Параметри вписаних фігур

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. У циліндр вписано паралелепіпед зі стороною основи а. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом б і утворить кут ? з бічною гранню, що проходить через сторону б. Знайти бічну поверхню циліндра. Обчислити, якщо б = 6 см, б = 45°, в = 15°.

Рішення

Очевидно, що вписаний у циліндр паралелепіпед - прямий, оскільки, по визначенню, його ребра збігаються з твірними циліндра. Основа паралелепіпеда - паралелограм, який, за умовою, вписано в коло. Сума його протилежних кутів дорівнює 180°, а кожний з них дорівнює 90°. Отже, в основі паралелепіпеда лежить прямокутник. Центром кола, описаної навколо прямокутника, є точка перетину його діагоналей (рівновіддалена від кожної пари протилежних вершин). Бічну поверхню циліндра можна обчислити по формулі: S _біч = рdН, де d = BD, а H = ВВ₁.

Розв'язання задачі зводиться до вираження діагоналей основи і висоти паралелепіпеда з допомогою відомих параметрів AD = a, B₁DB = б і A₁DB₁ = в. У трикутнику B₁BD BD = B₁Dcosб.

З прямокутного B₁A₁D маємо: A₁D = B₁Dcosв. Отже,

S _біч. ⁼ рB₁Dcosб·B₁Dsinб =рB₁D² sin2б.

Тут, щоб уникнути надалі громіздких виражень та їх перетворень, виведені з трикутника B₁BD формули для ВB₁ і BD спочатку підставили в формулу бічної поверхні циліндра, яка після цього спростилася. Надалі відпала необхідність шукати B_lD_l, а потім ВВ₁ і BD, оскільки зручніше відразу знайти B₁D і підставити у формулу, яку одержали.

Розглянемо А₁AD. Він прямокутний, отже, A₁D² = АА²₁ +AD^2.

Але АА₁ = ВВ₁ = B₁Dsina і AD = a.

Тоді (B₁D - cosв)² = (B₁D · sina)² + a; B₁D²-cos²в = B₁ Dsin²a + a², B₁D²(cos²в - sin²a) = a².

Тому,

Обчислимо бічну поверхню циліндра для даних значень параметрів а = 6 см,

б = 45⁰, в=15⁰, тобто

Відповідь:

2. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом ?. Діагональ грані, що містить протилежний до даного кута катет, нахилена до площини основи під кутом б. Обчислити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму. Обчислити, якщо з = 12 см, б = 60°, ? = 30°.

Рішення

Нехай в основі прямої призми лежить трикутник ABC, у якому C = 90°, B = в, АВ = с. Проекцією діагоналі АС₁ на площину основи є відрізок АС. Тому, за умовою, C₁AC = б. Висота H циліндра, вписаного в дану призму, дорівнює висоті призми, а радіус r основи дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник ABC.

Бічна поверхня вписаного циліндра S _біч =

З

Тоді

З іншого боку,

Р - півпериметр трикутника ABC.

Оскільки р = - (з + з * sin Р + з * cos Р) =c/2 (1 + sin в + cosв), то

З

Отже,

с=12 см, б = 60⁰, в = 30⁰ одержуємо: Відповідь:; .

3. Основою прямої призми є ромб із гострим кутом б. Діагональ бічної грані призми дорівнює l й утворить із площиною підстави кут в. Визначити бічну поверхню циліндра, уписаного в дану призму

Рішення

Нехай в основі прямої призми лежить ромб ABCD, в якому A=б<90. Проекцією діагоналі - AB₁ грані АА₁В₁В на площину основи є сторона АВ ромба. За умовою, АВ₁ = l, B₁AB = ?

Висота H циліндра, вписаного в дану призму, дорівнює висоті призми, а радіус r основи дорівнює радіусу кола, вписаного в ромб ABCD. Бічна поверхня вписаного циліндра S_бок = 2р * r * H.

З AB₁B( B = 90°): H= ВВ₁ = l * sinв; АВ = l * casв. З формули для площі ромба

S = р r, де р = 2 АВ - його півпериметр, знаходимо:

Отже,

Відповідь:

4. В основі піраміди лежить прямокутник, площа якого дорівнює S і кут між діагоналями дорівнює б. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом в. Обчислити об'єм конуса, описаного біля цієї піраміди. Обчислити, якщо S = 36см²,б= 60°; ? = 60°

Рішення

В основі піраміди SABCD лежить прямокутник ABCD,

S _ABCD= S, 0 - точка перетину діагоналей AC й BD, COD = б. Оскільки бічні ребра піраміди утворять із площиною основи той самий кут, то вершина S проектується в центр кола, описаного біля прямокутника, тобто в точку О, Отже, SO (ABC) і, за умови, SAO =в.

Оскільки S = * АС* BD * sina =* AC²* sina, то AC =

З SOA: H = SO = OA *tgв =. Тоді об'єм описаного конуса:

Відповідь:

5. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом ? при основі. Всі двогранні кути при основі піраміди рівні - Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в дану піраміду

Рішення

SABС - задана піраміда, АВ - ВР = b, <BAC - в. Проведемо висоту SO піраміди й перпендикуляри SK, SL, SM до сторін АВ; ВС, АС. За теоремою про три перпендикуляри, ОК AB, ОL ВС, ОМ АС. Тому кути SKO, SLO і SMO є лінійними кутами двогранних кутів при основі піраміди.

За умовою, SKO = SLO = SMO =г. Прямокутні трикутники SKO, SLO і SMO мають спільний катет SO і рівні гострі кути. Тому SKO = SLO = SMO, звідси випливає SK = SL = SM і OK= OL = ОМ. Крім того, OK AB, OL BC, ОМ AС і точка О є центром кола, вписаного в трикутник ABC. Тому ОМ для вписаного в піраміду конуса є радіусом основи, а SM - твірною Оскільки пряма ВО містить бісектрису кута при вершині рівнобедреного трикутника, то BO AC. Пряма ОМ теж перпендикулярний прямий АС. Тому прямі ВО і ОМ співпадають. Отже, точки В, О і М лежать на одній прямій. З АВМ ( M = 90°):

AM = b * cosв.

З A0М M= 90°,:

З OMS( O = 90°): l= SM =

Знаходимо бічну поверхню вписаного конуса:

Відповідь: Sбіч =.

6. У кулю з радіусом R вписаний прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворить із меншою бічною гранню кут б. Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи кут ?. Визначити виміри паралелепіпеда

Рішення

Центром кулі, описаної біля прямокутного паралелепіпеда, є точка перетину його діагоналей - точка О. Враховуючи, що в прямокутному паралелепіпеді С₁D₁ (АА₁D₁D), одержимо, що AD₁ - проекція АС₁ на площину AA₁D₁D. Отже, за умовою, C₁AD = б.

Якщо AA₁D₁D менша бічна грань, то AD - менша сторона основи

(відповідно AB - більша). Тоді, за умовою, CAB = .

З прямокутного трикутника A C₁D₁: C₁D₁ = АС₁ sin а = 2R sina.

Але AВ = C_lD_l = 2R sina.

Тоді із прямокутного трикутника AВС:

СВ = АВ tgв=2Rsinбtgв.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Отже, АС₂² = АВ² + BC² + BB₁² Звідси

Відповідь: 2Rsina; 2Rsina tgв;

7. В основі піраміди лежить трикутник з кутами б і в і площею S. Всі бічні ребра піраміди утворять із її висотою кут ц. Визначити поверхню сфери, описаної біля піраміди.

Обчислити, якщо S = 36 см², б = 60°, ?= 30°, ц = 45°.

піраміда циліндр конус паралелепіпед

Рішення

Нехай SABC - дана піраміда, S _ABC=S, CAB - а,

ABC = в. Проведемо висоту SO піраміди Тоді ASO = BSO = CSO = . Нехай О, - центр сфери, описаної навколо піраміди. Площа поверхні сфери обчислюється по формулі S_сф = 4рR², де R =O₁S - її радіус. Покажемо,

що центр сфери лежить на прямій SO.

Прямокутні трикутники ASO, ВSO, CSO мають загальний катет SO і рівні гострі кути. Тому ASO = BSO = CSO, звідки треба, що О А = ОВ = ОС, тобто точка О є центром кола, описаної навколо трикутника ABC, Оскільки О₁А = О₁В = О₁ С = R, то проекції похилих О₁А, О₁В і О₁С на площину AВС рівні між собою. Це означає, що проекція точки О₁ на площину AВС

рівновіддалена від точок А, В і С, тобто цією проекцією є точка О. Оскільки проекціями точок S і О₁ на площину ABC є одна і та сама точка О, то О₁ SO. Оскільки відстані від точки О₁ до кінців ребер піраміди рівні між собою, то центр сфери, описаної навколо заданої піраміди, є точкою перетину прямої, що містить висоту піраміди, з площиною, яка перпендикулярна одному з бічних ребер і проходить через його середину.

Нехай R = О₁С = х. З точки О₁ проведемо перпендикуляр O₁N до ребра SB.

З AO₁SN: SN =O₁S Оскільки O₁S = ОВ, то SN = NB,

і тому

SB = 2SN = 2х cosц.

З SOB ( O = 90°): OB = SB = 2x

За наслідком з теореми синусів для трикутника ABC:

піраміда циліндр конус паралелепіпед

Тоді =

Звідки

Отже,

Відповідь: .

Размещено на Allbest.ru