Однополосный гиперболоид

Размещено на http://www.allbest.ru

Пензенский государственный университет

Пензенский педагогический институт им. В.Г. Белинского

Физико-математический факультет Кафедра геометрии и математического анализа

Курсовая работа

Однополосный гиперболоид

Выполнил:

ст-т 11ФПМ 1

Завьялова Е.А.

Проверил:

Якунина О.В.

Пенза-2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ОДНОПОЛОСНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД. УРАВНЕНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

Заключение

ВВЕДЕНИЕ

Гиперболоид (от др.-греч. ?ресвплЮ -- гипербола, и е?дпт -- вид, внешность). В математике гиперболоид -- это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах.

Однополостный гиперболоид является поверхностью 2 порядка.

В теории поверхностей второго порядка классифицируют и изучают различные виды поверхностей. Методом их изучения является так называемый метод сечения: исследуются сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным или самими координатными плоскостями, и по виду сечений делается вывод о форме поверхности.

Существует семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате преобразования системы координат в каноническую.

Рассмотрим подробнее одну из них - однополостный гиперболоид.

Глава 1. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Понятие .

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S -- центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)

Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 * а22 * a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :

1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

2. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других--противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

3. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда :

Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a11 , а22 , a33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим

соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

ОДНОПОЛОСНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД. УРАВНЕНИЯ

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(1)

Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат -- центром симметрии однополостного гиперболоида.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

однополосный гиперболоид уравнение поверхность

Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY . Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного представления, я изобразила все полученные кривые в виде проекций на плоскостьOXY. Изображения кривых представлены ниже.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокруг мнимой оси 2с.

Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

 и

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

 или

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и  ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании  величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

Гиперболоид вращения - поверхность, образованная вращением прямой вокруг скрещивающейся с ней оси.

Линейчатая поверхность, которую необходимо построить, называется однополосным гиперболоидом вращения. Она образуется вращением прямой l вокруг скрещивающейся с ней оси i. Ближайшая к оси вращения точка образующей описывает наименьшую параллель - горло гиперболоида. Главный меридиан - гипербола.

Эта поверхность может быть также получена вращением очерко-вой гиперболы вокруг своей мнимой оси i. Поверхность имеет два семейства прямолинейных образующих, т.к. через одну точку можно провести две прямые - восходящую прямую (как в данной задаче) и нисходящую прямую. Это видно, если касательно к горлу гиперболоида провести плоскость , параллельную оси вращения. Такая плоскость пересекает поверхность по двум прямым. Вторая восходящая прямая образует второе семейство образующих.

Если в центре горла гиперболоида построить конус с таким же углом наклона образующих, как у гиперболоида, то получим так называемый асимптотический конус, к которому поверхность приближается в бесконечности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время принцип однополосного гиперболоида успешно используется в искусстве, науке, технике и архитектуре.

Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.

Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.Один из ярких примеров в России - Шуховская башня.

Шуховская башня имеет оригинальную изящную сетчатую конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка, представляющая главную опасность для высоких сооружений. По форме секции башни -- это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания. Ажурная стальная конструкция сочетает в себе прочность и легкость: на единицу высоты Шуховской башни израсходовано в три раза меньше металла, чем на единицу высоты Эйфелевой башни в Париже. Проект Шуховской башни высотой 350 метров имел расчетную массу всего лишь 2200 тонн, а Эйфелева башня при высоте 300 метров весит около 7300 тонн.

В. Г. Шухов изобрёл способ устройства сетчатых гиперболоидных башен (патент Российской империи № 1896 от 12 марта 1899 г., заявлен 11 января 1896 года). Первая в мире гиперболоидная башня была построена Шуховым на Всероссийской художественно-промышленной выставке в Нижнем Новгороде в 1896 году. Принцип устройства гиперболоидных башен В. Г. Шухов использовал в сотнях сооружений: водонапорных башнях, опорах линий электропередачи, мачтах военных кораблей.

Размещено на Allbest.ru