Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

імені А.М. ПІДГОРНОГО

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

кандидата фізико-математичних наук

Зуб Станіслав Сергійович

Харків - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному аерокосмічному університеті

ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”, Міністерство освіти України, м. Харків

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. Наук, професор Рашкован Василь Маркович, Державний аерокосмічний університет імені М.Є. Жуковського “ХАІ”, професор кафедри ЕСУД КЛА “ХАІ”

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. Наук, професор Козоріз Василь Васильович, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, професор кафедри автоматичного керування; доктор технічних наук, професор Шейко Тетяна Іванівна, Інститут проблем машинобудування імені А.М. Підгорного НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Дніпропетровський державний університет, кафедра обчислювальної математики та математичної кібернетики, Міністерство освіти України, м.Дніпропетровськ

Захист відбудеться “1” липня 1999р. о 14:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування імені А.М.Підгорного НАН України за адресою: 310046, Україна, м.Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України (310046, Україна, м.Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10).

Автореферат розіслано “28” травня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук Б.П. Зайцев

Загальна характеристика роботи

Питання щодо безконтактної статичної рівноваги тіл, взаємодіючих за допомогою далекодіючих сил, ставилось неодноразово, але до цього часу залишається відкритим. Невідомо жодного загального підходу до знаходження стійкої рівноваги у таких системах. Навпаки, є декілька теорем, що заперечують можливість такої рівноваги. Перша та найвідоміша з них - це теорема Ірншоу, що відкидає можливість стійкої статичної рівноваги у системі точкових електричних зарядів. Інші теореми розповсюджують її на випадок заряджених тіл (Браунбек, Стреттон, Смайт, Тамм).

На сьогодні залишаються невідомими теореми, що заперечують існування безконтактної статичної рівноваги у магнітних системах. У зв'язку з цим природнім є питання: чи можлива стійка статична рівновага тіл, що взаємодіють виключно магнітними силами?

Якщо існує конфігурація магнітних тіл, у якій здійснюється така статична рівновага, то її можна назвати магнітною потенційною ямою (МПЯ).

Актуальність теми. Відсутність конкретних конфігурацій з МПЯ і загальних підходів до її знаходження та наявність відомих теорем в електростатиці роблять проблему існуванні МПЯ актуальною за фізичної і математичної точки зору. Близька до неї проблема магнітної левітації має важливе науково-технічне значення, однак і в ній досі природу стійкості магнітнолевітуючих систем теоретично вивчено недостатньо.

Впровадження таких безконтактних підсистем, у тому числі на основі високотемпературної надпровідності, до електротехнічних силових та керуючих систем вимагає теоретичної основи. Теоретичні роботи (Уайта-Вудсона, Козоріза та інш.) не дають загального апарату для опису змішаних систем, що включають як постійні магніти, так і надпровідні котушки, тобто є необхідність у створенні нових математичних моделей, що адекватно описують розширений клас електро-механічних систем.

Мета та задачі дослідження. Основною метою роботи є створення нових математичних моделей для опису магнітно-взаємодіючих систем і доведення існування МПЯ, а також виявлення і математичний аналіз фізичних механізмів забезпечення стійкості у системах з МПЯ та магнітною левітацією.

Для досягнення цієї мети вирішуються наступні задачі:

модифікація лагранжевого формалізму для опису розширеного класу електромеханічних систем, що включають постійні магніти та надпровідні котушки;

отримання нових аналітичних формул для взаємної індуктивності, силових та енергетичних характеристик систем, що складаються з провідних контурів кільцевої форми, довільно орієнтованих один до одного, та розробка алгоритмів, щодо їх обчислення;

розробка достатнього набору символьних та числових інструментів для аналізу стійкості систем, що досліджуються;

дослідження стійкості у системах, що складаються з надпровідних котушок та постійних магнітів, і є перспективними з точки зору реалізації МПЯ або магнітної левітації;

визначення скалярного потенціалу та поля магнітного диполя всередині надпровідної сфери, а також знаходження магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери та дослідження стійкості рівноваги у такій системі.

Методи дослідження. Для виведення лагранжевого формалізму та знаходження функції Лагранжа, що описує взаємодію класу систем, що розглядається, використовувалися методи аналітичної механіки.

Для доведення теореми про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполей та при вирішенні задачі щодо левітації магнітного диполя всередині надпровідної сфери використовувались також методи математичної фізики та теореми теорії гармонічних функцій.

Наукова новина отриманих результатів. Приведено низку конструктивних доведень існування МПЯ для істотно різних конфігурацій магнітних тіл. Показано, що механізм забезпечення стійкості рівноваги в досліджених системах має кооперативний характер, тобто є пов'язаним з взаємним впливом тіл системи за умови існування незгасаючих надпровідних струмів. Розроблено лагранжевий формалізм для опису взаємодії постійних магнітів та надпровідних котушок, який, зокрема, забезпечує універсальний спосіб отримання магнітної потенційної енергії у таких системах. Отримано нові формули для обчислення взаємної індуктивності лінійних провідників кільцевої форми. Проведено повне аналітичне дослідження стійкості нових математичних моделей МПЯ та магнітної левітації. Знайдено аналітичне розв'язання крайової задачі Неймана для магнітного диполя всередині надпровідної сфери. Доведено існування просторової МПЯ в центрі сфери та магнітної левітації у присутності однорідного поля сили тяжіння.

Достовірність результатів забезпечується збігом результатів та висновків дисертації, що базуються на запропонованій теорії з відомими експериментальними та теоретичними даними, які були отримані іншими авторами; співпаданням рішень задач, отриманих незалежно аналітичними та числовими методами, що базуються на різних підходах.

Практична цінність дисертаційної роботи полягає у відкритті принципово нових можливостей для вирішення ряду технічних проблем у:

космічній техніці: системи безконтактного утримання у невагомості; системи плавного стикування та захоплення;

транспорті: системи магнітної левітації, що працюють у статиці та у динаміці;

енергетиці: швидкісні підшипники без тертя;

точному машинобудуванні: гіроскопи, гравіметри, вага, SQUIDs та інш.;

прискорювачах твердих тіл, магнітних вловлювачах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота за держбюджетною темою Г402-20/95- “Дослідження та створення надпровідних прискорювачів магнітних тіл та плазми нового покоління” вимагає розв'язання не тільки проблем технічного характеру, але також низки принципових фізичних задач динаміки систем, що складаються з електромагнітів та надпровідних котушок. Теоретичне дослідження таких систем вимагає створення нових математичних моделей стабільних динамічних конфігурацій магнітних тіл. Існують суттєві обчислювальні труднощі щодо теоретичної оцінки силових та енергетичних характеристик магнітної взаємодії елементів прискорюючої системи. Розв'язанню цих проблем присвячено один із пунктів третього розділу дисертації. Отримані результати використовуються при проведенні оціночних розрахунків у прискорювачах маси, що проектуються.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові та прикладні результати дисертаційної роботи пройшли випробування на конференціях, симпозіумах та наукових семінарах: “40th Annual Conference Magnetism and Magnetic Materials” (Philadelphia, USA, 1995); “4th International Conference of New Leading edge technology” (Харків, Україна, 1996); “4th International Conference of Technologies in Machine Building” (Харків, Україна, 1996); “International Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems” (Braunschweig, Germany, 1997)”; “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, Україна, 1997), а також на семінарах у Державному аерокосмічному університеті імені М.Є.Жуковського “ХАІ", Інституті проблем машинобудування імені А.М.Підгорного НАН України, Київському університеті імені Тараса Шевченко, Дніпропетровському державному університеті.

Публікації. Основні результати дисертації були опубліковані у 10 друкованих працях, із них 6 - статті у журналах та збірках наукових праць [1-6], 4 - тези наукових конференцій [7-10], перелік яких надається у кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. У роботі [1] дисертанту належить програмна реалізація та числове вирішення тестових задач, у [2]- модифікований варіант лагранжевого формалізму, у [3] - доведення існування МПЯ, у [4] - аналітичні формули магнітного скалярного потенціалу, магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери та доведення існування просторової МПЯ для диполя всередині надпровідної сфери, у [5] - аналітичні формули та алгоритми обчислення взаємної індуктивності, силових та енергетичних характеристик для систем провідних контурів кільцевої форми при їх довільній орієнтації один до одного, у [6-10] - алгоритми та їх програмна реалізація.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, а також додатків, що являють собою повний набір працюючих документів системи комп'ютерної алгебри MapleV. Повний об'єм дисертації становить 123 сторінки, у тому числі 10 рисунків та 45 найменувань літератури; об'єм додатків становить 67 сторінок.

Основний зміст роботи

У першому розділі поставлено проблему безконтактної статичної рівноваги і на основі аналізу літературних джерел показано, що вона може бути вирішеною тільки в класі магнітних систем або систем, у яких поряд з магнітними силами діють сили іншої фізичної природи. Дано визначення магнітної потенційної ями та підкреслюється відмінність між магнітної левітацією та МПЯ.

Приведено основні теоретичні та експериментальні результати, що стосуються проблеми безконтактної рівноваги, і на основі критичного аналізу дана оцінка внеску дослідників в розв'язання проблеми.

Виділено основні фізичні ефекти, які можуть стати основою вирішення задач магнітної левітації та МПЯ, а саме, ефект МПЯ Козоріза та ефект діамагнітного відштовхування Браунбека.

Показано, що незважаючи на експериментальні та теоретичні результати, що є у цій області, не один із них не є спростуванням сформульованої у літературі гіпотези про нестійкість магнітних систем, а тим більше не дає відповіді на питання про існування МПЯ.

У другому розділі проведено порівняльний аналіз загального підходу, що базується на застосуванні апарату диференціальних рівнянь в частинних похідних для електромагнітного поля, та квазістаціонарного наближення, що зводить опис електромагнітної взаємодії між лінійними провідниками до апарату звичайних диференціальних рівнянь.

Зроблено висновок про те, що теоретико-польовий підхід вимагає вирішення крайової задачі Неймана для декількох, у загальному випадку многозв'язних магнітних тіл. Такий підхід практично виключає отримання точних аналітичних рішень. Однак для однозв'язного надпровідного тіла максимально симетричної простої форми (сфера), як відомо, можливо отримати вирішення у вигляді рядів за сферичними функціями, які сходяться , що і використано у третьому розділі для вирішення задачі про магнітний диполь всередині надпровідної сфери.

Показано, що для дослідження стійкості у багатоелементних системах многоозв'язних тіл більш ефективним є квазістаціонарне наближення для електромагнітного поля , яке дозволяє звести задачу про систему з нескінченним числом ступенів свободи до задачі про систему з кінцевим числом ступенів свободи.

Важливою перевагою квазістаціонарного наближення (у межах його застосування) є можливість лагранжевого опису динаміки лінійних провідників. Зокрема, у рамках лагранжевого підходу є можливість ввести потенційну енергію та обчислювати на її основі сили та моменти сил, що значно спрощує дослідження стійкості.

Однією з основних характеристик магнітної взаємодії у квазістаціонарному наближенні є взаємна індуктивність тіл системи, через яку виражається потенційна енергія системи, а отже, і силові характеристики. Однак, для тіл довільної форми обчислення взаємної індуктивності становить складну задачу, тому запропоновано вибирати модельні тіла максимально простої симетричної форми, а саме, надпровідні кільця та магнітні диполі.

Описується технологія прикладних математичних досліджень на основі використання системи комп'ютерної алгебри MapleV. Ця технологія дозволяє у процесі вирішення поставленої задачі отримати сукупність працюючих документів MapleV, які містять всі проміжні результати та взаємоперевірки, а набір розроблених інструментів дає основу для вирішення аналогічних задач.

У третьому розділі була здійснена модифікація стандартного лагранжевого формалізму, викладеного в першому розділі, для опису розширеного класу модельних тіл, що включає до себе як магнітні диполі, так і ідеально провідні контури. Ці об'єкти мають особливості, які погано враховуються існуючим варіантом лагранжевого формалізму.

Показано, що постійність магнітного моменту диполя при його моделюванні петлею зі струмом може трактуватися як голономнореономний зв'язок. Для використання лагранжевого підходу при описі такої системи необхідно врахувати зв'язки цього типу, тобто виключити пов'язані з ними залежні змінні.

Крім того, присутність у системі ідеальних провідних контурів призводить до циклічності відповідних електричних координат. Проте відповідні циклічним координатам швидкості (струми) залежать від часу та входять явним чином до базових співвідношень стандартного лагранжевого формалізму. Для виключення циклічних координат використовується метод Рауса. магнітний потенційний енергія левітація

Наведена система, яку ми отримуємо внаслідок врахування зв'язків та виключення циклічних координат, має функцію Лагранжа, що залежить тільки від механічних позиційних координат та швидкостей. Таким чином, даний варіант лагранжевого формалізму дає універсальний спосіб отримання магнітної потенційної енергії систем цього класу:

, (1)

де - симетрична квадратна матриця індуктивностей надпровідних контурів ;

- симетрична квадратна матриця індуктивностей контурів із заданим струмом , що є моделлю постійного магніту;

-прямокутна матриця індуктивностей, що описує взаємодію контурів різного типу та відповідає правому верхньому блоку вихідної матриці індуктивностей , де у системі контурів, з котрих контурів надпровідні, а контури із заданими струмами;

- постійні струми, що відповідають постійним магнітним моментам;

- інтеграли руху, що відповідають замороженим у надпровідних контурах потокам;

- потенційна енергія немагнітного походження;

.

Стисло викладено концепцію Герца про кінетичне походження потенційної енергії. Не вдаючись у філософські аспекти цієї концепції, зазначимо, що формально математично магнітна взаємодія у нашій системі повністю відповідає принципу Герца.

На основі формули (1) виведено магнітну потенційну енергію низки конфігурацій магнітних тіл, які досліджено на стійкість у другому розділі.

Доказано теорему про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполів, що взаємодіють виключно магнітними силами.

Теорема. Не існує такої конфігурації нерухомих магнітних диполів, що була б стійкою, якщо в системі немає інших сил, крім сил магнітної взаємодії між диполями системи.

Аналіз виду потенційної енергії системи диполів

, , (2)

де

показує, що величина у термінах теорії сферичних функцій є квадруполем (мультиполем другого порядку).

Звідси випливає, що являє собою гармонічну функцію, якщо її розглядати як функцію положення будь-якого з диполів при фіксованій орієнтації цих диполів. Як і в теоремі Ірншоу, доведення будується від супротивного, тобто, припускається, що у такій системі можлива стійка статична рівновага, а потім, використовуючи лише вище перераховані особливості функції потенційної енергії взаємодії диполів, отримуємо нерівність

, (3)

де , - положення та орієнтація магнітного диполя до відхилення;

, - положення та орієнтація магнітного диполя після відхилення.

Тобто, доведено, що у будь-якій як завгодно малій околиці вихідної точки існує деяка точка , для якої потенціальна енергія системи менше вихідної. Отже, у початковій точці система не досягає мінімуму потенційної енергії, тобто, не може знаходитися у стійкій рівновазі всупереч зробленому припущенню.

Виведено нові вирази та розроблено алгоритми обчислення взаємної індуктивності модельних тіл та її похідних до другого порядку включно для випадку довільно розташованих кілець. Важливість цих результатів для опису класу моделей була обгрунтована у першому розділі.

За цієї мети було виведено зручну розрахункову формулу для взаємної індуктивності у вигляді розкладання у подвійний ряд за ступенями відношення радіусів кілець до відстані між їх центрами:

, (4)

де , - відношення радіусів кілець до відстані між їх центрами;

- біноміальний коефіцієнт.

Розкладення (4) справедливе при умові, що .

При цьому коефіцієнти розкладання є сферичними функціями у формі мультиполей:

, (5)

де - радіус-вектор в околиці ;

- вектор, з'єднуючий центри кілець;

і - вектори нормалі першого та другого кільця.

Засобами комп'ютерної алгебри, що реалізовані у системі комп'ютерної алгебри MapleV, були отримані ефективні процедури знаходження цих поліномів (5), як у символьному вигляді, так і для чисельного розрахунку.

Отримано вираз взаємної індуктивності через однократний інтеграл, котрий дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні і дає достовірні результати для будь-яких .

Приведено символьну процедуру MapleV для обчислення підінтегральної функції взаємної індуктивності, що призначена для автоматичного диференціювання та дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні з будь-якою заданою точністю. Таким чином, отримано достатній набір інструментів для дослідження стійкості вибраного класу моделей.

Проведено дослідження низки конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких реалізується МПЯ або стійка магнітна левітація.

У випадках, коли МПЯ принципово є недосяжною, система досліджувалася на можливість магнітної левітації. Показано, що у системах із МПЯ завжди є досяжною магнітна левітація, хоч зворотнє - невірно.

Передумовою для пошуку МПЯ або магнітної левітації у всіх задачах цього розділу був ефект МПЯ Козоріза.

Вперше проведено вичерпне аналітичне дослідження стійкості рівноваги у системі, що складається з надпровідного кільця та магнітного диполя, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння. Доведено, що у такій системі магнітна левітація є виключно у вигляді магнітного підвісу. Є три незалежні умови:

; ; , (6)

де ;

;

;

;

;

- радіус надпровідного кільця;

- магнітний потік, заморожений в надпровідному кільці;

- величина магнітного моменту диполя.

Проведено числове моделювання магнітної левітації у системі, що складається з двох надпровідних кілець.

Характерні результати числових експериментів по знаходженню областей стійкості представлено на рис.2-3 для різних значень параметрів та ,

Отримані результати підтверджують висновок (Козоріза та Чеборіна) про можливість магнітного підвісу у такій системі.

Доведено існування МПЯ у системі двох многозв'язних тіл у зовнішньому однорідному магнітному полі. Перше складається з трьох механічно зв'язаних, але гальванічно розв'язаних, взаємно перпендикулярних та концентричних надпровідних кілець, а друге являє собою надпровідне кільце.

Аналітично отримано необхідні та достатні умови існування МПЯ, причому необхідні умови рівноваги визначаються умовою реалізації ефекту Козоріза, а достатні мають вигляд:

, (8)

де ;

- власна індуктивність одного з кілець, що входить до многозв'язного тіла та співосне до вільного кільця у положенні рівноваги;

- взаємна індуктивність вищезгаданих колець.

Умову (8) виведено у припущенні малості зовнішнього магнітного поля.

Доведення існування МПЯ істотно спрощується у системі, що конструктивно повторює описану вище систему, але з постійним магнітом замість надпровідного кільця. Необхідні умови рівноваги, як і раніше, визначаються умовами реалізації ефекту Козоріза. Достатні умови полягають у тому, що вектор магнітного моменту співпадає за напрямом із вектором зовнішнього магнітного поля.

На відміну від попереднього випадку виведення достатніх умов не пов'язане із обмеженнями на величину зовнішнього магнітного поля.

Чисельно доведено можливість існування МПЯ у системі, що складається із трьох тіл при відсутності зовнішнього магнітного поля. Перше з них повторює конструкцію нерухомого тіла у двох попередніх систем, а друге нерухоме тіло є надпровідним кільцем, яке співосне кільцю першого нерухомого тіла, що несе ненульовий магнітний потік. Третє - вільне - є надпровідним кільцем. Отримано конкретні значення параметрів, при яких є МПЯ.

У всіх описаних системах пошук МПЯ здійснювався шляхом перевірки гіпотези існування МПЯ у точці рівноваги. За цієї мети обчислювався гессіан потенційної енергії системи у точці рівноваги. Проводилося дослідження матриці гессіана на позитивну визначеність. Як незалежною перевіркою МПЯ проводилося пряме порівняння значення енергії у точці МПЯ з точками у її околиці. Вибір точок здійснювався випадковим чином (від ~1000 до ~10000).

У четвертому розділі поставлено задачу дослідження стійкості рівноваги магнітного диполя, що взаємодіє з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери, і отримано її вичерпне аналітичне розв'язання.

Для знаходження магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з надпровідною сферою була вирішена крайова задача Неймана для скалярного магнітного потенціалу диполя всередині надпровідної сфери.

Вирішення даної задачі було зведене до розв'язання допоміжної задачі про два заряди всередині надпровідної сфери, що значно спростило аналітичний розгляд. Одне джерело (“рухливе”) у точці з радіусом-вектором , а друге (“компенсуюче”) у центрі і має протилежний знак.

Цей другий заряд створює через поверхню сфери той самий потік, що й перший заряд, але іншого знаку, тому сумарний потік через сферу дорівнює нулю, що є умовою несуперечливості для крайової задачі Неймана. Вирішення допоміжної задачі шукалося у вигляді розкладання у ряди за сферичними функціями відповідно до викладеної в першому розділі математичної теорії. Використання паралелей із задачею Діріхле про електричний заряд всередині провідної сфери та з методом дзеркальних зображень дозволило записати отримані ряди у кінцевому вигляді через елементарні функції:

, (9)

;

;

- радіус сфери;

,- радіус-вектори точки спостереження поля та положення “рухливого заряду” відповідно.

Формула (9) дає остаточне вирішення нашої допоміжної задачі. Безпосередня перевірка показує, що це рішення задовольняє як рівнянню Пуассона, так і граничним умовам .

Отже вирішення основної крайової задачі (знаходження скалярного магнітного потенціалу диполя) отримуємо у результаті диференціювання знайденого потенціалу за радіусом-вектором ”рухливого” заряду у напрямку магнітного моменту диполя:, де - магнітний момент диполя.

Магнітне поле диполя знаходиться за допомогою взяття градієнта зі знаком мінус від отриманого скалярного потенціалу за координатами точки спостереження :.

Енергія взаємодії диполя з індукованим ним магнітним полем обчислюється за формулою та приводиться до простого аналітичного виду:

, (10)

де , , .

Різниця між енергією у деякій довільній точці та енергією у центрі сфери задовольняє нерівностям :

. (14)

Таким чином, будь-яка зміна просторової координати диполя обов'язково призводить до збільшення магнітної потенційної енергії у співвідношенні із вихідною, а при енергія прямує до рівномірно по .

Таку поведінку потенційної енергії можна назвати просторовою МПЯ, оскільки диполь утримується поблизу центра сфери незалежно від його орієнтації.

Вирішення цієї задачі дозволило вирішити основну задачу щодо левітації магніта над вогнутою поверхнею надпровідної чаші. Експериментально така конфігурація магнітних тіл була здійснена в досліді Аркадьєва-Капіци.

Поверхня чаші моделювалася сегментом сфери. Оскільки при наявності сили тяжіння магніт наближається до поверхні сфери, а магнітна сила швидко зменшується, то взаємодія відбувається в основному із ділянкою сфери, розмір якої є порядку відстані від магніта до поверхні сфери. Таким чином крайовими ефектами можна знехтувати, а ідеалізована задача про взаємодію магнітного диполя із внутрішньою поверхнею надпровідної сфери описує істотні особливості даного досліду у випадку, коли відстань від магніта до поверхні значно менше відстані до центра сфери.

Вище показано, що для чисто магнітної взаємодії рівновага досягається у центрі сфери. У присутності однорідного гравітаційного поля магнітна сила може бути урівноваженою силою тяжіння, направленою проти осі .

При цьому, варіюючи співвідношенням магнітної та гравітаційної сили, рівноваги вздовж осі можна досягти у будь-якій точці осі , що проходить через центр сфери та лежить нижче центру. Як видно із формули (12), перпендикулярна до осі складова сили обертається в нуль при , тобто необхідні умови рівноваги виконуються для приведених значень кута .

Розкладаючи повну енергію взаємодії у точці рівноваги в ряд Тейлора за змінними та до другого порядку включно, маємо:

. (15)

Завдяки лінійній залежності потенційної енергії сили тяжіння від координати вона не дає вкладу у другий порядок цього розкладання, тому достатньо врахувати розкладання магнітної енергії до другого порядку включно.

Аналіз показує, що тільки для кута потенціальна енергія має мінімум, так як коефіцієнти квадратичної форми мають вигляд:

; ; , (16)

тому форма є позитивно визначеною, що відповідає стійкій магнітній левітації диполя з магнітним моментом, орієнтованим паралельно до поверхні надпровідної чаші.

Висновки

1. Побудовано нові математичні моделі, що описують магнітну взаємодію систем, які складаються із постійних магнітів та надпровідних котушок.

2. Доведено існування МПЯ шляхом аналізу конкретних конфігурацій тіл.

3. Отримано нове аналітичне рішення задачі про магнітну левітацію диполя під надпровідним кільцем.

4. Доведено існування просторової МПЯ у системі магнітний диполь - надпровідна сфера.

5. Показано, що МПЯ є наслідком обопільної взаємодії у системі магнітних тіл, тобто рівновага досягається завдяки взаємному впливу через наведені струми, а щоб ці струми не згасали, у системі необхідно мати хоча б один надпровідник.

6. Показано, що МПЯ та магнітна левітація можливі як мінімум на основі двох принципово різних магнітних явищ, а саме, ефекту Козоріза та ефекту діамагнітного відштовхування. У першому випадку магнітна левітація можлива у вигляді магнітного підвісу, а у другому - тільки у вигляді магнітної подушки.

7. Показано, що системи з МПЯ завжди здатні виявляти магнітну левітацію, але не навпаки.

8. Показано, що є такі конфігурації магнітних тіл, у яких доведено неможливість існування МПЯ, але існує магнітна левітація.

Список опублікованих за темою дисертації праць

1. Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М., Половин Р.П. Корректна ли задача о динамическом хаосе? // Вестн. Харьковского университета. -1998. -№421. -С.82-88.

2. Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М. Статически устойчивые конфигурации магнитно взаимодействующих тел // Вестн. Харьковского университета.-1998.-№421. -С.89-94.

3. Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М. Метод Рауса и принцип Герца для электромеханических систем, состоящих из постоянных магнитов и сверхпроводящих катушек и их применение при исследовании магнитной левитации // Вестн. Харьковского университета. -1998. -№421. -С.95-100.

4. Зуб С.С. Взаимодействие магнитного диполя с внутренней поверхностью сверхпроводящей сферы. // Труды ХАИ, -Харьков, -1997. -С.317-321.

5. Рашкован В.М., Зуб С.С. Основные магнитные свойства произвольно расположенных токовых колец // Труды ХАИ, -Харьков, -1997. -С.311-316.

6. Рашкован В.М., Пигнастый О.М., Попович Д.В., Зуб С.С. Устойчивость стационарных орбит зарядов в формирующих ячейках СП-ускорителей // Труды ХАИ, -Харьков, -1995. -С.324-328.

7. Rashkovan V.M., Dashkov A.V., Pignasty O.M., Zub S.S. The dynamic motion stability for the superconductive coupling system // Proc. Fifth Int. Conference “New Leading-Edge Technologies in Machine Building”. -Rybachie, -1996. -P.233-235.

8. Rashkovan V.M., Novosad V.A., Lyakhno V.J., Pignasty O.M., Zub S.S. Magnetic system of space object coupling // Proc. Fifth Int. Conference “New Leading-Edge Technologies in Machine Building”. -Rybachie, -1996. -P.363-365.

9. Rashkovan V.M., Zub S.S. Calculation of the Principal Magnetic Properties of Two Current Circles with Arbitrary Relative Position // Int. Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems.-Braunschweig (Germany). -1997. -P.126.

10. Рашкован В.М., Зуб С.С. Исследование на устойчивость многокольцовых магнитно-взаимодействующих сверхпроводящих систем // Труды Междунар. конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем”. -Том 2. -Киев: Киевский университет. -1997. -С.86.

Анотація

Зуб С.С. Математичне моделювання бесконтактної рівноваги магнітних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування імені А.М. Підгорного НАН України, Харків, Україна, 1999 р.

Дисертацію присвячено розробці нових математичних моделей електромеханіки та розв'язанню проблеми щодо можливості існування стійкої безконтактної статичної рівноваги тіл, які взаємодіють виключно магнітними силами, а також вивченню фізичних механізмів здійснення такої рівноваги.

У дисертації розглядаються два можливі класи безконтактної статичної рівноваги, а саме, рівновага, зумовлена мінімумом магнітної потенційної енергії, так звана магнітна потенційна яма (МПЯ), та рівновага, відома як магнітна левітація. Отримано конструктивні докази існування МПЯ, тобто пред'являються декілька конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких доводиться (як правило, аналітично) наявність дійсного мінімуму магнітної потенційної енергії. Показано, що як МПЯ, так і магнітна левітація можливі, як мінімум, на основі двох принципово різних магнітних явищ, а саме, ефекту диамагнітного відштовхування та ефекту Козореза. У першому випадку магнітна левитация можлива виключно у вигляді магнітної подушки, а в другому - у вигляді магнітного підвісу.

Ключові слова: математичне моделювання, стійкість, теорема Ірншоу, ефект діамагнітного відштовхування, ефект Козоріза, конфігурації магнітних тіл, магнітна левітація, МПЯ, задача Неймана.

Zub S.S. Mathematical modeling of the magnetic systems contact free equilibrium. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Institute for Problems in Machinery named by A.M.Pidgorny of NASU, Kharkov, Ukraine, 1999.

Dissertation is devoted to the elaboration of new electromechanics mathematical models and to the solving of the possibility of steady contact free static equilibrium bodies (interacting only by magnetic forces) question, and also to the studding of the physical mechanisms of such equilibrium realization. In dissertation two possible types of the free contact static equilibrium are considered, namely, the equilibrium, conditioned by the minimum of the magnetic potential energy, so called: Magnetic Potential Well (MPW), and the equilibrium, reputed as the MagLev.The constructive proofs of the MPW existence are got, a few concrete configurations of the magnetic bodies are designed, in latter the presence of strict minimum of magnetic potential energy is proved (analytically, as a rule). It is shown, that MPW, as well as the MagLev is possible on the base of two fundamentally diverse magnetic phenomena, namely, on the diamagnetic repulsion effect and the effect by Kozoriz. In the first case the MagLev is possible only in a form of the magnetic pillow, and in second one - in a form of the magnetic suspension.

Key words: mathematical modeling, stability, theorem by Irnsho, the diamagnetic repulsion effect, effect by Kozoriz, magnetic bodies configurations, MagLev, Magnetic Potential Well, Neyman's task.

Зуб С.С. Математическое моделирование бесконтактного равновесия магнитных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. -Институт проблем машиностроения имени А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, Украина, 1999 г.

Известная гипотеза о статической неустойчивости (Ирншоу, Браунбек) электрических, магнитных и гравитационных систем с одной стороны и практическая ценность достижения такого равновесия с другой стороны обуславливает постановку задачи о бесконтактном равновесии в магнитных системах.

В диссертации разрабатываются новые математические модели электромеханики и решается вопрос о возможности устойчивого бесконтактного статического равновесия тел, взаимодействующих между собой и с окружающими их телами исключительно магнитными силами. Эта задача о поиске минимума магнитной потенциальной энергии еще называется задачей о магнитной потенциальной яму (МПЯ). Исследуются физические механизмы, обеспечивающие устойчивость равновесия в таком взаимодействии.

Для описания расширенного класса электромеханических систем, включающих постоянные магниты и сверхпроводящие катушки, был модифицирован классический вариант лагранжевого формализма. Получены новые аналитические формулы для взаимной индуктивности, силовых и энергетических характеристик магнитных систем, состоящих из проводящих контуров кольцевой формы, произвольно ориентированных друг относительно друга, и разработаны алгоритмы их вычисления.

Построены новые математические модели, описывающие магнитное взаимодействие систем, состоящих из постоянных магнитов и сверхпроводящих катушек.

Сформулирована и доказана теорема о неустойчивости системы неподвижных магнитных диполей, которая является аналогом теоремы Ирншоу в электростатике.

Рассмотрены задачи о двух возможных типах бесконтактного статического равновесия систем, а именно, магнитная левитация и МПЯ.

Получено новое строго аналитическое решения задачи о магнитной левитации диполя при его взаимодействии со сверхпроводящим кольцом. Анализ решения показывает, что магнитная левитация в этом случае возможна только в виде магнитного подвеса.

Получено конструктивное доказательство существования МПЯ, т.е. предъявляется конкретная конфигурация магнитных тел, для которой аналитически доказывается наличие строгого минимума магнитной потенциальной энергии.

Показано, что как МПЯ, так и магнитная левитация возможны, как минимум, на основе двух принципиально различных магнитных эффектов: эффекта диамагнитного отталкивания и эффекта Козореза. Причем в первом случае магнитная левитация возможна только в виде магнитной подушки.

Определение скалярного потенциала и поля магнитного диполя внутри сверхпроводящей сферы, а также нахождение магнитной потенциальной энергии взаимодействия диполя с внутренней поверхностью сверхпроводящей сферы позволило доказать существование “пространственной МПЯ” в центре сферы.

Решение данной задачи позволило строго аналитически решить задачу о левитации магнита над вогнутой поверхностью сверхпроводящей чаши, что дает теоретическое описание классического опыта Аркадьева-Капицы.

Сделан вывод о том, что МПЯ является следствием кооперативности взаимодействия в системе магнитных тел, т.е. равновесие достигается благодаря взаимному влиянию магнитных тел посредством индуцированных токов. Чтобы эти токи не затухали, в системе необходимо наличие хотя бы одного сверхпроводящего тела.

Показано, что системы с МПЯ всегда способны проявлять магнитную левитацию, причем обратное неверно; а также, что имеются конфигурации магнитных тел, в которых существование МПЯ невозможно, но магнитную левитацию можно осуществить.

Ключевые слова: математическое моделирование, устойчивость, теорема Ирншоу, эффект диамагнитного отталкивания, эффект Козореза, конфигурации магнитных тел, магнитная левитация, МПЯ, задача Неймана.

Размещено на Allbest.ru

...