Варіаційний метод дослідження квазіперіодичних розв’язків лагранжевих систем

Размещено на http://www.allbest.ru

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

01.01.02 - диференціальні рівняння

Варіаційний метод дослідження квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем

кандидата фізико-математичних наук

Захарін Сергій Феліксович

Київ-1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

доцент ПАРАСЮК Ігор Остапович

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

старший науковий співробітник,

провідний науковий співробітник

ТКАЧЕНКО Віктор Іванович,

Інститут математики НАН України, м. Київ

доктор фізико-математичних наук

професор,

завідувач кафедри прикладної математики і механіки ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький державний університет

імені Ю. Федьковича, м. Чернівці

Провідна установа: Одеський державний університет ім. І. І. Мечнікова

Захист відбудеться 25.09.2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою 252127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці університету за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 20.07.2000

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради МОКЛЯЧУК М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем.

Квазіперіодичний рух є одним з основних об'єктів вивчення в теорії коливань. Необхідність його дослідження диктується низкою важливих задач небесної механіки (включно з питанням стійкості сонячної системи та розподілом швидкостей зірок в галактиці), теорії гіроскопів, контрольованого термоядерного синтезу, стійкості руху частінок у прискорювачах, фізики твердого тіла, тощо.

Особливо варто підкреслити той факт, що квазіперіодичні рухи природним чином виникають у інтегровних задачах класичної механіки. Рух інтегровної консервативної системи з N ступенями вільності у випадку, коли він відбувається у обмеженій області фазового простору, можна зобразити як рух точки по поверхні N-вимірного тора, вкладеного у 2N-вимірний фазовий простір.

Перші систематичні дослідження рухів зазначеного типу проводилися Пуанкаре, Болем, Безіковичем. Значний вплив на розвиток теорії нелінійних багаточастотних коливань мали фундаментальні роботи М. М. Крилова та М.М. Боголюбова. А. М. Колмогоров, В. І. Арнольд та Ю. Мозер (J. Mоser) створили строгу теорію збурень квазіперіодичних рухів гамільтонових систем, що є близькими до інтегровних (КАМ-теорію). Вагомий внесок у теорію збурень квазіперіодичних розв'язків та інваріантних торів неавтономних систем було зроблено Ю.О.Митропольським та А.М. Самойленком. Зазначені дослідження розвивалися багатьма авторами, і в основному проводилися у межах теорії збурень. Hелокальні теореми існування квазі - (майже) періодичних розв'язків істотно нелінійних систем з певними властивостями монотонності були одержані в роботах А. І. Перова, Ю. В. Трубнікова, А. А. Панкова.

Одним з основних інструментів аналізу систем класичної механіки ще з часів Ейлера, Мопертюї, Гамільтона є варіаційний метод. Цей метод широко застосовувався до дослідження істотно нелінійних періодичних систем. Тому залучення його до вивчення квазіперіодичного руху в лагранжевих системах є досить природним.

Hа можливість застосування варіаційного методу для дослідження квазіперіодичного руху мабуть вперше звернув увагу Персіваль (І. C. Рercіval). Сформульований ним варіаційний принцип дає можливість інтерпретувати інваріантний тор лагранжевої системи, що несе квазіперіодичні рухи з фіксованим набором частот, як екстремаль певного функціоналу.

Зокрема, так звані колмогоровські тори, що виникають у КАМ-теорії, є екстремалями варіаційного принципа для систем, що є близькими до інтегровних, і векторів частот з сильно несумірними компонентами. Для систем, що є далекими від інтегровних, та для ненормально сумірних частот у випадку двох ступенів вільності екстремалями відповідного функціоналу є канторотори (cantоrі), інваріантні множини, що отримуються вкладенням у фазовий простір канторової підмножини стандартного двовимірного тора.

Застосування варіаційного методу у випадку неавтономної системи

(1)

де - вектор з раціонально незалежними компонентами,

- гладка функція,

- стандартний m-вимірний тор, полягає в тому, що функцію , яка породжує квазіперіодичний розв'язок системи (1), шукають як екстремаль функціонала

Дослідженню майже періодичних систем присв'ячений цикл робіт J. Blоt (1988 - 1995). В роботах цього автора основна увага приділяється варіаційному методу доведення існування слабких розв'язків лагранжевих систем.

В роботах М. Бергера та Л. Чженя (1995, 1996) не лише обгрунтовано існування узагальненого розв'язку системи

де A є симетричною додатно визначеною матрицею розміру , f(t) - квазіперіодична, W - гладка, глобально опукла функція, але й показано, що такий узагальнений розв'язок збігається з класичним. Ті ж самі автори за допомогою варіаційного метода доводять існування класичного квазіперіо-дичного розв'язку рівняння Дюффінга

де a - дійсне число, f(t) - квазіперіодична функція, для випадку b>0 (1997 рік). Для цього застосовується теорема про сідлову точку.

Значно складнішою є задача про існування квазіперіодичнизх розв'язків лагранжевих систем з силовою функцією, яка не є глобально опуклою. До останнього часу відповідні результати було отримано лише для рівнянь досить спеціального вигляду.

Так, у роботах Ж. Бло (1993), а також Фурн'є та співавторів (1992, 1996), варіаційний метод використовується для відшукання слабких майже періодичних за Безіковичем розв'язків рівнянь руху маятника під впливом майже періодичної зовнішньої сили

та

,

де x,c,b,A -дійсні числа, A>0, e(t) - майже періодична функція.

Зазначимо, що в околі нестійких квазіперіодичних розв'язків можна спостерігати хаотизацію руху: траєкторії тоді ведуть себе складним чином та істотно залежать від початкових умов. З хаотизацією та іррегулярністю руху пов'язані поняття гомоклінічних точок та гомоклінічних розв'язків. Вивченню питання про стохастизацію руху в околі квазіперіодичних розв'язків присвячені роботи Болотіна та Бертотті.

Таким чином, задача про обгрунтування варіаційних методів відшукання квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем загального вигляду є актуальною науковою проблемою.

Мета роботи.

Встановлення умов існування узагальнених та класичних квазіперіодичних розв'язків неавтономних лагранжевих систем за допомогою варіаційного методу.

Наукова новизна результатів.

Вперше отримано результат про існування класичного квазіперіодичного розв'язку лагранжевої системи загального вигляду без в'язей з силовою функцією, що є опуклою на компактній множині. Узагальнено і посилено результати робіт Бергера (M. Berger), Чженя (L. Zhang), Бло (J. Blоt), Фурн'є та співавторів, у яких доводилося існування лише узагальнених квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем. Доповнено результати робіт М. Бергера (M. Berger) та Л. Чженя (L. Zhang), у яких були знайдені достатні умови існування класичних квазіперіодичних розв'язків деяких глобально опуклих лагранжевих систем.

Вперше доведено теорему про існування класичного квазіперіодичного розв'язку лагранжевої системи з голономною в'яззю у вигляді ріманова многовида недодатної ріманової кривини.

Вперше обгрунтовано варіаційний підхід для відшукання квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем з голономними в'язями у вигляді повних ріманових многовидів.

Практичне значення одержаних результатів.

Дисертація має теоретичний характер. Її результати можуть бути застосовані у подальших дослідженнях з теорії багаточастотних коливань, класичної механіки. Результат підрозділу 2.9 відкриває перспективи розробки градієнтних методів відшукання квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем.

Апробація роботи.

Основні результати дисертації доповідалися на VІ Міжнародній науковій конференції імені академіка Кравчука (15 - 17.05.1997), м. Київ, і Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (22 - 26.06.1998) в Чернівецькому державному університеті імені Юрія Федьковича (м. Чернівці), на конференції молодих вчених Київського університету імені Тараса Шевченка (1997 рік), на семінарі кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка (1998 рік), на об'єднаному семінарі з диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України та Київського університету імені Тараса Шевченка (1999 рік), на семінарі кафедри прикладної математики Чернівецького державного університету імені Юрія Федьковича (1999 рік); були представлені на міжнародній конференції з диференціальних рівнянь у Брно (Словаччина, “Cоnference оn dіfferentіal equatіоns and theіr aррlіcatіоns Equadіff- 9”, 25 - 29.08.1997).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковані в 6-ти наукових статтях, список яких наведено в кінці автореферату. Робота [1] присвячена прикладам застосування теорії, розробленої в [4]. Робота [6] є розширеним англомовним викладенням статті [4], доповненим деякими результатами статті [1]. В ній доведена важлива теорема існування квазіперіодичного розв'язку лагранжевої системи (що відповідає наведеній нижче теоремі 2.4.3 дисертаційної роботи), в якій, порівняно з відповідними твердженнями робіт [1] і [4], значно послаблені вимоги до гладкості силової функції. У роботах [2-6], написаних автором сумісно з І. О. Парасюком, постановка задач та визначення основних підходів до їх розв'язання належать І О. Парасюку. Точні формулювання основних результатів та їх строге обгрунтування виконані здобувачем самостійно.

Об'єм та структура дисертації.

Робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списка використаних джерел. Обсяг дисертації - 113 сторінок. Список використаних джерел містить 80 найменувань.

Зміст роботи

В розділі 1 наведено основні означення за темою дисертації.

В розділі 2 вивчається питання про існування майже (квазі-) періодичних розв'язків натуральної лагранжевої системи

з майже (квазі-) періодичною відносно t силовою функцією, яка є опуклою за змінною x на компактній опуклій множині. Ця задача зводиться до знаходження екстремалей функціоналу, де - евклідова норма у Rⁿ,. Для зручності розв'язання мінімізаційної задачі функціонал J₀ продовжують на простір майже періодичних функцій Безіковича, що мають узагальнені (в сенсі Соболєва) майже періодичні за Безіковичем похідні. Таке продовження позначається через J. У підрозділі 2.1 з'ясовується питання про множину визначення функціонала J. Запроваджується оператор проектування на множину, такий що при, і є найближчою до x точкою множини, якщо. Застосування цього оператора дозволяє спростити доведення теореми 2.2.1 і не використовувати поліноми Бохнера-Фейєра. У підрозділі 2.2 доводиться існування узагальненого майже періодичного розв'язку системи (2) при виконанні умов опуклості та зростання силової функції на межі опуклої множини (теорема 2.2.1). У підрозділі 2.3 переходимо до розгляду квазіперіодичного випадку, тобто вивчаємо питання про існування квазіперіодичних розв'язків системи (2) з квазіперіодичним за t потенціалом V(t,x). Доведено ряд тверджень, що стосуються властивостей опуклості функціоналу J на його області визначення. У підрозділі 2.4 знайдено умови, при яких узагальнений квазіперіодичний розв'язок системи (2), існування якого стверджується теоремою 2.4.1 (аналогом теореми 2.2.1 для квазіперіодичного випадку), буде збігатись з класичним. Для цього показано, що функція на торі, яка відповідає узагальненому розв'язку системи, має всі узагальнені похідні Соболєва включно до порядку, достатнього для застосування теореми вкладення. В результаті отримано теорему 2.4.2, що стверджує існування класичного квазіперіодичного розв'язку системи (2) за умови достатньої гладкості силової функції. Далі показано, що вимоги до гладкості потенціалу можна ослабити. Сформулюємо основний результат розділу:

Теорема 2.4.3. Hехай. Hехай існує така компактна опукла множина , межа якої є диференційовним многовидом (класу C¹), що виконується умова опуклості: існує дійсне число , таке що і умова зростання на межі де n(x) є одиничним вектором зовнішньої нормалі до в точці x.

Тоді рівняння

має класичний квазіперіодичний розв'язок x(t) з набором частот , причому x(t) при t R.

У підрозділі 2.5 формулюємо наслідки, що дозволяють досить просто перевіряти умови існування квазіперіодичних розв'язків систем вигляду де є квазіперіодична функція.

У підрозділі 2.6 переходимо до аналізу прикладів. Виявляється, що проблеми, які розглядалися в роботах Ж. Бло, М. Бергера, Л. Чженя, Фурн'є та співавторів, при певних значеннях параметрів є частинними випадками задачі, розв'язанню якої присвячений розділ 2. У підрозділі 2.7, використовуючи результати монографії А. А. Панкова, встановлено теорему існування класичного майже періодичного розв'язку рівняння руху маятника зі змінними параметрами, що знаходиться під дією майже періодичної зовнішньої сили. У підрозділі 2.8 наведено альтернативний метод доведення теореми 2.2.1, який безпосередньо не застосовує властивості Банаха-Сакса. У підрозділі 2.9 приходимо до висновку, що для знаходження розв'язку рівняння (1) можна застосовувати метод умовного градієнта. лагранжевий варіаційний квазіперіодичний просторовий

У розділах 3, 4 за допомогою варіаційного методу встановлено достатні умови існування квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем з в'яззю, яка являє собою ріманів підмноговид евклідового простору. При цьому в розділі 3 виявлено умови існування узагальнених розв'язків таких систем, а в розділі 4 вказано умови, при яких зазначені розв'язки збігаються з класичними.

Hехай і:MEⁿ - гладке ізометричне вкладення k-вимірного повного зв'язного ріманова многовиду M у евклідів простір (Eⁿ, ). Домовимося ототожнювати, використовуючи при цьому однакові позначення, M та і(M), а також вектори TM та і_* Eⁿ.

Розглянемо на M натуральну лагранжеву систему з кінетичною енергією та квазіперіодичною силовою функцією W( t,x), де W:T^mEⁿR - гладке відображення, T^m - m-вимірний тор з кутовими координатами =(₁, ...,_m) | mоd 2 , =(₁,...,_m) - вектор з раціонально незалежними компонентами. Позначимо таку систему через (M,T+W). Застосування варіаційного методу до задачі про квазіперіодичні розв'язки лагранжевої системи (M;T+W) полягає у відшуканні функції x=u(t) такої, що u() реалізує (локальний) мінімум функціоналу в класі двічі неперервно диференційовних функцій u:T^m M (тут Du - похідна за напрямком ). В розділі 3 встановлено умови існування функції u*(), яка реалізує мінімум функціоналу J(u) в класі функцій, котрі набувають значень у деякій обмеженій області QM і належать простору Останній утворюють інтегровні з квадратом норми функції u(), які мають узагальнені в сенсі Соболєва похідні Du() за напрямком . Функція u*() задовольняє рівність де W'(,x) позначає градієнт функції W(, ^. ):MR, h() - довільна істотно обмежена функція з з властивістю h() T_u()M. У цій ситуації природно називати квазіперіодичну функцію Безіковича u*() узагальненим розв'язком лагранжевої системи (M;T+W). У підрозділі 3.1 вводимо основні поняття, на яких базуються подальші побудови. Для того, щоб описати опуклість функціонала Ейлера-Лагранжа на множині функцій, діючих з тора в обмежену область многовида M, використовуємо поняття відображення зв'язування, а також - опуклості ріманової метрики і строгої - опуклості силової функції. Запроваджуємо, як і в розділі 2, оператор проектування Р, що є тотожнім на множині M, а точці x M \ зіставляє найближчу до x точку межі .

Означення 3.2.1. Назвемо відображенням звязування в області гладке відображення :[0,1]QQ M , яке має такі властивості:

для всіх виконуються рівності

2. існують сталі такі, що і для всіх (тут крапкою позначена похідна за змінною ).

Через X позначено коваріантну похідну векторного поля X вздовж многовида M M у напрямку .

Відображення звязування на рімановому многовиді недодатної кривини можна задати у вигляді:, де визначається умовою. Так побудоване будемо називати природним (для метрики).

Означення 3.2.2. Ріманову метрику назвемо - опуклою в, якщо для кожної точки і довільних виконується умова

Означення 3.2.3. Функцію назвемо строго - опуклою в, якщо існує таке, що

Означення 3.2.4. Будемо казати, що задовольняє умову опуклості в , якщо для похідної відображення виконується нерівність :

Поклавши, сформулюємо основний результат даного розділу - теорему 3.2.1 про існування узагальнених квазіперіодичних розв'язків системи (M,T+W).

Теорема 3.2.1. Нехай для множини можна вказати область і відображення звязування в , для якого ріманова метрика є - опуклою , а силова функція є строго - опуклою в.

Наступний результат є наслідком теореми 3.2.1.

Теорема 3.2.2. Нехай - повний ріманів многовид недодатної ріманової кривини, - природне відображення звязування. Припустимо, що межа задовольняє для деякого умову опуклості в, а силова функція є строго - опуклою в і справджується нерівність (7). Тоді існує функція, що має властивості, описані в твердженні теореми 3.2.1.

В підрозділі 3.3 вивчаються властивості оператора проектування Р , зокрема відшукуються достатні умови для того, щоб межа відкритої підмножини многовиду M задовольняла умову опуклості. В підрозділі 3.4 доводиться допоміжне твердження про властивості мінімізаційної послідовності. В підрозділі 3.5 міститься доведення теореми 3.2.1. У підрозділі 3.6 отримується ряд результатів, що дозволяють спростити перевірку умов теореми 3.2.1, наводяться достатні умови - опуклості ріманової метрики і строгої - опуклості силової функції. У розділі 4 знайдено умови, при виконанні яких u*() є гладкою функцією, а отже, u*( t) є класичним розв'язком. Техніка дослідження спирається на запропонований у підрозділі 4.1 апарат узагальненого коваріантного диференціювання вздовж вимірних відображень з тора T^m в многовид M. У підрозділі 4.2 міститься основний результат про гладкість функції, що задовольняє рівність (5). Він базується на твердженнях підрозділу 4.3, які стосуються істотної обмеженості та збіжності послідовності векторних полів вздовж u*(), що задовольняють певні варіаційні рівності. Основний підсумковий результат розділів 3 і 4 можна подати у наступному вигляді.

Теорема 4.2.2. Hехай M - повний k-вимірний ріманів многовид, вкладений у евклідів простір Eⁿ, - його обмежена однозв'язна підмножина, дифеоморфна області в R^k, межа множини є гладкою гіперповерхнею в M . Через n(x) T_xM, x, позначимо поле одиничних зовнішніх нормалей до .

Припустимо, що виконуються наступні умови:

1. Межа задовольняє при деякому >0 умову опуклості в +, тобто існує ₀>0, таке що для будь-якої точки x, будь-якого одиничного вектора (x) T_x

2. Тензор зв'язності Леві-Чівіта R задовольняє нерівність

для довільних ,T_xM, x.

3. Для всіх x , для всіх T^m

4. Існує ₂ >0 таке, що для всіх T^m, x, T_x..

Тоді лагранжева система

має класичний квазіперіодичний розв'язок x(t)=u(t), де u()C(T^m;Eⁿ) , причому x(t) при tR.

Через X тут позначено коваріантну похідну векторного поля X вздовж многовида M у напрямку .

У підрозділі 4.4 наведено приклад застосування цієї теореми до системи в R^k з голономною в'яззю у вигляді однопорожнинного гіперболоїда.

Висновки

В дисертаційній роботі досліджувалося питання про існування квазіперіодичного режиму коливань у нелінійній лагранжевій системі. При виконанні певних умов опуклості (локальна опуклість силової функції) було доведено існування квазіперіодичного розв'язку зазначеної системи. Відхід від методів теорії збурень дозволяє довести існування квазіперіодичних розв'язків істотно нелінійних систем без застосування поняття породжуючого розв'язку. З допомогою варіаційного методу не лише знайдено узагальнений розв'язок, але й встановлено його гладкість. Результати роботи можна використовувати для подальших досліджень в теорії нелінійних багаточастотних коливань, класичній механіці.

Автор висловлює глибоку подяку своєму науковому керівникові І. О. Парасюку за постійну увагу та підтримку в роботі.

Роботи автора за темою дисертації

Захарн С. Ф. Дослдження квазперодичних розвязкв лагранжевих систем//Всник Кивського унверситету. Сер. математика, механіка. -- 1998. -- вип. 1. -- с. 12 -- 15.

Захарн С. Ф. , Парасюк . О. Вимушен коливання маятника та х екстремальн властивост// Доповд НАН Украни . -- 1998. -- № 6. -- с. 19 -- 21.

Захарн С. Ф. , Парасюк . О. Узагальнен та класичн майже періодичні розвязки лагранжевих систем, опуклих на компакт//Укранський математичний журнал. -- 1998. -- т. 50. -- № 12. -- с. 1601 -- 1608.

Захарн С. Ф. , Парасюк . О. Узагальнен квазперодичн розвязки лагранжевих систем на рманових многовидах недодатної кривини // Всник Кивського унверситету. Сер. математика, механіка. -- 1999. -- вип. 3 -- с. 15 -- 20.

Захарн С. Ф., Парасюк . О. Про гладксть узагальнених квазперодич-них розвязкв лагранжевих систем на рманових многовидах недодатної кривини // Нелнйн коливання. - 1999. -- т. 2, № 2.--с.180 -- 193.

Zakharіn S. F., Рarasyuk І. О. Generalіzed and classіcal almоst рerіоdіc sоlutіоns оf Lagrangіan systems // Funkcіalaj Ekvacіоj. - 1999. - 42. - Р. 235 - 250.

Анотації

Захарін С. Ф. Варіаційний метод дослідження квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено вивченню питання про існування квазіперіодичних розв'язків лагранжевих систем. Доведено існування таких розв'язків в системах, лагранжіан яких є локально опуклим щодо просторової змінної. Встановлюються достатні умови існування квазіперіодичних розв'язків натуральних лагранжевих систем як без в'язей, так і з голономними в'язями у вигляді ріманових многовидів. Обгрунтовується варіаційний метод відшукання зазначених розв'язків.

Ключові слова: квазіперіодичні розв'язки, майже періодичні розв'язки, лагранжеві системи, варіаційний метод, ріманові многовиди, багаточастотні коливання.

Захарин С. Ф. Вариационный метод исследования квази-периодических решений лагранжевых систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертация посвящена исследованию условий существования квазипериодических решений натуральных лагранжевых систем. Доказывается существование решений указанного типа для систем, удовлетворяющих определённым условиям выпуклости. В отличие от работ других авторов, удаётся установить существование квазипериодических решений при условии локальной, а не глобальной выпуклости лагранжиана относительно пространственной переменной. Такой эффект достигается благодаря применению оператора проектирования на границу выпуклого множества. Теоремы существования квазипериодических решений доказываются как для лагранжевых систем без связей, так и для систем со связями в виде римановых многообразий. Для доказательства этих теорем используется вариационный подход. Отход от методов теории возмущений позволяет устанавливать факт существования квазипериодических решений, не прибегая к понятию порождающего решения. Наряду с вышеописанными результатами, найдены достаточные условия существования обобщённых почти периодических по Безиковичу решений лагранжевых систем. Также доказано существование классического почти периодического решения уравнения движения маятника под влиянием внешней почти периодической силы. Экстремальные свойства квазипериодических и почти периодических решений, рассматриваемых в работе, дают возможность применять градиентные методы для их отыскания.

Ключевые слова: квазипериодические решения, почти периодические решения, лагранжевы системы, вариационный метод, римановы многообразия, многочастотные колебания.

Zakharіn S. F. Varіatіоnal methоd fоr іnvestіgatіоn оf Lagrangіan systems' quasірerіоdіc sоlutіоns. - Manuscrірt.

Thesіs оf the dіssertatіоn fоr оbtaіnіng оf the degree оf candіdate оf scіences іn рhysіcs and mathematіcs, sрecіalіty 01.01.02 - dіfferentіal equatіоns. Kyіv Natіоnal Shevchenkо Unіversіty, Kyіv, 1999.

Necessary cоndіtіоns fоr Lagrangіan systems tо have quasірerіоdіc sоlutіоns are studіed. Exіstence оf the abоve mentіоned kіnd оf sоlutіоns іs рrоved under the assumрtіоn оf lоcal cоnvexіty оf Lagrangіan іn sрace varіable. Exіstence theоrems are рrоved fоr Lagrangіan systems іn Euclіdean sрace, as well as fоr the systems оn Rіemannіan manіfоlds. Varіatіоnal methоd fоr fіndіng the quasірerіоdіc sоlutіоns іs substantіated.

Key wоrds: quasірerіоdіc sоlutіоns, almоst рerіоdіc sоlutіоns, Lagrangіan systems, varіatіоnal methоd, Rіemannіan manіfоlds, multіfrequency оscіllatіоns.

Размещено на Allbest.ru