Множества
Понятие и структура множеств как совокупности объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Их основные элементы и направления математического исследования, способы задания. Изображение множеств и существующие операции, проводимые над ними.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.11.2013 |
| Размер файла | 115,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Учебно-методическое пособие
«Множества»
Введение
Теоретико-множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Теоретико-множественный подход способствует развитию общей культуры студентов, помогает видеть связи между явлениями. Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры студентов.
Основным средством формирования теоретико-множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы упражнений и задач. Предлагаемое пособие по теме «Множества» содержит как теоретический, так и практический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение студентами общими методами рассуждений, активизацию их мыслительной деятельности, выработку творческого подхода к решению задач, установление связи теоретико-множественных понятий с окружающей действительностью.
1. Основные понятия теории множеств
Понятия множество, элементы множества - одни из основных неопределяемых понятий современной математики.
Под множеством (семейством, набором, ансамблем) понимается совокупность объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.
Пример 1.1. - множество натуральных чисел, - множество целых чисел,
- множество рациональных чисел, - множество действительных чисел.
Запись означает, что элемент принадлежит множеству .
Запись означает, что элемент не принадлежит множеству .
Для обозначения множеств будем применять прописные буквы латинского алфавита, а элементов - строчные буквы латинского алфавита.
Способы задания множества:
1. Перечислением, то есть
2. Указанием свойства, которым обладают элементы, принадлежащие этому множеству. Данное свойство называется характеристическим. Множество записывается следующим образом:
, - характеристическое свойство.
Пример 1.2. - множество цифр, .
Определение 1.1. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение - O.
Определение 1.2. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Обозначение - .
Определение 1.3. Универсальным называют множество , состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.
Определение 1.4. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 1.5. Мощность множества - это число элементов множества . Обозначение - .
2. Изображение множеств
Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна
множество математический операция
3. Операции над множествами
1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1. Объединение множеств
Пример 3.1. Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .
2. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).
Рисунок 3.2. Пересечение множеств
Пример 3.2. Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:
3. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).
Рисунок 3.3. Разность множеств
Пример 3.3. Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .
4. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).
Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств
Пример 3.4. Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .
5. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 3.5. Дополнение к множеству
4. Основные свойства операций над множествами
1. Коммутативные законы (переместительные)
,
2. Ассоциативные законы (сочетательные)
,
3. Дистрибутивные законы (распределительные)
,
4. Законы поглощения
,
5. Законы идемпотентности
,
6. Свойства разности
,
,
7. Свойства дополнения ,
,
5. Примеры решения задач
1. Определить мощность множества .
Решение. Элементами данного множества являются корни квадратного уравнения , дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Тогда .
2. Доказать, что для любых множеств выполняется свойство .
Доказательство. Если , то и , но тогда и . Следовательно, и . Поэтому .
Если , то и . Следовательно, , и . Но тогда и .
Таким образом, мы доказали, что эти множества совпадают.
3. Доказать, что для любых множеств выполняется закон .
Доказательство. Пусть элемент . Следовательно, элемент входит в и, кроме того, по крайней мере, в одной из множеств или . Но тогда принадлежит хотя бы одному из множеств или , то есть .
Обратно, если , то или , следовательно, и, кроме того, или , то есть . Таким образом, .
Так как любой элемент левой части входит в правую и наоборот, то эти множества совпадают.
4. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 - немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками?
Решение. Введём обозначения множеств:
- множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком, ;
- множество всех студентов, ;
- множество студентов, владеющих английским языком, ;
- множество студентов, владеющих немецким языком, ;
- множество студентов, владеющих английским и немецким языками, . Найдем из уравнения или 34+27-=50-5, отсюда .
Список литературы
1. Дадаян А.А. Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. - 352 с.
2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1984.
3. Спирина М.С. Дискретная математика. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 368 с.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Высш. школа, 2002.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика как обобщения классической теории множеств и классической формальной логики. Сферы и особенности применения нечетких экспертных систем. Анализ математического аппарата, способы задания функций.
презентация [1,0 M], добавлен 17.04.2013Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.
контрольная работа [389,2 K], добавлен 12.12.2010Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Способы решения логических задач типа "Кто есть кто?" методами графов, табличным способом, сопоставлением трех множеств; тактических, истинностных задач, на нахождение пересечения множеств или их объединения. Буквенные ребусы и примеры со звездочками.
курсовая работа [622,2 K], добавлен 15.06.2010Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Операции над множествами интерпретируют геометрически с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
реферат [15,8 K], добавлен 03.02.2009Типичные примеры рефлексивных бинарных отношений. Понятие множества и его элементов. Операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Декартово произведение множеств. Отношения функциональные, эквивалентности, порядка. Отношения степени n.
контрольная работа [163,2 K], добавлен 08.11.2009Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013
