Нелінійна задача Діріхле в областях з кутовими та конічними точками

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 517.944

НЕЛІНІЙНА ЗАДАЧА ДІРІХЛЕ В ОБЛАСТЯХ З КУТОВИМИ

ТА КОНІЧНИМИ ТОЧКАМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Джафаров Рамзет Мурветович

Донецьк-1999

АНОТАЦІЯ

Джафаров Р.М. “Нелінійна задача Діріхле в областях з кутовими та конічними точками.” - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02.- диференціальні рівняння.- Інститут прикладної математики і механіки НАН України.

У дисертаційній роботі доведено теореми існування розв'язків загальної нелінійної задачі Діріхле в області з достатньо малим кутом та задачі Діріхле для квазілінійного недивіргентного рівняння другого порядку в області з конічною точкою. Отримано вагову апріорну оцінку розв'язку задачі Діріхле для квазілінійного недивіргентного рівняння другого порядку в області з конічною точкою. Доведено нерівність гострого кута для пар лінійних еліптичних операторів в області з кутовою точкою.

Ключові слова: нерівність гострого кута, функціональний простір з вагою, еліптично продовжений оператор, розв'язність.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У данiй дисертаційній роботi розглядаються еліптичні крайові задачi в області із конічною (кутовою) точкою на межі, які виникають у теорії пружності, механіці, радіофізиці.

Актуальність теми. Кінцево - різницеві методи розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних є універсальним засобом всюди, де науковий експерімент пов'язан з необхідністю дослідження математичних моделей, заснованих на диференціальних рівняннях. Тому побудуванню кінцево - різницевих наближень, збіжності до розв'язку вихідної задачі та стійкості кінцево - різницевих схем присвячені роботи багатьох авторів.

Крім того, метод кінцевих різниць є порівняно простим методом доведення теорем існування та дослідження диференціальних властивостей розв'язків. Із цієї точки зору може бути цікавою якісна теорія крайових задач у кінцево - різницевих наближеннях, деякі аспекти якої розглядаються у першому розділі.

Другий та третій розділи дисертації присвячені нелінійним еліптичним рівнянням в області з конічною та кутовою точкою.

До розгляду крайових задач в областях із негладкою межею приводять численні задачі механіки та фізики. Найбільш важливими є: система теорії пружності, система Нав'є - Стокса, бігармонічне рівняння. Оскільки, наприклад, система теорії пружності є еліптичною системою, то для неї можливе застосування загальних методів дослідження еліптичних крайових задач в областях із нерегулярною межею, які в нинішній час достатньо розроблені. Точка межі області називається нерегулярною, якщо ні в якому околі цієї точки не існує гладкого невиродженого перетворення , яке перетворює у - вимірний шар.

В роботі Агмона - Дугліса -Ніренберга ( Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. - М: Иностранная литература, 1962. - 205 с. ) доведено нормальну розв'язність крайових задач для еліптичних рівнянь в областях із гладкою межею при загальних умовах, які задовольняють умові Лопатинського.

В разі, коли межа області має кутові (двувимірна область) або конічні (багатовимірна область) точки, методи, що використані в означеній роботі, не можна застосувати тому, що в цьому випадку не можна гладким перетворенням випрямити межу області. Окрім того, порушення умови гладкості межі приводять до з'явлення у розв'язка сінгулярностей в околі кутових (конічних) точок межі.

Дослідженням крайових задач в областях із негладкою межею присвячено праці ряда провідних вчених.

Одними з перших були роботи Г.І. Ескіна та Я.Б. Лопатинського, які довели нормальну розв'язність еліптичних крайових задач, що задовольняють умові Лопатинського в областях із кутовою точкою, якщо праві частини достатньо гладкі функції.

Базовою для подальших досліджень була робота В.А. Кондратьєва (Кондратьєв В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского математического общества. - 1967. - Т. 16. - С. 3 - 76 ). В ній розглянуто загальні еліптичні крайові задачі для областей, межа яких містить скінчену кількість конічних точок. Доведено, що розв'язок може бути поданим у вигляді асимптотичного ряду, отримані априорні оцінки. Узагальнення цих результатів містять праці ряда авторів: С.А. Назарова, В.Г. Мазьї, Б.А. Пламеневського, А.І. Комеча, А.Є. Мерзона які виходили з друку в 70 - х та 80 - х роках.

Пізніше на початку 90 - х років з'явились праці С. Нікейса, М.В. Борсука присвячені розв'язності квазілінійної задачі Діріхле в областях із конічними точками. Дослідження крайових задач в областях із ребрами містять роботи Т. Апеля.

Як і завжди в сучасній теорії крайових задач, для коректної постановки задачі в області з негладкою межею необхідно дібрати належні функціональні простори, в яких розглядаються розв'язки задачі та праві частини рівняння і умов на межі. У багатьох таких задачах використовуються функціональні простори з ваговою нормою, де вага - деяка степінь відстані до конічної точки. Такі простори функцій в цих задачах вірно описують особливість розв'язку та його похідних в околі нерегулярної точки межі. Ці особливості в багатьох випадках бувають степеневими. Поводження розв'язку в околі нерегулярної точки - один із напрямків досліджень крайових задач в областях із нерегулярною межею.

В дисертації досліджується розв'язність задачі Діріхле для загального еліптичного рівняння в області з малим кутом та задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного недівергентного рівняння в області з конічною точкою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу Нелінійного аналізу ІПММ НАН України, її результати використані при виконанні державної теми: “Асимптотична поведінка розв'язків еліптичних і параболічних рівнянь”, номер державної реєстрації 0196U002888.

Мета дослідження. Одержати кінцево - різницевий аналог нерівності гострого кута для пар лінійних еліптично продовжених операторів.

Довести теореми існування розв'язків задачі Діріхле для загального нелінійного еліптичного рівняння в області з малим кутом а також задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння в області з конічною точкою.

Наукова новизна одержаних результатів. Застосовуючі введене Я.Б. Лопатинським кінцево - різницеве перетворення Фур'є отримано нерівність гострого кута для пар еліптично продовжених операторів. Розроблені засоби, які дозволяють застосувати топологічні методи для доведення розв'язності крайових задач в функціональних просторах з вагою. Вперше доведено розв'язність задачі Діріхле для загального нелінійного еліптичного рівняння в області з кутовою точкою. В порівнянні з попередніми результатами отримано розв'язність задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння для конічної області в просторах функцій сумовних з більш високим порядком похідних.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації результати мають теоретичний характер. Зазначимо, що вспоміжні результати винесенні в додатки, можуть бути корисними для дослідження крайових задач в областях з нерегулярною межею, а також при побудуванні якісної теорії різницевих схем. Означено новий клас крайових еліптичних задач в областях із кутовою та конічною точками для яких отримана теорема розв'язності.

Особистий внесок здобувача. Автором розроблено апарат дослідження розв'язності першої крайової задачі, побудований на застосуванні топологічних методів, у випадку області з конічною (кутовою) точкою межі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях “Нелінійні диференціальні рівняння” (м.Київ, 1995р.), “Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними” (м.Київ, 1997р.), а також на Донецькому семінарі під керівництвом академіка НАН України І.В. Скрипника (1996-1998рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1]-[7].

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і трьох додатків та викладена на 148 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 67 найменувань.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, апробація та структура роботи.

У першому розділі подаються коерцітивні оцінки лінійних еліптичних задач, які необхідні для доведення розв'язності нелінійних еліптичних задач. В підрозділі 1.1 доведено нерівність гострого кута у випадку області з конічною точкою межі. На відміну від випадку області з гладкою межею, нерівність отримано в вагових просторах.

Позначимо через функціональний простір з нормою

та скалярним добутком

,

де - деякі дійсні нескінченно диференційовні функції.

Уведемо сім'ю лінійних правильно еліптичних операторів - - го порядку з єдиною сталою еліптичності та коефіцієнтами що обмежені в нормах простору сталою та задовольняють в умові

де вектор внутрішньої нормалі до .

Теорема 1.

Припустимо . Тоді існують дійсні нескінчено диференційовні функції

(1)

позитивні сталі які залежать від відомих параметрів і області та такий оператор що для кожної функції вірна нерівність

.(2)

У випадку області з гладкою межею для еліптичних операторів другого порядку ця нерівність доведена О.А. Ладиженською та П.Е. Соболевським. Для операторів довільного порядку нерівність отримана І. В. Скрипником. Доведення нерівності гострого кута грунтується на розбитті області на шари та переході до фіксованої області. Допоміжними є інтерполяційна нерівність для вагових просторів, яку отримано як висновок інтерполяційної нерівності для соболевських просторів, та вагові вкладення, формулювання та доведення яких наведено у додатку Б.

В підрозділі 1.2 отримано априорні оцінки для задачі

(3)

(4)

(по повтореним індексам ведеться підсумовування). Коефіцієнти - функції із , що задовольняють умовам

а) рівномірної еліптичності з деякими сталими :

б) ,

де - монотонно зростаюча невід'ємна функція.

Для розв'язку, під яким розуміється функція із , отримано оцінку

У випадку неоднорідної задачі Діріхле при подібну оцінку доведено М.В. Борсуком.

В підрозділі 1.3 наведено скінчено - різницевий аналог нерівності гострого кута для півкулі. Доведення базується на застосуванні різницевого перетворення Фур'є та техніки дослідження еліптичних задач введених Я.Б. Лопатинським. Нерівність сформульовано в різницевих аналогах інтегральних норм. Важливими для доведення є різницеві аналоги інтерполяційної нерівності та рівності Парсеваля, які сформульовані і доведені в додатку А.

Дослідження розв'язності загальної нелінійної задачі Діріхле

в області з малим кутом подано в розділі 2.

При доведенні застосовано топологічний метод доведення розв'язності, розвинутий І.В. Скрипником. На основі лівої частини будується деякий нелінійний оператор, потім доводиться, що він неперервний, обмежений та задовольняє деякій умові і застосовується загальна теорема розв'язності для таких операторів. При цьому істотно важливим є застосування вагових вкладень ( додаток Б ), вагове узагальнення теорем Вайнберга та Красносельського ( додаток В ) , деякий ваговий наслідок інтерполяційної нерівності Ніренберга - Гальярдо. Основний результат розділу 2 подано у наступній теоремі.

Теорема 2.

Припустимо - обмежена область в із угловою точкою (0,0), яка має межу класа всюди поза кутовою точкою. Функція означена і неперервна для (де - потужність множини всіх мультиіндексів та при кожному належить класу за змінними .

Припустимо виконано умови

1) Існує стала така, що із ( - ваговий параметр ) випливає і

де ;

2) для

3) величина кута, що утворює межу в околі точки (0,0) - достатньо мала.

Тоді задача

має у крайньому випадку один розв'язок із

У третьому розділі досліджується розв'язність задачі Діріхле для недивіргентного нелінійного рівняння другого порядку

(5)

(6)

в області з нульовою конічною точкою. Доведення розв'язності істотньо грунтується на ваговій оцінці

розв'язку задачі Діріхле, яку отримано в підрозділі 3.1. В свою чергу наведена оцінка грунтується на ваговій априорній оцінці, яку доведено в підрозділі 1.2.

Припустимо що коефіцієнти задовольняють умовам.

(А) - раз неперервно диференційовні функції власних аргументів, та

.

(Б) Рівномірної еліптичності з деякими сталими :

(В) Зафіксуємо число та уведемо множину

де -частина конусу обмежена сферами радіусів та.

Функції в околі множини мають похідні першого порядку по своїм аргументам, що із деякою сталою задовольняють умові

(АА) , де - символ Кронекера.

Будемо шукати розв'язок задачі в просторі , де - перше позитивне власне число оператору Лапласа - Бельтрамі.

Теорема 3.

Задача (5) - (6) має принаймні один розв'язок в якщо виконано умови (А), (Б), (В), (АА) та .

Додаток А містить скінчено - різницеві аналоги рівності Парсеваля та інтерполяційної нерівності та деякі допоміжні співвідношення для підрозділу 1.3.

У додатку Б доведені вагові вкладення, які подані у наступніх ствердженнях.

Лема 1.

Припустимо Тоді має місто обмежене вкладення в (де - функціональний простір з нормою ).

Лема 2.

Припустимо Тоді компактно вкладається в ( де - функціональний простір з нормою

).

У додатку В сформульовані та доведені вагові узагальнення лем Вайнберга і Красносельського про неперервність оператору Немицького. Ці узагальнення істотно використовуються при доведенні теорем 1 і 2.

Лема 3.

Припустимо, задовольняє умові Каратеодорі, що означає неперервність по для майже всіх ( - вимірна множина ), та вимірність по для всіх .

Для того, щоб оператор Немицького

був неперервним оператором, що діє з класу (де - функціональний простір з нормою) в клас необхідно та достатньо, щоб виконувалась наступна умова

,

де

Лема 4.

Припустимо перетворює кожну функцію з в функцію з (). Тоді оператор є неперервним.

діріхле еліптичний недівергентний кут

ВИСНОВКИ

1. У дисертаційній роботі доведено нерівність гострого кута для пар лінійних еліптичних операторів в області з кутовою точкою.

2. Доведено умовну теорему розв'язності задачі Діріхле для загального нелінійного еліптичного рівняння в області з достатньо малим кутом.

3. Отримано априорну оцінку для розв'язку задачі Діріхле для квазілінійного недивіргентного рівняння другого порядку в області з конічною точкою.

4. Доведено умовну а потім, грунтуючись на априорній оцінці, і безумовну теорему розв'язності задачі Діріхле для квазілінійного недивіргентного рівняння другого порядку в області з конічною точкою.

5. Доведено нерівність гострого кута для пар лінійних еліптично продовжених операторів в півпросторі.

6. Отримано теореми вкладення для вагових функціональних просторів.

7. Сформульовано та доведено узагальнення лем Вайнберга та Красносельського про неперервність оператору Немицького.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ПРАЦЯХ

Джафаров Р.М. О разрешимости общей нелинейной задачи Дирихле в области с малым углом //Моделирование непрерывных и дискретных систем. -1998. -Т. 2. -С.42-54.

Джафаров Р. М. Весовые априорные оценки решения квазилинейной задачи Дирихле в области с конической точкой // Моделирование непрерывных и дискретных систем. -1998. -Т. 2. -С.55-63.

Dzhafarov R. M. A sharp angle inequalities for pairs of elliptic operators in the case of domain with a conical point // Nonlinear Value problems. - 1999. vol. 9. - P. 40 - 45.

Dzhafarov R. M. Some estimates of solution in area with conic point // Book of abstracts of the International Conference “ Nonlinear Partial Differential Equattions”.-Donetsk.-1997.-P.48.

Dzhafarov R. M. Sharp angles inequalities for pairs of elliptic operators in the case of domain with a conical point // Book of abstracts of the International Conference “Nonlinear Differential Equations”.-Kyiv.-1995.-P.42.

Джафаров Р. М. Разрешимость нелинейной задачи Дирихле в области с малым углом // Доповіді НАН України.-1999. -T. 7. -P.18 - 21.

Джафаров Р. М. Априорные оценки решения квазилинейной задачи Дирихле в области с конической точкой // Доповіді НАН України.-1999. -T. 6. -P.12 - 18.

Размещено на Allbest.ru