Мультиплікатори Фур’є в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами та деякі питання теорії апроксимації

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МУЛЬТИПЛІКАТОРИ ФУР'Є В ПРОСТОРАХ ХАРДІ В ТРУБЧАСТИХ ОБЛАСТЯХ НАД ВІДКРИТИМИ КОНУСАМИ ТА ДЕЯКІ ПИТАННЯ ТЕОРІЇ АПРОКСИМАЦІЇ

ТОВСТОЛІС Олександр Володимирович

УДК 517.5

01.01.01 - МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Донецьк - 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому державному університеті, Міністерство освіти України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький державний університет, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Шевчук Ігор Олександрович, Національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичного аналізу,

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кузнецова Ольга Іванівна, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.

Провідна установа

Дніпропетровський державний університет, кафедра теорії функцій, Міністерство освіти України, Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “_19_” березня 1999 р. о _15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м.Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інститута прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м.Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “_17_” _лютого_ 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

мультиплікатор фур'є харді

Актуальність теми. В роботі досліджуються деякі питання гармонічного аналізу та теорії апроксимації функцій, а саме: мультиплікатори в просторах Харді , , у верхній півплощині та істотно більш загальних областях (трубчастих областях над відкритими конусами), їх застосування до методів підсумовування інтегралів Фур'є та визначення функціоналу пари просторів гладких функцій, асимптотика наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного півстепеня.

Мультиплікатори рядів Фур'є були введені М.Фекете, а першу ефективну достатню умову для мультиплікатора тригонометричного ряду Фур'є в просторі при було отримано Й.Марцинкевичем. В просторі (або ) питання про мультиплікатор пов'язане з можливістю зображення функції-мультиплікатора у вигляді перетворення Фур'є скінченної борелівської міри. Загальні факти, що стосуються мультиплікаторів Фур'є та їх застосування, викладені у відомих монографіях А.Зігмунда, І.Стейна, І.Стейна та Г.Вейса, Р.Едвардса.

До теорії наближення функцій мультиплікатори застосовували Б.С.Мітягін, С.О.Теляковський, Р.М.Тригуб, Е.С.Белінський та ін.

Деякі питання теорії функцій в (або ) при досліджували Е.О.Стороженко, В.Г.Кротов, П.Освальд, В.І.Іванов, В.А.Юдін, О.Б.Олександров, Л.В.Ходак, Р.М.Тригуб, Віт.В.Волчков та ін. Особливістю цих просторів є те, що в них немає рядів Фур'є і взагалі нетривіальних лінійних неперервних функціоналів. Інша річ - простори , , на крузі, де є степеневі ряди і мультиплікатори визначаються так само. Завдяки класичній теоремі М.Рісса, послідовність є мультиплікатором в , , тоді і лише тоді, коли після продовження нулем для від'ємних значень вона буде мультиплікатором в . Випадок дослідив Л.В.Тайков. Ефективні достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів в , , нещодавно одержані Р.М.Тригубом⁾ Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространствах Харди при и аппроксимативные свойства методов суммирования степенных рядов // Докл. Акад. Наук. - 1994. - Т. 335. - № 6. - С. 697-699.).

У випадку неперіодичних функцій на всій числовій прямій замість рядів Фур'є розглядаються інтеграли Фур'є. Мультиплікатори в при визначають за допомогою функції-множника, що вводиться в інтеграл Фур'є. Ефективні достатні умови у випадку отримані С.Г.Міхліним та Л.Хьормандером.

Простори , , в верхній півплощині мають істотні відмінності від випадку круга, особливо при . Перетворення Фур'є для функцій з , , в верхній півплощині введено Ч.Фефферманом та І.Стейном. Мультиплікаторам в , , в верхній півплощині та їх застосуванню присвячено дисертацію О.О.Соляніка⁾ Soljanik A.A. On the order of approximation to functions of () by certain means of Fourier integrals // Analysis Mathematica. - 1986. - № 12. - P. 59-75.).

З 60-х років простори розглядаються в трубчастих областях, зокрема, з конічною основою. Для вивчення перетворення Фур'є і мультиплікаторів в найбільш загальними областями є саме трубчасті області над відкритими конусами.

Підкреслимо, що застосування мультиплікаторів в теорії апроксимації пов'язане з визначенням регулярності методів підсумовування кратних рядів і інтегралів Фур'є, зростання констант Лебега, точного порядку наближення різними методами підсумовування через модулі гладкості, функціоналів пари просторів гладких функцій та ін.

функціонали введено Я.Петре для побудови інтерполяційних просторів дійсним методом інтерполяції. З.Чесельський поставив задачу визначення порядку функціоналу через лінійні середні ряду Фур'є. функціонали для пари просторів гладких функцій є модулями гладкості. В кратному випадку для отримання потрібних оцінок доводиться вводити нові спеціальні модулі гладкості.

Розв'язання класичної екстремальної задачі про найкраще наближення функції класу на колі тригонометричними поліномами даного порядку (Ж.Фавар, Н.І.Ахієзер, М.Г.Крейн) і на прямій функціями даного експоненціального типу (Н.І.Ахієзер, М.Г.Крейн) викладено у відомих монографіях О.Ф.Тімана, Н.І.Ахієзера, М.П.Корнійчука. Ту саму задачу для на відрізку дійсної вісі з урахуванням положення точки⁾ Такі задачі розглядаються після того, як С.М.Нікольський помітив ефект поліпшення наближення біля кінців відрізку.) нещодавно розв'язано в асимптотично точній формі Р.М.Тригубом⁾ Тригуб Р.М. Прямые теоремы о приближении алгебраическими полинома-ми гладких функций на отрезке // Матем. заметки. - 1993. - Т. 54. - № 6. - С. 113-121.). У випадку півосі ця задача залишалась не розв'язаною. Ще С.Н.Бернштейн показав, що в цьому випадку треба наближувати цілими функціями скінченного півстепеня, а прямі та обернені теореми одержано вже досить давно Ю.А.Брудним. Останніми роками з'явились нові підходи в цьому колі проблем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетних наукових тем В.86.50.1/4.14 “Теорія операторів і комплексний аналіз” та № 0196 UKRAINE 007096 “Гармонічний аналіз функцій та операторів”.

Мета і задачі дослідження.

Ввести означення перетворення Фур'є і мультиплікатора в просторах Харді в загальному випадку трубчастих областей над відкритими конусами при та дослідити їхні основні властивості.

Отримати ефективні достатні умови для мультиплікаторів. Дослідити певну точність отриманих достатніх умов шляхом отримання деяких необхідних.

Застосувати мультиплікатори до отримання двосторонніх оцінок швидкості наближення функції її середніми Бохнера-Рісса та визначення функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором, а також довести еквівалентність двох модулів гладкості в просторах Харді в верхній півплощині.

Отримати асимптотично точний розв'язок задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки.

Методи дослідження. В роботі використовуються різні методи гармонічного аналізу, теорії наближень, багатовимірного комплексного аналізу. Зокрема, метод мультиплікаторів застосовується для отримання двосторонніх оцінок наближення в задачах теорії апроксимації. Для отримання асимптотично точного розв'язку задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного півстепеня використовується метод спеціальних зображень функції.

Наукова новизна одержаних результатів.

В роботі введені означення перетворення Фур'є і мультиплікатора в просторах Харді в загальному випадку трубчастих областей над відкритими конусами при та досліджені їхні основні властивості.

Отримано ефективні достатні умови для мультиплікаторів в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при і встановлено певну точність цих умов.

Досліджено деякі властивості згаданих просторів Харді, при цьому зазначено їх істотні відмінності від аналогічних просторів у крузі (полікрузі, областях Рейнхарта), а також проведено порівняння загального випадку трубчастих областей над довільними відкритими конусами з класичним випадком просторів Харді в верхній півплощині (конус - перший октант в ).

Знайдено точний порядок наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур'є, обчислено функціонал пари просторів, що задаються полігармонічним оператором, доведено еквівалентність двох різних модулів гладкості.

Слід відзначити, що основні результати є істотно багатовимірними, тобто не є простим перенесенням одновимірних результатів, однак, навіть для одновимірного випадку вони є новими.

Отримано асимптотично точний (з точною константою в головному члені наближення) розв'язок задачі про наближення функції класу на півосі цілими функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки. Таким чином повністю розв'язано відому екстремальну задачу.

Теоретичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані в гармонічному аналізі та теорії апроксимації.

За допомогою одержаних достатніх умов для мультиплікаторів можна отримати оцінки швидкості наближення різноманітними середніми інтегралів Фур'є, визначити функціонали для пари просторів, що задаються різними диференціальними операторами еліптичного типу і т. ін. Слід зазначити також, що за допомогою цих результатів можна проводити оцінки з урахуванням геометрії конуса, який є основою розглядуваної трубчастої області.

Метод, використаний для отримання асимптотично точного розв'язку задачі про наближення функції класу на півосі, можна використовувати також для отримання подібних асимптотично точних оцінок в інших задачах теорії апроксимації.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації належать автору, однак деякі з них опубліковані в роботах зі співавторами. В роботі [3] автору належить теорема 3 (випадок півплощини), що зазначено в тексті статті. В роботі [4] автору належить теорема 4 (наближення на півосі), що також зазначено в тексті статті. В роботі [6] автором анонсована теорема 2, що доведена в [4].

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції “Теорія наближення та задачі обчислювальної математики” (Дніпропетровськ, 1993 р.), ІІ школі “Ряди Фур'є: теорія і застосування” (Кам'янець-Подільський, 1997 р.), наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького державного університету (Донецьк, 1995 та 1997 рр.), Міжнародній конференції “Теория приближений и гармонический анализ” (Тула, 1998 р.).

В цілому дисертація доповідалась на семінарі професора І.О.Шевчука (Національний університет імені Тараса Шевченка, 1998 р.), семінарі професорів В.П.Моторного та В.Ф.Бабенка (Дніпропетровський державний університет, 1998 р.), семінарі професора Р.М.Тригуба (Донецький державний університет, 1993 - 1998 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 роботах, з яких 5 - статті в наукових виданнях, 5 - тези або матеріали доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 137 сторінках і містить перелік умовних скорочень, вступ, основну частину з двох розділів, висновки та список літератури, що складається з 57 джерел і розташований на 8 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовується актуальність досліджень, огляд робіт у даному напрямку, стисло наведено зміст роботи та сформульовано основні її результати.

Перший розділ цілком присвячено мультиплікаторам Фур'є. В ньому розбудовується теорія мультиплікаторів у просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при . Отримані результати є істотно багатовимірними (це видно як з формулювань, так і з доведень), але навіть у одновимірному випадку (випадок верхньої півплощини) вони є новими.

В § 1.1. вводиться поняття перетворення Фур'є в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при . Для коректного введення цього поняття доводиться така теорема.

Теорема 1.1 Нехай - відкритий конус в , ⁾ Трубчаста область над відкритим конусом визначається так: .), . Тоді існує в термінах теорії узагальнених функцій повільного зростання⁾ Клас узагальнених функцій повільного зростання ми позначаємо через , а відповідний клас основних функцій - клас швидко спадних функцій - через .), тобто

 , де .

Окрім того, є регулярною узагальненою функцією повільного зростання, що породжена звичайною функцією, яка може бути обчислена за формулою (права її частина не залежить від ):

, ,

де - класичне перетворення Фур'є ⁾ Якщо функція , то її перетворенням Фур'є називають функ-цію: .) функції

(у випадку - класичне перетворення Фур'є граничної функції (границя в нормі)).

Як результат, вводиться перетворення Фур'є, яке узгоджується як з класичним перетворенням Фур'є в , так і з його означенням в термінах теорії узагальнених функцій повільного зростання в при :

Означення 1.1 Нехай - відкритий конус в . Перетворенням Фур'є функції , , будемо називати функцію:

, вибирається довільно,

(у випадку - це є класичне перетворення Фур'є граничної функції (границя в - нормі)).

Крім того, має місце така формула обернення:

(тут і надалі - спряжений до конус, тобто ).

Далі введено означення мультиплікатора Фур'є та наведено деякі його властивості.

Означення 1.2 Нехай - відкритий конус в . Вимірна функція називається мультиплікатором в , (позначення: ), якщо функція майже скрізь на збігається з перетворенням Фур'є деякої функції і

.

Завдяки формулі обернення, функція в цьому означенні визначається однозначно:

,

що робить означення мультиплікатора надзвичайно природним.

1.2. містить у собі необхідні для подальшого допоміжні результати, а також обговорення особливостей просторів Харді в трубчастих областях над відкритими конусами, їх відмінності від відповідних просторів в крузі (або областях Рейнхарта).

Основні результати розділу містяться в 1.3., де наведено достатні та деякі необхідні умови для мультиплікаторів. Основою тут є наступна теорема, що дає зручну для перевірки достатню умову мультиплікатора.

Теорема 1.2 Нехай - гострий відкритий конус в , і . Якщо до того ж для деякого , то і

,

де - деяка додатна константа, що залежить лише від і ,

- максимально можливий об'єм симплексу, який можна побудувати на одиничних лінійно незалежних векторах, що містяться в .

Відзначимо, що подібну теорему в одновимірному випадку і без виписування залежності від було одержано О.О.Соляніком. У випадку просторів Харді в полікрузі така теорема належить Р.М.Тригубу, а в більш загальному випадку областей Рейнхарта - Віт.В.Волчкову.

Звернемо увагу також, що теорема 1.2, окрім того, що вона є аналогом згаданих теорем у випадку просторів Харді в трубчастих областях над відкритими конусами, відображає залежність від геометрії конуса (константа ).

Умова теореми 1.2: в деякому змісті є також необхідною.

Теорема 1.3 Нехай - гострий відкритий конус в , , . Якщо , то в будь якому її околі збігається з деякою неперервною фінітною функцією, перетворення Фур'є якої належить .

Далі доводиться критерій мультиплікатора для радіальної функції, який знову підкреслює точність теореми 1.2.

Пропозиція 1.3 Нехай - гострий відкритий конус в , . Якщо - неперервна фінітна функція, що залежить лише від , а після довизначення до радіальної функції на в деякому околі нуля збігається з функцією, чиє перетворення Фур'є належить , то тоді і лише тоді, коли продовжена радіальна функція має перетворення Фур'є, що належить .

Наступна теорема дає ефективну достатню умову належності функції до класу і без припущення її фінітності.

Теорема 1.4 Нехай - гострий відкритий конус в .

а). Нехай для деяких та . Якщо до того ж

; ,

,

то і

.

Зокрема, , якщо і , або .

б). Нехай , а для і . Якщо частинна похідна як функція від задовільняє в метриці умові Ліпшица степеня більшого рівномірно по решті аргументів, а відрізок можна розбити на скінченне число відрізків (обмежене по решті аргументів), на кожному з яких дійсна та уявна частини як функції від є опуклими або угнутими, , то .

Твердження, подібне частині а) наведеної теореми в одновимірному випадку, було отримане О.О.Соляніком, але в ньому містилася вимога належності функції класу та експоненційного спадання функції і всіх її похідних.

Окрім наведених результатів розділ 1 містить ряд тверджень, що ілюструють застосування основних теорем і зауважень, підсилюють окремі результати у випадку, коли на конус накладаються додаткові умови (наприклад, коли ).

Другий розділ присвячено деяким задачам теорії апроксимації. В 2.1. отримано двосторонні оцінки швидкості наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур'є:



(тут , та - додатні дійсні числа) і функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором:

, .

Для цього, подібно до випадку мультиплікаторів степеневих рядів, вводиться спеціальний модуль гладкості:

(тут , інтеграл беремо по декартовому добутку одиничних куль в ).

Теорема 2.1 Нехай - гострий відкритий конус в . Для будь-яких , , , , і будь-якої функції

(двостороння нерівність з додатними константами, що не залежать від та ).

Зазначимо також, що, як доведено наприкінці першого розділу, середні типу Бохнера-Рісса є регулярними в тоді і лише тоді, коли .

Теорема 2.2 Нехай - гострий відкритий конус в . Для будь-яких , , , і будь-якої функції

(двостороння нерівність з додатними константами, що не залежать від та )⁾ .).

Зауважимо, що подібні оцінки можна отримати і для інших диференціальних операторів.

В 2.2. розглядаються простори Харді в верхній півплощині (в цьому випадку замість пишемо просто ). Метод мультиплікаторів застосовується для доведення еквівалентності одного корисного модуля гладкості звичайному контурному. З цим новим лінеаризованим модулем гладкості:

,

, , ,

простіше поводитися через відсутність в його означенні знаку і він може бути застосований до отримання різних оцінок, наприклад, аналогу теореми Харді-Літтльвуда і т. ін. Основним результатом 2.2. є наступна теорема.

Теорема 2.3 Для будь-яких , , , і будь-якої функції

(двостороння нерівність з додатними константами, що залежать лише від , та )⁾ .).

В 2.3. розглянуто задачу про наближення функції класу (клас функцій з майже скрізь обмеженою одиницею ю похідною) цілими функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки. Основним результатом цих досліджень є наступна теорема.

Теорема 2.4 існує константа така, що та знайдеться ціла функція півстепеня не вищого така, що

.

Права частина отриманої нерівності залежить від , що при наближенні до нуля дає кращу оцінку наближення, а на нескінченності - зростаючий член. Зауважимо, що такого роду оцінки є правильними, як помітив ще С.Н.Бернштейн.

Важливою складовою частиною підрозділу є доведення точності константи (неможливості її зменшення) в головному члені наближення в теоремі 2.4. У цьому полягає пропозиція 2.1. Точність вказаної константи випливає з точності константи у відомій теоремі Ахієзера-Крейна про наближення функції класу цілими функціями експоненціального типу та наступної теореми.

Теорема 2.5 Нехай та існують константи і такі, що та знайдеться ціла функція скінченного півстепеня не вищого така, що

.

Тоді для будь-якої функції , яка до того ж є періодичною і , для будь-якого має місце нерівність:

,

де - найкраще наближення функції цілими функціями експоненціального типу не вищого .

ВИСНОВКИ

В роботі введені означення перетворення Фур'є та мультиплікатора в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при , досліджено їхні основні властивості.

Отримано ефективні достатні та деякі необхідні умови для мультиплікаторів у вказаних просторах. Отримані результати є істотно багатовимірними (навіть простежена залежність від геометрії конуса), хоча і в одновимірному випадку просторів Харді в верхній півплощині вони є новими.

Одержані достатні умови для мультиплікаторів застосовано до отримання двосторонніх оцінок швидкості наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур'є (також знайдено критичний показник для регулярності цих середніх в ) і визначення функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором.

Ці ж достатні умови дозволили довести еквівалентність двох модулів гладкості в просторах Харді в верхній півплощині.

Знайдено асимптотично точний розв'язок задачі про наближення функції класу цілими функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди при и их применение в теории аппроксимации // Доповіді НАН України. - 1997. - № 5. - С. 49-53.

Tovstolis A.V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applications // Methods of functional analysis and topology. - 1998. - Vol. 4. - № 1. - P. 68-89.

Товстолис А.В., Тригуб Р.М. Эквивалентность разных модулей гладкости в пространствах Харди // Теория приближения функций. Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - Т. 3. - Донецк: ИПММ НАНУ. - 1998. - С. 201-210.

Тригуб Р.М., Курганская Е.Н., Товстолис А.В. О приближении функций алгебраическими полиномами и целыми функциями // Вісник Донецького університету. - 1997. - № 1. - С. 49-55.

Товстолис А.В. Преобразование Фурье в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при // Вісник Донецького університету. - 1998. - № 1. - С. 42-48.

Товстолис А.В., Тригуб Р.М. Поточечное приближение полиномами на отрезке и целыми функциями на внешности отрезка и полуоси // Теорія наближення та задачі обчислювальної математики. Тези доповідей. - Дніпропетровськ: ДДУ. - 1993. - С.183.

Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди в верхнем полупространстве при и приближение средними Бохнера-Рисса интегралов Фурье // Тезисы докладов научной конференции профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета (г.Донецк, апрель 1995 г.). - Донецк: ДонГУ. - 1995. - С. 189-190.

Товстолис А.В. Достаточные условия для мультипликаторов в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и их применение в теории аппроксимации // Матеріали вузівської наукової конференції професорсько-викладацького складу за підсумками науково-дослідницької роботи: математика, фізика, екологія (Донецьк, квітень 1997 р.). - Донецьк: ДонДУ. - 1997. - С. 38-42.

Товстолис А.В. Мультипликаторы в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и их применение в теории аппроксимации // ІІ школа “Ряди Фур'є: теорія і застосування” (Кам'янець-Подільський, 30 червня - 5 липня 1997 р.). Тези доповідей. - Київ. - 1997. - С. 126-127.

Товстолис А.В. Неравенство типа Харди-Литтльвуда и разные модули гладкости в пространствах Харди в верхней полуплоскости // Международная конференция “Теория приближений и гармонический анализ” (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г.). Тезисы докладов. - Тула: ТулГУ. - 1998. - С. 258-259.

АНОТАЦІЇ

Товстоліс О.В. Мультиплікатори Фур'є в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами та деякі питання теорії апроксимації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацію присвячено дослідженню мультиплікаторів в просторах Харді в трубчастих областях над відкритими конусами при та вирішенню деяких задач теорії апроксимації. В дисертації вводяться означення перетворення Фур'є та мультиплікатора для цих просторів, досліджуються їхні властивості. Отримано ефективні достатні умови для мультиплікаторів, які застосовано до розв'язання задачі про наближення функції середніми Бохнера-Рісса її інтегралу Фур'є, обчислення функціоналу пари просторів, що задаються полігармонічним оператором, встановлення еквівалентності двох модулів гладкості. Також отримано деякі необхідні умови, що підкреслюють певну точність достатніх. Окрім того, отримано асимптотично точну оцінку наближення функції з обмеженою ю похідною на дійсній півосі цілими функціями скінченного півстепеня з урахуванням положення точки. Результати мають теоретичне значення і можуть бути застосовані в гармонічному аналізі та теорії апроксимації.

Ключові слова: простір Харді, трубчаста область над відкритим конусом, перетворення Фур'є, мультиплікатор, середні інтегралу Фур'є, функціонал, модуль гладкості, ціла функція скінченного півстепеня.

Tovstolis A.V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and some questions of the approximation theory. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 1999.

The dissertation is devoted to investigation of the multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones for and to solution to some problems of the approximation theory. The definitions of Fourier transform and multiplier for these spaces are introduced and their properties are investigated. The effective sufficient conditions for multipliers are obtained and applied to the solution to the problem of approximation of a function by Bochner-Riesz means of its Fourier integral, to the evaluation of the functional of a pair of spaces defined by the polyharmonic operator, to the establishment of the equivalence of two modules of smoothness. Also, some necessary conditions, which emphasize some exactness of the sufficient conditions, are obtained. Besides, an asymptotically exact estimate for approximation of a function with bounded th derivative on a real half-axis by entire functions of bounded half-degree with regard to position of a point is obtained. The results are theoretical and can be applied to harmonic analysis and approximation theory.

Key words: Hardy space, tube domain over open cone, Fourier transform, multiplier, means of Fourier integral, functional, modulus of smoothness, entire function of bounded half-degree.

Товстолис А.В. Мультипликаторы Фурье в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами и некоторые вопросы теории аппроксимации. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

Диссертация посвящена исследованию мультипликаторов в пространствах Харди в трубчатых областях над открытыми конусами при и решению некоторых задач теории аппроксимации. В диссертации вводятся определения преобразования Фурье (которое полностью согласуется как с классическим определением, так и с определением в терминах обобщённых функций медленного роста) и мультипликатора в общей ситуации трубчатых областей над открытыми конусами, изучаются их основные свойства. Отметим, что эти области являются наиболее общими областями в для изучения конструкций классического гармонического анализа.

Для функций из рассматриваемых пространств Харди получена формула обращения для преобразования Фурье, справедливая всюду в данной трубчатой области, что позволяет естественно определить мультипликатор, рассмотреть различные средние интеграла Фурье, явно выписывать формулы для различных дифференциальных операторов и т.п.

В работе получены эффективные достаточные условия для того, чтобы функция определяла мультипликатор в указанных пространствах. При этом определена некоторая зависимость от геометрии открытого конуса. Точность полученных достаточных условий подтверждают некоторые необходимые условия, также полученные в настоящей работе.

Достаточные условия применены к нахождению точного порядка приближения функции средними Бохнера-Рисса её интеграла Фурье (также найден критический показатель для их регулярности), к вычислению функционала пары пространств, задаваемых полигармоническим оператором. Для этих целей вводится специальный модуль гладкости. Достаточные условия также применены для установления эквивалентности двух разных модулей гладкости (эта задача решается только для одномерного случая как демонстрация метода).

Кроме того, изучена специфика рассматриваемых пространств Харди, их отличие от аналогичных пространств в круге (в общем случае - области Рейнхарта), а также от одномерного случая. Приведены также замечания, позволяющие усилить результаты для случая, когда в качестве конуса берётся первый октант в .

Основные результаты являются существенно многомерными, но даже в одномерном случае пространств Харди в верхней полуплоскости они являются новыми.

Задача о приближении функции с ограниченной й производной на вещественной полуоси целыми функциями конечной полустепени с учётом положения точки рассматривается довольно давно. Эти функции, как аппарат приближения, играют такую же роль, как целые функции экспоненциального типа при приближении на всей оси, или как алгебраические полиномы при приближении функции на отрезке. В случае приближения функции класса на всей оси целыми функциями экспоненциального типа имеется точная оценка наилучшего приближения (известная теорема Ахиезера-Крейна). Асимптотически точные оценки приближения функции алгебраическими полиномами на отрезке получены недавно Р.М.Тригубом. В случае полуоси вопрос оставался открытым, хотя прямые и обратные теоремы без точных констант получены уже довольно давно Ю.А.Брудным. В диссертации эта задача решена - получена асимптотически точная оценка приближения.

В работе используются различные методы гармонического анализа, теории аппроксимации, многомерного комплексного анализа. Метод мультипликаторов применяется для получения точных двусторонних оценок приближения. Оценки приближения функции на полуоси целыми функциями конечной полустепени получены с использованием метода специальных представлений функции.

Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в гармоническом анализе и теории аппроксимации.

Ключевые слова: пространство Харди, трубчатая область над открытым конусом, преобразование Фурье, мультипликатор, средние интеграла Фурье, функционал, модуль гладкости, целая функция конечной полустепени.

Размещено на Allbest.ru

...