалу випадкові послідовності, формуємо вибірку. Для моделі генеруємо випадкові послідовності для крайових умов, для моделі - послідовності для геометрії. В результаті реалізації вибірки отримуємо розв'язки.

Інтервальний розв'язок доцільно представити в дискретному вигляді, який отримуємо наступним чином. За допомогою сканування нечіткої області D та табулювання у кожному вузлі заданої дискретної сітки, знаходимо математичне сподівання, дисперсію та надійний інтервал. Нечіткість розв'язку визначається за допомогою математичного сподівання та надійного інтервалу: . Інтервальні розв'язки є основою для побудування експертних систем.

В даних методах важливо, щоб для інтервального розв'язку зберігався той же закон розподілу, що і для початкових даних. Згідно з центральною граничною теоремою Ляпунова, цього можна досягнути, якщо накопичена погрішність не буде домінувати над методичною. Тому доцільно розглянути проблему врахування похибок округлення, які виникають в процесі розв'язання крайових задач.

ТРЕТЯ ГЛАВА присвячена питанням реалізації запропонованих підходів моделювання в обчислювальному середовищі «Поле», розробці моделей обчислювального процесу на основі інтервального аналізу та розпаралелювання алгоритмів моделювання фізичних полів.

Досліджені можливості вирішення проблем врахування помилок округлення, що виникають в процесі вирішення крайових задач математичної фізики. Для цього пропонується використовувати конструктивні засоби інтервального аналізу (методику проф. Kubota, Токіо), які дозволяють здійснити оцінку помилок округлення за допомогою методів автоматичного диференціювання. Повна формалізація обчислювального процесу за допомогою кортежної алгебри дозволила автоматизувати процеси вирішення крайових задач в системі «Поле». При розробці функціонального наповнення системи була прийнята стратегія чисельно-аналітичного диференціювання з використанням поняття диференціального кортежу. Суть алгоритму диференціювання полягає в наступному. Обчислення похідних високого порядку від основних функцій (додавання, множення, елементарні функції та ін.) може бути здійснено по точним алгоритмам на ЕОМ. Такі обчислення отримали назву кортежних операцій. В результаті їх виконання обчислюються диференціальні кортежі (значення функції та їх частинних похідних до заданного порядку, які разом з кортежними операціями підлягають законам кортежної алгебри).

При цьому обчислювальний процес можна представити у вигляді r кроків, кожний з яких виконує основні операції та запам'ятовує їх значення у проміжних змінних , j=1,…, r.

Як показано в роботах японських вчених Koichi Kubota, Masao Iri, Takashi Tsuchia, Mamoru Hoshi та інших, накопичена помилка округлення в обчисленному значенні функції дорівнює різниці між значенням функції з помилкою та функції без помилки ( и ):

.

Дана формула є виразом для верхньої межі абсолютного значення помилки округлення. Для обчислення значення виявилося ефективним застосувати формули для диференціювання арифметичних операцій, що застосовується в алгебрі диференційних кортежів. Досліджено питання використання базових формул автоматичного диференціювання алгебри диференційних кортежів в методиці проф. Kubota.

Таким чином, основу алгебри диференційних кортежів і оцінки помилок округлення складає один і той же базис - формула чисельно-аналітичного диференціювання. Це дозволяє на одних і тих же обчисленнях похідних виконувати роботу по розв'язку крайових задач і одночасно враховувати помилки округлення, що дає можливість оптимізувати обчислювальний процес.

Досліджені можливості застосування методики оцінки помилок округлення для підвищення точності виконання операцій алгебри диференціальних кортежів. Побудовані інтервальні обчислювачі для арифметичних операцій зі скінченною точністю, тобто з врахуванням помилок округлення, які підвищують ефективність реалізації кортежних операцій.

Наведемо приклад побудування формули для обчислення помилок округлення для операції множення двох кортежів.

.

Введемо наступні позначення для проміжних змінних:

; ; .

Згідно з запропонованою в дисертації методикою використання формули автоматичного диференціювання вираз для верхньої межі абсолютного значення помилки округлення отримуємо у вигляді:

Аналогічно отримуємо вирази верхньої границі помилки округлення для інших операцій кортежної алгебри.

Використання інтервальних обчислювачів приводить до збільшення об'єму робіт, тому актуальними є питання паралельних реалізацій. Розглянуто розпаралелювання для алгебри диференційних кортежів та інтервальних обчислювачів, яке засноване на ярусно-паралельних формах. Побудовані паралельні операторні схеми для обчислення диференціального кортежу функції, кортежних операцій та запропонованих інтервальних обчислювачів. Розглянуті питання розпаралелювання загальної схеми вирішення крайових задач. Запропоновані підходи використовуються при проектуванні систем серії «Поле» для обчислювальних комплексів паралельної дії.

В ЧЕТВЕРТІЙ ГЛАВІ наведені результати чисельних експериментів з використанням обчислювального середовища «Поле» по визначенню надійності та ефективності розроблених методів та алгоритмів на прикладі модельних задач. Досліджено задачу Діріхле для рівняння Пуассона та змішану крайову задачу для рівняння Пуассона в двозв'язних областях складної форми. Експериментально досліджено збіжність процесу. Застосована наступна схема чисельного експерименту: відповідно до розділу 2 генеруємо вихідну вибірку потужності п; знаходимо нечіткий розв'язок крайової задачі; для кожного елемента вибірки знаходимо функцію належності нечіткому рішенню ; обдчислюємо оцінку якості розв'язку за формулою

.

При достатній потужності вибірки (п>100) оцінка якості повинна бути близької до 1. Проведені експерименти для різних п і для різних виборок. Аналіз результатів показав високу стійкість та експериментальну збіжність процесу.

Основні результати та висновки

На основі теорії R-функцій та нечіткої логіки розроблені конструктивні методи та алгоритми моделювання фізико-механічних полів, які дозволяють враховувати технічні та технологічні допуски на фізичну та геометричну інформацію, похибки вимірів, помилки округлення, та на основі виявлення їх комплексного впливу на розв'язок робити експертний висновок. Запропоновані моделі фізичних полів, що враховують допуски на фізичні та геометричні дані. Методика дозволяє отримувати допуски на розв'язок за допомогою варіювання цих величин в межах заданих допусків, а потім робити експертний висновок про прийнятність знайденого розв'язку.

2. Досліджено зв'язок теорії R-функцій та нечіткої логіки. Здійснено вибір конструктивних засобів теорії R-функцій для моделювання - множина умовних R [0,1] R-функцій, в якій виконані необхідні функціональні побудови.

3. Розглянуті підходи до застосування методів інтервальної арифметики.

Побудовані інтервальні обчислювачі арифметичних операцій з врахуванням помилок округлення, які підвищують ефективність реалізації алгебри диференційних кортежів, яка лежить в основі обчислювального процесу при вирішенні крайових задач. Обчислювачі, що запропоновані, дозволяють конструювати формули для визначення верхньої межі абсолютного значення помилок, що розглядаються. Наведені приклади обчислення оцінок помилок округлення для операцій множення двох кортежів, зворотного елементу для множення, квадратного кореня, степеневої та логарифмічної функції, диференціювання суперпозиції функцій.

4. Досліджені можливості розпаралелювання обчислювального процесу на основі ярусно-паралельних форм. Побудовані паралельні операторні схеми для підвищення швидкодії. Наведені зручні для розпаралелювання обчислювальні графи для інтервальних обчислювачів, що пропонуються. Вивчені також можливості використання методів розпаралелювання при обчислюванні диференційного кортежа функції. Розглянуті різні підходи до розпаралелювання алгоритмів моделювання фізичних полів: розпаралелювання по потокам по потокам інформації, операторне та операційне розпаралелювання. Запропоновано поєднання даних підходів за допомогою використання методу послідовного поглиблення.

5. Проведений ряд чисельних експериментів по дослідженню надійності та ефективності розроблених алгоритмів та програм.

6. Результати, що отримані, застосовуються для розширення можливостей системи «Поле» на випадки вирішення крайових задач, в постановці яких суттєву роль грають допуски на фізичну та геометричну інформацію, погрішності вимірів та помилки округлення.