Обернені задачі для лінійних параболічних рівнянь другого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський державний університет імені Івана Франка

УДК 517.95

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

ІВАНЧОВ Микола Іванович

01.01.02 - диференціальні рівняння

Львів - 1998



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Івасишен Степан Дмитрович, Чернівецький державний університет ім. Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичного моделювання;

доктор фізико-математичних наук, доцент Копитко Богдан Іванович, Львівський інститут менеджменту,

завідувач кафедри інформаційних систем у менеджменті;

доктор фізико - математичних наук, професор Прилєпко Олексій Іванович, Московський державний університет

ім. М.В.Ломоносова, професор кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться 17 грудня 1998 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 35.051.07 Львівського державного університету ім. Івана Франка за адресою:

290602 м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету ім. І. Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий 12 листопада 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Своїм виникненням теорія обернених задач для рівнянь з частинними похідними завдячує практичній задачі розвідки корисних копалин - визначенню фізичних властивостей та розташування тіла за даними дистанційних вимірювань деяких параметрів. Відповідною математичною моделлю є обернена задача теорії потенціалу, вивчення якої розпочалось у сорокові роки цього століття в працях Новікова П.С. і продовжувалось протягом тривалого періоду багатьма авторами, у тому числі Сретенським Л.Н., Рапопортом І.М., Івановим В.К., Прилєпком О.І., Страховим В.Н. та ін.

Теорія обернених задач для двох інших типів рівнянь - параболічного і гіперболічного почала інтенсивно розвиватись пізніше - у сімдесяті роки. Завдяки своїм можливостям визначення фізичних властивостей матеріалів і параметрів різноманітних за своєю природою процесів шляхом математичних розрахунків без проведення фізичних експериментів, обернені задачі набули широкого практичного застосування у багатьох галузях науки і техніки, зокрема, металургії, медицині, біології, космічній розвідці, екології та ін. Особливу цінність застосування теорії обернених задач має у тих випадках, коли проведення безпосередніх вимірювань відповідних параметрів є неможливим, наприклад, через недоступність матеріалу чи середовища або швидкоплинність процесу. З іншого боку, бурхливому розвитку теорії обернених задач сприяв і величезний математичний інтерес до них, викликаний їх складністю, зокрема тим, що вони, здебільшого, є некоректними за Адамаром.

У перших працях, присвячених оберненим задачам для рівнянь параболічного типу, було встановлено можливість однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта температуро-провідності в одновимірному рівнянні теплопровідності, коли в додатковій умові - так званій “умові перевизначення” задається значення теплового потоку або похідної від невідомої функції на краю тіла. Ці результати належать Jones B.F. i Cannon J.R. Наступні зусилля були скеровані на виявлення того, які параметри і в яких процесах можна визначити та які вимірювання достатньо для цього провести. Відповідь на ці питання полягала у встановленні того, які коефіцієнти яких рівнянь і при яких умовах перевизначення можна однозначно визначити, досліджуючи відповідні обернені задачі. Найпростішими виявились обернені задачі для параболічних рівнянь, вільний член яких є добутком відомої функції на невідому функцію, що залежить або від просторових змінних, або від часу, тому що ці задачі лінійнi. У випадку множника, залежного від просторових змінних, Прилєпко О.І. і Костін А.Б. встановили умови існування і єдиності розв'язку відповідної оберненої задачі для загального параболічного рівняння другого порядку з коефіцієнтами, залежними від просторових змінних, і з фінальним або інтегральним перевизначенням. У випадку залежного від часу множника вільного члена аналогічний результат знайдено Прилєпком О.І., Соловйовим В.В., Іванковим А.Л. для рівняння теплопровідності з молодшим членом з використанням інтегральної умови перевизначення. В одновимірному випадку Прилєпко О.І. і Соловйов В.В. поширили цей результат на рівняння загального вигляду з умовою перевизначення, в якій задається значення невідомої функції у внутрішній точці області.

Обернені задачі для параболічних рівнянь з невідомими коефіцієнтами зводяться вже до нелінійних операторних рівнянь. Задачі визначення молодших коефіцієнтів були досліджені в працях Лаврентьєва М.М., Резницької К.Г., Прилєпка О.І., Костіна А.Б., Ісакова В.М., Іскендерова А.Д., Ахундова А.Я., Безнощенка М.Я., Саватєєва Є.Г., Cannon J.R., Lin Y., Wang S., Lorenzi A., Rundell W., Riganti R. та багатьох інших. Слід зауважити, що трудність цих задач зростає із зростанням порядку похідної, при якій знаходиться невідомий коефіцієнт. При визначенні старшого коефіцієнта додаткові труднощі з'являються ще й за рахунок вимоги його додатності. Можливість однозначної ідентифікації старшого коефіцієнта в рівнянні теплопровідності, який залежить від частини просторових змінних і часу або тільки від просторових змінних, встановлено в працях Безнощенка М.Я. Аналогічний результат отримано Прилєпком О.І. і Костіним А.Б. для загального параболічного рівняння з залежними від просторових змінних відомими молодшими та невідомим старшим коефіцієнтами у випадку фінального або інтегрального перевизначення. Можливість визначення старшого коефіфцієнта, залежного від часу, встановлена тільки у випадку рівняння теплопровідності у працях Jones B.F., Cannon J.R., Rundell W., Безнощенка М.Я. з використанням в якості умови перевизначення крайової умови, інтегральної умови або умови, в якій задано значення невідомої функції у внутрішній точці тіла. В той же час на практиці часто виникає потреба у використанні більш складних крайових умов та умов перевизначення, зокрема, нелокальних. Звідси випливає необхідність дослідження обернених задач, в яких в якості крайових умов і умов перевизначення фігурують нелокальні умови, що пов'язують значення невідомої функції та її перших похідних на обидвох краях проміжка. З іншого боку, вимагає вивчення вплив молодших коефіцієнтів параболічного рівняння на умови ідентифікації старшого коефіцієнта, залежного від часу.

Дослідження обернених задач визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні показали на неможливість ідентифікації старшого коефіцієнта, який залежав би від всіх незалежних змінних. Певним наближенням до цього можна вважати подання старшого коефіцієнта у вигляді добутку двох функцій від різних аргументів, одна з яких відома, а інша підлягає визначенню. В одному частинному випадку такий підхід був використаний Jones B.F., який встановив можливість однозначного визначення залежного від часу множника старшого коефіцієнта в рівнянні теплопровідності. Стійкість розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу множника старшого коефіцієнта у випадку, коли другий множник залежить від температури, була досліджена Lorenzi A. Залишилось нерозв'язаним питання про умови однозначного знаходження залежного від часу множника при старшому коефіцієнті у параболічному рівнянні загального вигляду.

Наступним кроком на шляху повної ідентифікації старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні є його зображення у вигляді добутку двох невідомих функцій від різних аргументів. У такій постановці обернені задачі до цього часу не розглядались. Більше того, не досліджувались і задачі одночасного визначення в параболічному рівнянні двох невідомих функцій від різних аргументів. Винятком є праця Саватєєва Є.Г., в якій невідомий коефіцієнт при невідомій функції є сумою двох функцій від різних аргументів.

Обернені задачі для параболічних рівнянь в багатошаровому середовищі, що мають різноманітні і цікаві застосування на практиці, приводять до необхідності знаходження в явному вигляді розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для даного рівняння, яка є некоректною в сенсі Адамара. Необхідні і достатні умови існування розв'язку нехарактеристичної задачі Коші були встановлені на початку століття Holmgren E. Дослідженню характеру стійкості розв'язку та можливості регуляризації цієї задачі присвячені праці Тихонова А.М., Лаврентьєва М.М., Щеглова О.Ю., Pucci C., Cannon J.R., Ginsberg F., Knabner P., Vessela S., Manselli P., Miller K., Hao D.N. та ін. В той же час залишились осторонь такі важливі питання як знаходження ефективних умов існування розв'язку нехарактеристичної задачі Коші і побудова точного розв'язку цієї задачі. Що стосується обернених задач в багатошарових середовищах, то для них досліджувалось, в основному, питання єдиності розв'язку (праці Денисова О.М., Музильова М.В., Куща Д.В.), а існування розв'язку доводилось у припущенні, що на границі розділу двох матеріалів відоме значення температури, як це було зроблено в працях Jones B.F., Chrzanowski E., Будака Б.М., Іскендерова А.Д. Питання існування розв'язку обернених задач в багатошарових середовищах без проведення вимірювань на границі розділу матеріалів, що принципово змінює природу задачі, залишилось відкритим.

Іншим важливим випадком використання точного розв'язку нехарактеристичної задачі Коші є визначення коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду. Знаходженню невідомих параметрів в крайових умовах третього роду як лінійних, так і нелінійних, присвячені дослідження Щеглова О.Ю., Прилєпка О.І., Костіна А.Б., Pilant M., Rundell W., Yin H.M. та ін. Але в них або не встановлюється існування розв'язку оберненої задачі визначення коефіцієнта теплообміну, або задача формулюється так, щоб уникнути необхідності побудови в явному вигляді розв'язку нехарактеристичної задачі Коші. Існування розв'язку таких задач в їх природній постановці, коли на одному кінці стержня задана третя крайова умова з невідомим коефіцієнтом теплообміну, а вимірювання здійснюються на іншому кінці стержня, не встановлено.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету ім. Івана Франка, її результати включені в наукові звіти по виконанню державних тем N 01.91.C002123, N 01.93.V027108, N 01.95.V009657, N 01.97.U018069.

Мета і задачі дослідження. Дослідити нові постановки обернених задач для лінійних параболічних рівнянь другого порядку. Для досягнення цієї мети встановити:

можливість використання нелокальних крайових умов та умов перевизначення в задачі визначення залежних від часу старшого коефіцієнта та множника вільного члена параболічного рівняння;

вплив молодших членів на умови однозначного визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в лінійному параболічному рівнянні другого порядку;

можливість однозначного визначення старшого коефіцієнта в лінійному параболічному рівнянні

другого порядку у вигляді добутку двох функцій від різних аргументів;

явну формулу для розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння теплопровідності та умови її використання при розв'язуванні обернених задач знаходження невідомого коефіцієнта температуропровідності в двошаровому середовищі і коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду.

Наукова новизна одержаних результатів. Розроблено методику дослідження обернених задач визначення невідомих коефіцієнтів в лінійному параболічному рівнянні другого порядку, розвинуто відповідні технічні засоби забезпечення дослідження цих задач. З використанням даної методики вперше використано нелокальні крайові умови та умови перевизначення при дослідженні обернених задач знаходження залежних від часу старшого коефіцієнта в рівнянні теплопровідності та множника вільного члена в параболічному рівнянні, встановлено вплив молодших членів параболічного рівняння на умови однозначного визначення залежного від часу старшого коефіцієнта. Методом Бернштейна С.Н. встановлено, що оцінка першої похідної розв'язку першої крайової задачі для лінійного параболічного рівняння не залежить від старшого коефіцієнта. Знайдено характер залежності оцінок функції Гріна для параболічного рівняння спеціального вигляду від залежного від часу старшого коефіцієнта.

Встановлено умови однозначного визначення старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні у випадку, коли він є добутком відомої функції від просторової змінної на невідому функцію від часу. Вперше розглянуто задачу одночасного визначення двох невідомих коефіцієнтів у параболічному рівнянні, що залежать від різних аргументів, один з яких є старшим, залежним від часу, а інший - молодшим, що є функцією просторової змінної.

Знайдено нові необхідні і достатні умови існування розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння теплопровідності. Вперше отримано інтегральне зображення точного розв'язку цієї задачі, завдяки чому встановлено існування розв'язку задачі знаходження залежного від часу коефіцієнта температуропровідності в рівнянні теплопровідності в двошаровому середовищі без проведення вимі-рювань на границі розділу матеріалів, а також задачі визначення невідомого коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер і може розглядатись як певний внесок в теорію обернених задач для параболічних рівнянь. Її результати розширюють коло обернених задач, які є коректно поставленими, що в зв'язку з широким застосуванням обернених задач в різних галузях науки і техніки може бути використано спеціалістами прикладних галузей при розв'язанні задач практики. Крім того, отримані результати можуть бути використані в теорії керування та оптимізації теплофізичних, дифузійних та інших процесів через те, що вони дають можливість визначити характеристики матеріалу для отримання певного режиму проходження процесу.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на всесоюзних конференціях “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 1989, 1991), “Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і математичної фізики” (Тернопіль, 1989), міжнародній конференції, присвяченій пам'яті акад. М.П.Кравчука (Київ-Луцьк, 1992), міжнародних конференціях “Nonlinear differential equations” (Київ, 1995), “Nonlinear partial differential equations” (Київ, 1997), “Inverse and ill-posed problems” (Москва, 1996, 1998), “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998), всеукраїнських конференціях “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995) і “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996), на семінарі відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник Скрипник І.В., Київ, 1997), на семінарі математичного факультету Чернівецького державного університету (керівник Івасишен С.Д., Чернівці, 1998), на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники Скоробагатько В.Я., Пташник Б.Й., Лавренюк С.П., Каленюк П.І., Львів, 1988-1998), на семінарах кафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету (Львів, 1988-1998).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 17 статтях в наукових журналах, одному препринті, 2 статтях в збірниках наукових праць, 11 тезах наукових конференцій. Спільні праці написані під керівництвом здобувача, з використанням його ідей і при його безпосередній участі.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків і списку використаних джерел, викладених на 293 сторінках машинописного тексту. Список використаних джерел займає 16 сторінок і складається з 232 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, подається мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення і апробація одержаних результатів, кількість публікацій.

В першому розділі дається огляд літератури, пов'язаної з теорією обернених задач для рівнянь параболічного типу, з вказанням нерозв'язаних проблем. Наведено стислий зміст дисертаційної роботи по розділах.

В другому розділі доведено ряд допоміжних тверджень, які неодноразово використовуються в основній частині роботи або є досить громіздкими для включення їх в доведення теорем основної частини роботи. Частина з них присвячена перетворенням інтегралів, що містять функції Гріна для рівняння

де

В декількох лемах встановлюються оцінки розв'язків інтегральних нерівностей, зокрема, таких, що містять інтеграли типу згортки. В двох лемах досліджуються інтеграли типу теплових потенціалів, доведено, що вони є цілком неперервними на обмежених множинах неперервних функцій. В заключних двох лемах доведено існування функцій Гріна для рівняння

та встановлено їх оцінки та оцінки їх похідних, в яких явно вказана залежність від старшого коефіцієнта .

Третій розділ присвячено дослідженню обернених задач для параболічних рівнянь у випадку, коли крайові умови та умови перевизначення є нелокальними, тобто мають вигляд

де У припущенні, що ранг матриці з коефiцiєнтiв дорiвнює трьом і що вiдмiнний вiд нуля мiнор третього порядку не змінює свого розташування при умови (2) зводяться до декількох випадків, в кожному з яких крайові умови є локальними, а умова перевизначення--нелокальною.

В підрозділі 3.1 в кожному з утворенихвипадків для рівняння

з початковою умовою

встановлено умови існування та єдиності розв'язку відповідної оберненої задачі. Для випадку крайових умов

та умови пере визначення

має місце

Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови:

, функція в задовольняє по t умову Гельдера з показником

Тоді існує розв'язок задачі (3), (4), (5), (6), що належить до класу

В підрозділі 3.2 обернені задачі з умовами (2) розглянуто для рівняння (1) з невідомим коефіцієнтом Існування розв'язку задачі (1), (4)-(6) встановлюється наступною теоремою.

Теорема 2. Припустимо, що виконуються умови:

Тоді існує розв'язок задачі (1), (4)-(6), що належить до класу і такий, що при

Крім зазначеного в теоремі 2 випадку, коли обидва коефіцієнти в умові перевизначення (6) є невід'ємними, проведено дослідження того, як змінюються умови існування розв'язку при інших співвідношеннях між знаками вказаних функцій. Встановлено, що в окремих випадках, наприклад, при існування розв'язку має місце тільки на деякому проміжку часу де число визначається вихідними даними задачі. Встановлено також умови єдиності розв'язку задачі (1), (4)-(6).

Теорема 3. Нехай виконуються умови 1, 2, 5 теореми 2. Тоді розв'язок задачі (1), (4)-(6) єдиний.

В оберненій задачі для рівняння (1) з умовами (2) досліджено також інші випадки, до яких зводяться умови (2). При доведенні теорем існування відповідні обернені задачі зводяться за допомогою функції Гріна до деякого нелінійного операторного рівняння відносно невідомої функції яке за допомогою тверджень, встановлених у розділі 2, перетворюється в рівняння другого роду вигляду

Застосовуючи до рівняння (7) теорему Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора, встановлюємо існування розв'язку цього рівняння, а підставляючи його в рівняння (1), знаходимо як розв'язок відповідної прямої задачі. В теоремах єдиності задача відносно різниці двох розв'язків оберненої задачі зводиться до лінійного однорідного рівняння Вольтерра першого роду, яке при виконанні певних умов можна звести до рівняння другого роду того ж типу з ядром, що має слабку особливість. Єдиність розв'язку таких рівнянь приводить до єдиності розв'язку оберненої задачі.

В підрозділі 3.3 розглянуто обернену задачу одночасного визначення старшого коефіцієнта і множника вільного члена в рівнянні

у випадку чотирьох крайових умов та умов перевизначення вигляду (2). Припущення їх незалежності призводить до їх розпаду на чотири локальних крайових умови першого та другого родів. Методом, аналогічним до використаного у попередньому підрозділі, знайдено умови існування та єдиності розв'язку даної задачі, при цьому теорему Шаудера було застосовано вже до системи операторних рівнянь.

В підрозділі 3.4 в якості одного із застосувань встановлених в підрозділі 3.2 результатів доведено можливість одночасного визначення коефіцієнтів в рівнянні

з початковою умовою (4), крайовими умовами (5) і умовами пере визначення

В заключному підрозділі 3.5 наведено обернені задачі для рівняння (1), в яких для знаходження невідомого коефіцієнта достатньо, крім початкової умови (4), задати наступні умови:

Теорема 4. Припустимо, що виконуються умови:

Тоді існує розв'язок задачі (1), (4), (11) з класу де число визначається вихідними даними задачі.

Задача (1), (4), (11) має ту особливість, що її розв'язок не єдиний. Тим не менш, можна вказати умови, при яких невідомий коефіцієнт визначається однозначно.

Теорема 5. При виконанні умови

функція визначається з задачі (1), (4), (11) однозначно.

Задача (1), (4), (11) є прикладом задачі з мінімальною кількістю умов, з яких можна однозначно визначити коефіцієнт в рівнянні (1). З іншого боку, їй не можна поставити у відповідність пряму задачу, яка була б коректною. Подібна ситуація має місце і у випадку умов

з тією різницею, що існування розв'язку задачі (1), (4), (12) встановлюється при всіх

В четвертому розділі досліджуються обернені задачі для параболічних рівнянь з молодшими членами, зокрема, встановлюється вплив молодших членів на умови існування і єдиності розв'язку обернених задач.

В підрозділі 4.1 для рівняння

з невідомим коефіцієнтом розглянуто обернені задачі з крайовими умовами першого та другого роду. В якості умови перевизначення задається або інтегральна умова, або крайова умова першого або другого роду.

У випадку крайових умов (5) і умови перевизначення

доведено ряд теорем існування розв'язку, в яких простежується вплив молодших членів на характер існування розв'язку.

Означення 1. Під розв'язком задачі (13), (4), (5), (14) будемо розуміти пару функцій

що задовольняють умови (13), (4), (5), (14).

Теорема 6. Припустимо, що виконуються умови:

функції в неперервно диференційовні по і разом з похідними задовольняють умову Гельдера по з показником

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихідними даними, що розв'язок задачі (13), (4), (5), (14) існує при

При доведенні даної теореми задача (13), (4), (5), (14) зводиться до системи рівнянь, утвореної з використанням умови перевизначення (14) і з заміною прямої задачі еквівалентним інтегральним рівнянням. Застосування теореми Шаудера до отриманої системи рівнянь встановлює існування розв'язку оберненої задачі.

В наступних теоремах вказано умови, при яких можна отримати розв'язок задачі (13), (4), (5), (14) з іншими диференціальними властивостями, а також умови, що забезпечують існування розв'язку на всьому інтервалі часу. Проведено окреме дослідження, що базується на методі С.Н. Бернштейна оцінки перших похідних параболічних рівнянь, яке дозволило зняти обмеження на знаки коефіцієнта на краях проміжка. Встановлено умови єдиності розв'язку задачі (13), (4), (5), (14). Досліджено також обернені задачі для рівняння (13) з іншими крайовими умовами та умовами перевизначення.

Теорема 7. Нехай виконуються умови:

Тоді розв'язок задачі (13), (4), (5), (14) єдиний.

В підрозділах 4.2, 4.3 розглянуто обернені задачі визначення старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні у випадку, коли він є добутком відомої функції просторової змінної і невідомої функції часу. Спочатку досліджено випадок параболічного рівняння без молодших членів

з невідомим коефіцієнтом та умовами (4), (5), (14). Для зведення даної задачі до системи рівнянь використовується функція Гріна для рівняння

з умовами (4), (5).

Означення 2. Під розв'язком задачі (15), (4), (5), (14) будемо розуміти пару функцій що задовольняють умови (15), (4), (5), (14).

Теорема 8. Припустимо, що виконуються умови:

3)

Тоді розв'язок задачі (15), (4), (5), (14) існує.

В підрозділі 4.3 відповідне до (15) параболічне рівняння з молодшими членами після належної заміни просторової змінної і перепозначення зводиться до вигляду

Встановлюються умови існування і єдиності розв'язку оберненої задачі (16), (4), (14) з крайовими умовами

В п'ятому розділі розглянуто обернені задачі, які відповідають випадку, коли старший коефіцієнт параболічного рівняння є добутком двох невідомих функцій різних аргументів. У випадку відсутності молодших членів, який досліджується в підрозділі 5.1, таке рівняння за допомогою відповідних замін аргумента і невідомої функції можна звести до вигляду

Для визначення невідомих коефіцієнтів крім рівняння (17) і початкової умови (4), задаються крайові умови (5) та умови пере визначення

де - задане число. Обернена задача (17), (4), (5), (18) зводиться до системи рівнянь, яка отримується шляхом заміни прямої задачі інтегральним рівнянням і підстановки розв'язку прямої задачі в умови перевизначення (18). Дослідженням отриманої системи рівнянь за допомогою теореми Шаудера встановлюються умови існування розв'язку оберненої задачі (17), (4), (5), (18).

Означення 3. Під розв'язком задачі (17), (4), (5), (18) будемо розуміти трійку функцій

що задовольняють умови (17), (4), (5), (18).}

Умови існування розв'язку задачі (17), (4), (5), (18) встановлені в наступній теоремі.

Теорема 9. Припустимо, що виконуються умови:

де

Тоді можна вказати таке число що при умові задача (17), (4), (5), (18) має розв'язок, визначений при

Доведення даної теореми полягає у зведенні оберненої задачі (17), (4), (5), (18) до системи чотирьох рівнянь відносно невідомих два з яких є інтегральними рів-няннями і отримуються шляхом зведенням прямої задачі до відповідного інтегрального рівняння, а два інших є наслідками умов перевизначення.

Вкажемо умови єдиності розв'язку задачі (17), (4), (5), (18).

Теорема 10. Якщо виконуються умови

то розв'язок задачі (17), (4), (5), (18) єдиний.

Доведення даної теореми зводиться до встановлення єдиності розв'язку системи інтегральних рівнянь другого роду, одне з яких є рівнянням Вольтерра, а інше - Фредгольма.

В підрозділі 5.2 аналогічна обернена задача досліджена для рівняння з молодшими членами

початковою умовою (4), крайовими умовами (5) та умовами пере визначення

де - задане число.

Означення 4. Під розв'язком задачі (19), (4), (5), (20) будемо розуміти трійку функцій

що задовольняють умови (19), (4), (5), (20).

Встановимо умови існування та єдиності розв'язку задачі (19), (4), (5), (20).

Теорема 11. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2)

3)

Тоді можна вказати таке залежне від вихідних даних число що при умові

задача (19), (4), (5), (20) має розв'язок, визначений при

Теорема 12. При виконанні умов

розв'язок задачі (19), (4), (5), (20) єдиний.

Шостий розділ присвячено задачам, розв'язання яких пов'язане із знаходженням розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння теплопровідності.

В підрозділі 6.1 вивчається інтегральне рівняння Вольтерра першого роду

де число є додатним і функція задана. Характерними рисами цього рівняння є неможливість зведення його до інтегрального рівняння другого роду та нестійкість розв'язку. Для рівняння (21) встановлено деякі необхідні і достатні умови існування розв'язку, відмінні від відомих умов E. Holmgren належності до класу два деякої функції, що виражається через вихідні дані.

Теорема 13. Необхідною умовою існування неперервного на розв'язку рівняння (21) є належність до та існування границі

де

Теорема 14. Нехай права частина рівняння (21) має вигляд

де - неперервна однорідна функція порядку Тоді рівняння (21) має єдиний неперервний на розв'язок.

В підрозділі 6.2 розглянуто нехарактеристичну задачу Коші для рівняння теплопровідності:

Зводячи задачу (24)-(26) до інтегрального рівняння і застосовуючи результати підрозділу 6.1, встановлюємо наступну теорему.

Теорема 15. Необхідною умовою існування розв'язку задачі (24)-(26) в класі є належність до класу функції та існування границі

Де

Крім умов існування та єдиності розв'язку нехарактеристичної задачі Коші (24)-(26), отримано явну формулу її розв'язку в припущенні, що розв'язок інтегрального рівняння (21), в якому функція замінена функцією , відомий і володіє певними властивостями.

В підрозділі 6.3 явна формула розв'язку нехарактеристичної задачі Коші, виведена в попередньому підрозділі, використовується для знаходження коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду

Умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі (24)-(26), (28) встановлено в наступній теоремі.

Теорема 16. Припустимо, що виконуються умови:

існує невід'ємний розв'язок рівняння (21) з правою частиною що визначається за формулою (27).

Тоді можна вказати таке число що задача (24)--(26), (28) має в області єдиний розв'язок, що належить до класу

Вказано умови, при виконанні яких розв'язок існує при всіх

Підрозділ 6.4 присвячено оберненій задачі в двошаровому середовищі, що складається з шару відомого матеріалу скінченної товщини, за яким розташований матеріал з невідомими теплофізичними характеристиками. Для їх визначення розглядається обернена задача з умовами ідеального теплового контакту на границі розділу матеріалів.

Позначимо і розглянемо рівняння

з початковими умовами

крайовою умовою та умовою пере визначення

і умовами спряження

Означення 5. Під розв'язком задачі (29)-(36) будемо розуміти трійку функцій що належать до таких класів:

причому і задовольняють умови (29)-(36).

Позначимо через функцію, яка отримується з формули (27) при заміною на та на

Теорема 17. Припустимо, що виконуються умови:

рівняння (21) з функцією має невід'ємний розв'язок

Тоді існує таке число що задача (29)-(36) має єдиний розв'язок, визначений при

При доведенні даної теореми використовується те, що наявність розв'язку рівняння (21) дає можливість побудувати в явному вигляді розв'язок нехарактеристичної задачі Коші (29), (31), (33), (34) в області і з умов спряження визначити значення та , внаслідок чого для знаходження невідомих отримується стандартна обернена задача.



ВИСНОВКИ

В роботі встановлено існування і єдиність розв'язку ряду обернених задач для лінійного параболічного рівняння другого порядку з однією просторовою змінною.

Вперше досліджено обернені задачі для параболічного рівняння, в яких крайові умови і умови перевизначення є нелокальними, тобто є лінійними комбінаціями із змінними коефіцієнтами значень невідомої функції та її перших похідних на кінцях проміжка. При таких умовах доведено коректність задачі визначення залежних від часу множника вільного члена параболічного рівняння загального вигляду та старшого коефіцієнта рівняння теплопровідності. Наведено приклади нелокальних умов, які є мінімальними для знаходження коефіцієнта температуропровідності. Розглянуто також задачу одночасного визначення коефіцієнтів тепло-провідності та об'ємної теплоємності в рівнянні теплопровідності.

Досліджено вплив молодших членів на умови однозначного визначення залежного від часу старшого коефіцієнта параболічного рівняння у випадку крайових умов першого або другого роду та умови перевизначення у вигляді крайової або інтегральної умови. Вказано залежність між властивостями вихідних даних і характером тверджень теорем існування--існування розв'язку на малому проміжку часу, можливість продовження розв'язку, мінімальні умови існування розв'язку.

Розглянуто можливість ідентифікації старшого коефіцієнта параболічного рівняння у випадку, коли він є добутком відомої функції просторової змінної на невідому функцію часу, встановлено умови існування і єдиності розв'язку відповідної оберненої задачі.

Вперше доведено можливість одночасного визначення двох коефіцієнтів параболічного рівняння, що залежать від різних змінних. Один з них є старшим і залежить від часу, другий--залежний від просторової змінної молодший коефіцієнт, який може бути розташований або перед невідомою функцією, або перед її похідною. Саме до таких задач зводиться задача ідентифікації старшого коефіцієнта параболічного рівняння, який є добутком двох невідомих функцій різних аргументів.

Встановлено деякі нові необхідні і достатні умови існування розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння теплопровідності, яка є некоректною за Адамаром, побудовано її розв'язок в явному вигляді за допомогою розв'язку деякого допоміжного інтегрального рівняння Вольтерра першого роду. Використовуючи побудований розв'язок нехарактеристичної задачі Коші для рівняння теплопровідності, розв'язано дві обернені задачі. В одній з них знайдено умови однозначного визначення невідомого коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду, що має значне практичне застосування. В другій задачі доведено можливість знаходження коефіцієнта температуропровідності невідомого матеріалу, що розташований за шаром іншого матеріалу з відомими теплофізичними характеристиками, без проведення вимірювань на границі або всередині невідомого матеріалу.

обернений задача рівняння теплопровідність



Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

Бадзо М.І., Васильєва Н.В., Іванчов М.І. Деякі обернені задачі теплопровідності з інтегральним перевизначенням// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1990.--Вип. 34.--С. 3-7.

Березницька І.Б., Дребот А.Й., Іванчов М.І., Макар Ю.П. Обернена задача для рівняння теплопровідності з інтегральним перевизначенням// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1997.--Вип. 48.--С. 71--80.

Іванчов М.І. Про обернену задачу визначення коефіцієнта температуропровідності// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1988. - Вип. 30.--С. 13-16.

4. Иванчов Н.И. Обратная задача теплопроводности в двухкомпонентной среде// Дифференц. уравн. -1992.--Т. 28, N 4.--C. 666-672.

Иванчов Н.И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальними краевыми условиями// Укр. мат. журнал. - 1993.--Т. 45, N 8. - С. 1066--1071.

Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости// Сиб. мат. журнал. - 1994.--Т. 35, N 3.--C. 612-621.

Іванчов М.І. Про обернену задачу знаходження коефіцієнта теплообміну// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1994.--Вип. 37. - С. 45-50.

Іванчов М.І. Про одну обернену задачу теплопровідності з нелокальною умовою перевизначення// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1994. - Вип. 40.--С. 12-15.

Іванчов М.І. Про визначення невідомого джерела в рівнянні теплопровідності з нелокальними крайовими умовами// Укр. мат. журнал. - 1995.--Т. 47, N 10.--С. 1440-1443.

Іванчов М.І. Обернена задача визначення потужності джерел тепла для параболічного рівняння при довільних крайових умовах// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1997.--Вип. 40, N 1.--С. 125-129.

11. Іванчов М.І. Обернені задачі теплопровідності з нелокальними умовами// Доповіді НАН України. -1997.--N 5.--С. 15--21.

Іванчов М.І. Про одну обернену задачу для параболічного рівняння// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1997.--Вип. 47. - С. 63-71.

Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сиб. мат. журнал. - 1998.--Т. 39, N 3.--C. 539-550.

Іванчов М.І., Ковальчук С.М. Обернені задачі для рівняння теплопровідності у складеній області// Мат. студії. - 1998.--Т. 9, N 1. - С. 53-69.

Іванчов М.І., Лучко І.Я. Про одну обернену задачу знаходження коефіцієнтів параболічного рівняння// Вісник Львів. ун--ту. Сер. мех.--мат. - 1990.--Вип. 34.--С. 7-10.

Іванчов М.І. Про деякі обернені задачі з нелокальними крайовими умовами// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. научн. трудов.--К. - 1994.-- С. 84.

Іванчов М.І., Ковальчук С.М. Про одну обернену задачу для рівняння теплопровідності в багатошаровому середовищі// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. научн. трудов.--К. - 1994.--С. 84-85.

Ivanchov M.I. Inverse problem for finding a major coefficient in a parabolic equation// Мат. студії. - 1997.--Т. 8, N 2.--С. 212-220.

Ivantchov M.I. Determination simultanee de deux coefficients aux variables diverses dans une equation parabolique// Мат. студії.--1998.--Т. 10, N 2 .--С. 173-187.

Іванчов М.І. Обернені задачі теплопровідності з нелокальними умовами.--Київ, 1995. - 84 c. (Препр. / Міністерство освіти України. ІСДО).

21. Иванчов Н.И. Обратная задача с сопряжением для уравнения теплопроводности// Тезисы докладов Всесоюзн. конф. “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”. (Тернополь, 1989). Часть I.--Тернополь: Тернопольский гос. пед. институт. - 1989.--С. 165-166.

Иванчов Н.И. Обратная задача теплопроводности с интегральным переопределением// Тезисы докладов Второй всесоюзн. конф. “Новые подходы к решению дифференциальных уравне-ний”. ( Дрогобыч, 1989).--М.: Вычисл. центр АН СССР. - 1989.--С. 74.

23. Иванчов Н.И. Об обратной задаче определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости// Тезисы докладов Третьей всесоюзн. конф. “Новые подходы к решению дифференциальных уравнений”. (Дрогобыч, 1991).-- М.: Вычисл. центр АН СССР. - 1991.--С. 53.

Іванчов М.І. Нелокальні крайові умови в обернених задачах теплопровідності// Тези допов. Міжнар. конф., присвяченої пам'яті акад. М.П. Кравчука. (Київ--Луцьк, 1992.) - К.: Інститут матем. АН України. 1992. - С. 77.

Иванчов Н.И. Об одновременном определении двух коэффициентов в параболическом уравнении// Тезиcы докладов конф. “Обратные и некорректно поставленные задачи”. (Москва, 1998) - М.: Диалог--МГУ. - 1998.--С. 34.

Іванчов М.І. Обернена задача для параболічного рівняння з двома невідомими коефіцієнтами// Тези допов. Міжнар. конф. “Сучасні проблеми математики”. (Чернівці--Київ, 1998) Част. I.--К.: Інститут матем. НАН України. - 1998. - С. 229 - 232.

Ivanchov M.I. Inverse problem for parabolic equations with general boundary conditions// Book of Absracts of Internat. Conf. “Nonlinear differential equations”. (Kiev, 1995) - Kiev. - 1995.--С. 59.

Ivanchov M.I. Some inverse problems for parabolic equations// Тезиcы докладов Междунар. конф. “Обратные и некорректно поставленные задачи”. (Москва, 1996) - М.: Диалог--МГУ. - 1996.--С. 83.

Ivanchov M.I. Coefficient inverse problem for parabolic equations // Book of Absracts of Internat. Conf. “Nonlinear partial differential equations”. (Kiev, 1997.) - Donetsk. - 1997.--С. 78-79.



Іванчов М.І. Обернені задачі для лінійних параболічних рівнянь другого порядку. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико--математичних наук за cпеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.--Львівський державний університет ім. Івана Франка, Львів, 1998.

Дисертацію присвячено питанням коректності обернених задач для лінійних параболічних рівнянь другого порядку з однією просторовою змінною. В дисертації розроблено методику дослідження обернених задач, що базується на зведенні обернених задач до систем операторних рівнянь другого роду і аналізі методу параметрикса. Застосування даної методики дало можливість встановити умови існування та єдиності розв'язку обернених задач ідентифікації залежних від часу старшого коефіцієнта рівняння теплопровідності і множника вільного члена параболічного рівняння у випадку нелокальних крайових умов і умов перевизначення, знаходження залежного від часу множника старшого коефіцієнта параболічного рівняння, одночасного визначення двох залежних від різних аргументів коефіцієнтів параболічного рівняння. Досліджено також нехарактеристичну задачу Коші для рівняння теплопровідності і задачі, в яких використовується її розв'язок - обернена задача в двошаровому середовищі і задача визначення коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду.

Ключові слова: обернена задача, нелокальна умова, умова перевизначення, ідентифікація коефіцієнтів, система операторних рівнянь, нехарактеристична задача Коші.

Иванчов Н.И. Обратные задачи для линейных параболических уравнений второго порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико--математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения.--Львовский государственный университет им. Ивана Франко, Львов, 1998.

Диссертация посвящена вопросам корректности обратных задач для линейных параболических уравнений второго порядка с одной пространственной переменной. В диссертации разработана методика исследования обратных задач, основанная на сведении обратных задач к системам операторных уравнений второго рода и аналоге метода параметрикса. Применение данной методики дало возможность установить условия существования и единственности решения обратных задач идентификации зависящих от времени старшего коэффициента уравнения теплопроводности и множителя свободного члена параболического уравнения в случае нелокальных краевых условий и условий переопределения, нахождения зависящего от времени множителя старшего коэффициента параболического уравнения, одновременного определения двух зависящих от раз-личных аргументов коэффициентов параболического уравнения. Исследованы также нехарактеристическая задача Коши для уравнения теплопроводности и задачи, в которых используется ее решение--обратная задача в двухслойной среде и задача определения коэффициента теплообмена в краевом условии третьего рода.

Ключевые слова: обратная задача, нелокальное условие, условие переопределения, идентификация коэффициентов, система операторных уравнений, нехарактеристическая задача Коши.

Ivanchov M.I. Inverse problems for linear parabolic equations of the se\-cond order. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.02 - differential equations. - The Ivan Franko State University of Lviv, Lviv, 1998.

The dissertation is devoted to the correctness of inverse problems for linear parabolic equations of the second order with one spatial variable. The method for ivestigating of inverse problems is elaborated in the dissertation which is based on a reduction of inverse problems to systems of operator equations and ananalogue of the parametrix method. The application of this method permitted to establish existence and uniqueness conditions for inverse problems of identification of time--dependent major coefficient in the heat equation and free term factor in a parabolic equation in the case of nonlocal boundary and overde-termination conditions, finding of time--dependent major coefficient in a parabolic equation, simultaneous determination of two coefficients in a parabolic equation depending on various arguments. There are also investigated the noncharacteristic Cauсhy problem for the heat equation and problems in which his solu-tion is used--an inverse problem in the two--layer medium and a problem for finding of heat transfer coefficient in the boundary condition of the third kind.

Key words: inverse problem, nonlocal condition, overdetermination condition, coefficient identifica-tion, system of operator equations, noncharacteristic Cauсhy problem.

Размещено на Allbest.ru

...