Определение объема и площади геометрических фигур. Системы линейных уравнений
Определение периметра и площади треугольника, длины ребра, объем, уравнения плоскости пирамиды по координатам вершин данных фигур. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.11.2013 |
| Размер файла | 800,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
Вариант 4
Тема 1.
По координатам вершин треугольника АВС найти:
а) периметр треугольника;
б) угол АВС;
в) Уравнение высоты AD;
г) координаты точки пересечения медиан треугольника;
д) уравнение биссектрисы АМ;
е) площадь треугольника;
А(3,1); В(3,-5); С(-1,-1).
а) Найдем периметр треугольника. Определим длины сторон, как расстояния между точками
Тогда
б) Составим уравнения сторон AB и ВC:
Тогда уравнение стороны АВ:
уравнение стороны ВC:
Найдем угол АВС между прямыми AВ и BС.
Запишем уравнения прямых в общем виде:
Тогда угол между ними найдем по формуле:
У нас
значит
в) Составим уравнение высоты AD:
Высота АD перпендикулярна стороне ВС, с угловым коэффициентом КВС=-1.
Т.к. высота АD проходит через точку ,то ее уравнение имеет вид
г) найдем координаты точки пересечения медиан треугольника. Определим вначале координаты середины стороны АВ:
Тогда CК - медиана. Найдем точку которая делит ее в отношении 2:1 считая от вершины C
Значит - точка пересечения медиан.
д) воспользуемся свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
уравнение стороны АВ:
Найдем уравнение стороны АС:
Найдем и приравняем расстояния от произвольной точки биссектрисы M(x;y), до сторон АВ и АС:
Т.к. нужно найти биссектрису внутреннего угла треугольника, то
- уравнение биссектрисы AM
e) найдем площадь треугольника по формуле:
Тема 2
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Выполните графическую иллюстрацию полученного решения
Приведем уравнение кривой к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат:
- каноническое уравнение параболы.
Найдем точки пересечения окружности с прямой. Для этого решим систему:
Выразим со второго уравнения у и подставим в первое уравнение
Решим полученное уравнение:
Подставим найденные значения во второе уравнение системы. Получим:
Получили две точки пересечения. Изобразим результат графически:
треугольник пирамида линейный уравнение
Тема 3.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти её решение с помощью формул Крамера. Выполните проверку полученного решения
Запишем систему в виде:
|
1 |
3 |
-2 |
|
|
1 |
9 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
BT = (-5,-1,6)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?1,1 = (9 * (-3)-6 * (-4)) = -3
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
3 |
-2 |
|
|
1 |
9 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?2,1 = (3 * (-3)-6 * (-2)) = 3
|
1 |
3 |
-2 |
|
|
1 |
9 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?3,1 = (3 * (-4)-9 * (-2)) = 6
Главный определитель:
? = (-1)1+11 * (-3)+(-1)2+11 * 3+(-1)3+1(-2) * 6 = 1 * (-3)-1 * 3+(-2) * 6 = -18
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
-5 |
3 |
-2 |
|
|
-1 |
9 |
-4 |
|
|
6 |
6 |
-3 |
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
|
-5 |
3 |
-2 |
|
|
-1 |
9 |
-4 |
|
|
6 |
6 |
-3 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?1,1 = (9 * (-3)-6 * (-4)) = -3
Минор для (2,1):
|
-5 |
3 |
-2 |
|
|
-1 |
9 |
-4 |
|
|
6 |
6 |
-3 |
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?2,1 = (3 * (-3)-6 * (-2)) = 3
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
|
-5 |
3 |
-2 |
|
|
-1 |
9 |
-4 |
|
|
6 |
6 |
-3 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?3,1 = (3 * (-4)-9 * (-2)) = 6
Определитель минора:
?1 = (-1)1 + 1a11?11 + (-1)2 + 1a21?21 + (-1)3 + 1a31?31 = (-1)1+1(-5) * (-3)+(-1)2+1(-1) * 3+(-1)3+16 * 6 = (-5) * (-3)-(-1) * 3+6 * 6 = 54
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
|
1 |
-5 |
-2 |
|
|
1 |
-1 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
-5 |
-2 |
|
|
1 |
-1 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?1,1 = ((-1) * (-3)-6 * (-4)) = 27
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
-5 |
-2 |
|
|
1 |
-1 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?2,1 = ((-5) * (-3)-6 * (-2)) = 27
Минор для (3,1):
|
1 |
-5 |
-2 |
|
|
1 |
-1 |
-4 |
|
|
-2 |
6 |
-3 |
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?3,1 = ((-5) * (-4)-(-1) * (-2)) = 18
Определитель минора:
?2 = (-1)1 + 1a11?11 + (-1)2 + 1a21?21 + (-1)3 + 1a31?31 = (-1)1+11 * 27+(-1)2+11 * 27+(-1)3+1(-2) * 18 = 1 * 27-1 * 27+(-2) * 18 = -36
|
1 |
3 |
-5 |
|
|
1 |
9 |
-1 |
|
|
-2 |
6 |
6 |
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
3 |
-5 |
|
|
1 |
9 |
-1 |
|
|
-2 |
6 |
6 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?1,1 = (9 * 6-6 * (-1)) = 60
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
3 |
-5 |
|
|
1 |
9 |
-1 |
|
|
-2 |
6 |
6 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?2,1 = (3 * 6-6 * (-5)) = 48
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
|
1 |
3 |
-5 |
|
|
1 |
9 |
-1 |
|
|
-2 |
6 |
6 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора.
?3,1 = (3 * (-1)-9 * (-5)) = 42
Определитель минора:
?3 = (-1)1 + 1a11?11 + (-1)2 + 1a21?21 + (-1)3 + 1a31?31 = (-1)1+11 * 60+(-1)2+11 * 48+(-1)3+1(-2) * 42 = 1 * 60-1 * 48+(-2) * 42 = -72
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
1*-3+3*2+-2*4 = -5
1*-3+9*2+-4*4 = -1
-2*-3+6*2+-3*4 = 6
Тема 4.
Могут ли векторы быть сторонами треугольника?
Найдем длины векторов:
Проверим выполнения неравенства треугольника для каждой стороны:
Все неравенства выполняются, значит эти векторы могут быть сторонами треугольника.
Тема 5.
По координатам вершин пирамиды найти:
1) длину ребра ;
2) угол между ребрами и ;
3) площадь грани ;
4) объем пирамиды;
5) уравнения прямых и ;
6) уравнения плоскости и ;
7) угол между плоскостями и ;
1)
2)
, значит
3)
4) Тогда
5) :
- каноническое уравнение прямой
:
- каноническое уравнение прямой
6) Составим уравнение плоскости
Так как точки А1 ,А2 ,А3, лежат в плоскости то
- искомое уравнение.
Значит - уравнение плоскости . нормаль
Составим уравнение плоскости
Значит - уравнение плоскости . нормаль
7) угол между плоскостями и равен углу между их нормалями:
Тема 6.
Вычислить
Тема 7.
Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе 11 дисциплин
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому число таких вариантов определяется размещением 5 элементов из 11 без повторений. Тогда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.
контрольная работа [221,1 K], добавлен 12.11.2012Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010
