Деякі задачі теорії усереднення сингулярно збурених диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Деякі задачі теорії усереднення сингулярно збурених диференціальних рівнянь

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В фізиці, хімії, біології, техніці часто досліджуються процеси в сильно неоднорідних середовищах, які, як правило, описуються диференціальними рівняннями з швидкоосцилюючими коефіцієнтами і приводять до необхідності побудови усереднених моделей для цих середовищ. Досить часто ці рівняння містять ще і сингулярні збурення (прикладом може служити пластинка з сильно неоднорідного матеріалу з малою жорсткістю).

В таких задачах необхідно побудувати модель середовища, локальні властивості якого різко змінюються, і тому зручніше перейти від мікроскопічного його опису до макроскопічного, тобто розглядати усереднені характеристики такого середовища. Теорія усереднення для звичайних диференціальних рівнянь в зв'язку з задачами механіки була створена М.М. Боголюбовим, Ю.О. Митропольським, А.М. Самойленком та їх учнями. Систематичне вивчення фізичних задач, що приводять до усереднення рівнянь в частин-них похідних, почалося в 70-і роки і пов'язане з роботами Е. Де Джорджі, С. Спаньоло, А. Бенсусана, Ж.Ліонса, Г. Папаніколау, О.А. Олійник, В.В. Жи-кова та інших авторів.

Для фізичних задач інколи необхідно отримати асимптотичне розвинення розв'язку крайової задачі для рівняння з частинними похідними з швидкоосцилюючими коефіціентами виду (x / ) за ступенями малого параметра . З цією метою, як і в теорії звичайних диференціальних рівнянь, може бути використаний метод двомасштабних розкладів. Розвиток цього методу для рівнянь в частинних похідних запропоновано в роботах М.С. Бахвалова. В роботах О.А. Олійник, Г.А.Іосіфьяна, О.C. Шамаєва, Г.П. Панасенко, В.І. Сукретного побудовані асимптотичні розвинення розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами, як другого так і високого порядку, а також для системи теорії пружності, які враховували поведінку розв'язків поблизу границі.

Проте, не зважаючи на велику кількість робіт з даної тематики, багато питань лишаються відкритими. Так, становить інтерес знаходження коефіцієнтів граничних поліномів в теоремах типу Фрагмена - Ліндельофа для еліптичних рівнянь високого порядку як з постійними так і з змінними коефіцієнтами. Актуальною лишається задача побудови асимптотичного розвинення для розв'язків крайових задач для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами високого порядку.

Перераховані вище питання і стали предметом розгляду дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень диференціальних рівнянь в частинних похідних Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Мета цієї роботи - побудувати асимптотичні розвинення розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі, що обмежений гіперплощиною , для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами високого порядку.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

Досліджено поведінку на нескінченності періодичних по всіх змінних, крім однієї, розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з періодичними коефіцієнтами високого порядку. Знайдено коефіцієнти поліному по неперіодичній змінній, до якого на нескінченності прямує цей розв'язок.

Аналогічна задача роглянута для суми двох еліптичних операторів. Показано, що порядок поліному визначає оператор меншого порядку.

Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено сталу до якої прямує розв'язок задачі.

Побудовано асимптотичні розвинення розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі для сингулярно збуреного еліптичного рівняння з швидкоосцилюючими періодичними коефіцієнтами високого порядку.

Показано, що це асимптотичне розвинення має різний вигляд в залеж-

ності від ступеня сингулярного збурення.

5. Знайдено оцінки похибки цих асимптотичних розвинень.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати, одержані в роботі, можна використати для дослідження фізичних процесів,

які виникають в сильно неоднорідних середовищах.

Особистий внесок здобувача. По темi дисертації опублiковано 5 робiт. Математичні результати робіт [2 - 4] одержані дисертантом самостiйно. В даних роботах співавтору належить вибір напрямку досліджень та обговорення теоретичних результатів. Результати решти робіт отримані дисертантом самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацi. Основнi результати дисертації доповiдались та обговорювались:

1) на засiданнi семiнару iз звичайних диференцiальних рiвнянь вiддiлу звичайних диференцiальних рiвнянь Iнституту математики НАН України;

2) на засiданнi семiнару з нелінійного аналізу Iнституту математики НАН України;

3) на мiжнароднiй конференцi «Aсимптотичнi та якiснi методи в теорії нелiнiйних коливань» (серпень 1997 р., м. Київ);

4) на мiжнароднiй конференцiї «Сучаснi проблеми математики» (20 - 28 червня 1998 р., м. Чернiвцi.).

Публікації. По темi дисертації опублікованo 5 робiт, з них 2 роботи самого автора, 4 роботи надруковано в провiдних наукових профiльних виданнях.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 132 машинописні сторінки складається із вступу, двох розділів, висновку та списку цитованої літератури, що містить 62 найменування.

Основний зміст роботи

діріхлле рівняння еліптичний

У вступі обґрунтовуються актульність теми, формулюються мета дослідження, даються короткий аналіз сучасного стану проблем, як вивчаються в дисертації,і наводиться анотація одержаних результат в.

В розділi I розглядаються перiодичнi по всiх змiнних, крiм однiєї, розв`язки задачi Дiрiхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з постійними та змінними коефіцієнтами високого порядку. Показано, що на нескінченності розв`язок цієї задачі прямує до деякого поліному по неперіодичній змінній. Знайдені коефіцієнти цього поліному. Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку.

В  1.1 - 1.3 розділу I розглядається наступна крайова задача:

, , (1)

,, , (2)

- періодична по ,

, (3)

де ,,

,,,,,,

, - простір функцій - поповнення по нормі простору множини 1-періодичних по і нескінченно диференційовних на множині функцій, простір слідів 1 - періодичних по функцій, які мають обмежену норму в . Норма в визначається рівністю

Вважаємо, що для функцій має місце оцінка

, , (4)

для деяких додатних сталих та .

Всі функції, які входять в праві частини (1) - (2), є I - періодичними по , . Крім того, для оператора виконується умова еліптичності:

,

де и додатні сталі.

В  1.1 розділу I. розглядаються узагальнені моменти m-го порядку , , доведені теоремі затухання енергії для розв'язку еліптичного рівняння (1), які використовуються при дослідженні асимптотики на нескінченності розв'язків задачі (1) - (3) в  1.2, 1.3, 1.5.

Покладемо

, .

Основні результати та висновки

Досліджено поведінку на нескінченності періодичних по всіх змінних, крім однієї, розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з періодичними коефіцієнтами високого порядку. Знайдено коефіцієнти поліному по неперіодичній змінній, до якого на нескінченності прямує цей розв'язок.

Аналогічна задача роглянута для суми двох еліптичних операторів. Показано, що порядок поліному визначає оператор меншого порядку.

Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено сталу, до якої прямує розв'язок задачі.

Побудовано асимптотичні розвинення розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі для сингулярно збуреного еліптичного рівняння з швидкоосцилюючими періодичними коефіцієнтами високого порядку.

Показано, що це асимптотичне розвинення має різний вигляд в залежності від ступеня сингулярного збурення.

Знайдено оцінки похибки цих асимптотичних розвинень.

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах

Фоиад Собхи Обаид. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами // Укр.мат. журн. - 1998. - 50, №3, c. 437-445.

Фоиад Собхи Обаид, Cукретный В.И. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. - Вип.1 (17). - C. 192-207.

Cукретный В.И. Фоиад Собхи Обаид. О поведении на бесконечности решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка // Симетрiйнi та аналiтичнi методи в математичнiй фiзицi: Зб. наук. пр. / НАН України. Iн-т математики; Pедкол.:A.Г. Нiкiтiн та iн. - Київ, 1998. - C. 232-242.

4. Cукретный В.И. Фоиад Собхи Обаид. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных эллиптических дифференцальных уравнений // Нелинейн е краев е задачи математической физики и их приложения. Сб. наук. тр. / НАН Украин. Ин-т математики; Pедкол.: А.М. Самойленко (отв. ред.), A.A. Березовский (отв. ред.), и др. - Киев, 1998. C 210 - 214.

5. Фоиад Собхи Обаид. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами // Aсимптотичнi та якiснi методи в теорiї нелiнiйних коливань: Мiжнар. конф.: Третi Боголюбовськi читання, Київ, 18-23 cерпня 1997 р. - Київ, Iн-т математики НАН України, 1997 р. - C. 126-127.

Размещено на Allbest.ru